专题1.4 二次根式（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题1.4 二次根式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 二次根式的相关概念】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 2 【考点二 二次根式的性质与化简】 2 【题型3 利用二次根式的性质化简】 2 【题型4 二次根式与数轴】 3 【考点三 二次根式的运算】 3 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 3 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 3 【题型7 分母有理化】 4 【题型8 二次根式的混合运算】 4 【题型9 估算二次根式的值】 4 【题型10 二次根式的应用】 5 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 6 【题型12 与二次根式有关的规探究问题】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 二次根式的相关概念】 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（2025·福建泉州·模拟预测）若二次根式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）若，则下列二次根式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣2 【变式1-3】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 【例2】（2025·浙江绍兴·一模）写出一个大于2且小于3的最简二次根式： ． 【变式2-1】（2025·山西忻州·二模）写出一个与的积为正整数的数： ． 【变式2-2】（2025·山东德州·一模）已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值 ． 【变式2-3】（2025·山东泰安·二模）当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值 ． 【考点二 二次根式的性质与化简】 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2025·山西大同·一模） ． 【变式3-1】（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【变式3-2】计算（   ） A． B． C．5 D．1 【变式3-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）实数在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型4 二次根式与数轴】 【例4】（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【变式4-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【考点三 二次根式的运算】 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 【例5】（2025·福建福州·模拟预测）计算的值（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则可以表示为（  ） A． B． C． D．ab 【变式5-3】（2025·山东烟台·模拟预测）计算的结果为 ． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 【例6】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【变式6-3】（2025·吉林长春·模拟预测）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【题型7 分母有理化】 【例7】（2025·上海浦东新·模拟预测）的有理化因式是 . 【变式7-1】（2025·上海松江·模拟预测）分母有理化：= . 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）若a是的小数部分，则的值为 ． 【变式7-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型8 二次根式的混合运算】 【例8】（2025·安徽淮南·一模）计算：． 【变式8-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【变式8-2】已知，，求和的值． 【变式8-3】（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【题型9 估算二次根式的值】 【例9】（2025·重庆·二模）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式9-1】（2025·重庆江北·模拟预测）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式9-2】（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式9-3】（2025·重庆彭水·二模）设，则数m的值应在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【题型10 二次根式的应用】 【例10】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在文化公园有一个用于表演秦腔的长方形舞台，其长为米，宽为米．为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的总面积． 【变式10-1】（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·河北张家口·模拟预测）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 【变式10-3】（2025·广东清远·模拟预测）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 【例11】（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． 【变式11-1】（2025·上海·模拟预测）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【变式11-2】（2025·江西赣州·模拟预测）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【变式11-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【题型12 与二次根式有关的规探究问题】 【例12】（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【变式12-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【变式12-3】（2025·上海·模拟预测）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 4．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 5．（2025·河北沧州·一模）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 6．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 8．（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 9．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ． 10．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 三、解答题 11．（2025·江苏·一模）计算：． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 13．已知m、n为实数，且， (1)分别求出m、n的值； (2)求的值． 14．（24-25八年级下·贵州黔南·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． (1)计算：； (2)若为正整数，，，且，求的值． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·二模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·重庆万州·月考）估算的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 5．（2025·河北保定·一模）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．函数中的自变量的取值范围是 ． 7．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 10．（17-18八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 三、解答题 11．（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 12．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 13．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 15．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 二次根式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 二次根式的相关概念】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 3 【考点二 二次根式的性质与化简】 4 【题型3 利用二次根式的性质化简】 4 【题型4 二次根式与数轴】 6 【考点三 二次根式的运算】 7 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 7 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 8 【题型7 分母有理化】 10 【题型8 二次根式的混合运算】 11 【题型9 估算二次根式的值】 13 【题型10 二次根式的应用】 15 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 18 【题型12 与二次根式有关的规探究问题】 20 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 二次根式的相关概念】 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（2025·福建泉州·模拟预测）若二次根式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式的意义和性质是解答本题的关键．根据二次根式的意义和性质解答即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：， 故选：B． 【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）若，则下列二次根式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以 不符合题意； 有意义的条件是 ，所以 满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式1-2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣2 【答案】A 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知x+2≥0，解得x≥-2， 根据分式有意义的条件，可知x≠0 故选A 【变式1-3】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 【例2】（2025·浙江绍兴·一模）写出一个大于2且小于3的最简二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，实数大小比较，无理数，根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴写出一个大于2且小于3的无理数是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（2025·山西忻州·二模）写出一个与的积为正整数的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的有理化因式的确定方法．只要与相乘，积为正整数即可．从简单的二次根式中寻找． 【详解】解：与的积为正整数的数是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（2025·山东德州·一模）已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，二次根式的性质，熟练掌握不等式的性质和二次根式的性质是解题的关键．先利用不等式性质变形为，再利用二次根式的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值可以为或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（2025·山东泰安·二模）当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质可得是一个完全平方数，据此可得答案． 【详解】解：∵二次根式的运算结果为整数， ∴是一个完全平方数， ∴的结果可以是0，即， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 【考点二 二次根式的性质与化简】 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2025·山西大同·一模） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式乘法计算，，而，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-1】（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性可得，解不等式即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式3-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）实数在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：a＜﹣1＜b＜﹣a， ∴a+b＜0， ∴原式＝|a|﹣（a+b） ＝﹣a﹣a﹣b ＝﹣2a﹣b， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 【题型4 二次根式与数轴】 【例4】（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断的符号，根据二次根数的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据点在数轴上的位置得出，进而可得出答案． 【详解】解： 根据数轴可知：， ∴， ∴， 故选：D 【变式4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 【变式4-3】（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 【考点三 二次根式的运算】 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 【例5】（2025·福建福州·模拟预测）计算的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B 【变式5-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 【变式5-2】若，则可以表示为（  ） A． B． C． D．ab 【答案】C 【详解】∵ ， ∴. 故选C. 【变式5-3】（2025·山东烟台·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 【例6】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 【变式6-1】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·吉林长春·模拟预测）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【题型7 分母有理化】 【例7】（2025·上海浦东新·模拟预测）的有理化因式是 . 【答案】 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可得答案． 【详解】∵()()=x-y2，结果不含根式， ∴的有理化因式是， 故答案为 【点睛】本题考查了分母有理化，两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式；正确选择二次根式，使它们的积符合平方差公式是解题的关键． 【变式7-1】（2025·上海松江·模拟预测）分母有理化：= . 【答案】 【分析】分母有理化进行计算即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简运算，正确找准分母的有理化因式是本题的解题关键. 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）若a是的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 【变式7-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 【题型8 二次根式的混合运算】 【例8】（2025·安徽淮南·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简绝对值，利用二次根式的性质化简，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式． 【变式8-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式8-2】已知，，求和的值． 【答案】，+=8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值问题，对和进行变形是解题的关键．先化简和，再将x，y的值代入即可计算． 【详解】解：∵， ， ∴ ； ∵， ∴． 【变式8-3】（2025·上海闵行·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，一元二次方程的根，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 先对的分子进行因式分解，再进行化简，然后解一元二次方程，再根据分母不为0进行舍解，最后再代入求值． 【详解】解： 或 解得或， ∵， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴原式． 【题型9 估算二次根式的值】 【例9】（2025·重庆·二模）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可． 【详解】解：； 且， ， ； 故选：A． 【变式9-1】（2025·重庆江北·模拟预测）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 【变式9-2】（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式9-3】（2025·重庆彭水·二模）设，则数m的值应在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．先计算二次根式乘法，再合并，最后由无理数估算的计算方法即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 则数m的值应在5和6之间， 故选：B ． 【题型10 二次根式的应用】 【例10】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在文化公园有一个用于表演秦腔的长方形舞台，其长为米，宽为米．为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后长方形舞台的总面积． 【答案】装饰后长方形舞台的总面积是140平方米 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据长方形舞台，其长为米，宽为米．在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，则表达出，，再把数值代入长方形舞台的总面积进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 长方形舞台的总面积 （平方米） 答：装饰后长方形舞台的总面积是140平方米． 【变式10-1】（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 【变式10-2】（2025·河北张家口·模拟预测）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． （1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 【变式10-3】（2025·广东清远·模拟预测）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 【例11】（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义计算即可． 本题考查了实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式11-1】（2025·上海·模拟预测）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据，，代入求得，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（2025·江西赣州·模拟预测）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 【变式11-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 【题型12 与二次根式有关的规探究问题】 【例12】（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为2n，即可求解． 【详解】根据单项式的规律可得，系数为，字母为x，指数为2n， ∴第n个单项式为， 故选B． 【变式12-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 【变式12-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 【变式12-3】（2025·上海·模拟预测）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 4．（2025·四川绵阳·三模）如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ）                                   1       第1排                                      第2排                            1        第3排              1             1        第4排    ……   第4列 第3列 第2列  第1列 …… A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的． ∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数， ∵前4排共有个数， ∴第5排第4列的数是第个， ∵， ∴表示的数是； 前50排共有个数， ∴第5l排第30列的数是第个数， ∵， ∴表示的数是， ∴与表示的两个数的积是； 故选：A. 5．（2025·河北沧州·一模）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 二、填空题 6．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 8．（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并 ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 9．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用二次根式的性质化简二次根式以及二次根式的减法运算，掌握运用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再确定、、的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·江苏·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 13．已知m、n为实数，且， (1)分别求出m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的非负性，二次根式的混合运算， （1）根据完全平方公式和二次根式的非负性求出答案； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； 即； （2）解：当时，原式． 14．（24-25八年级下·贵州黔南·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． (1)计算：； (2)若为正整数，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可； （2）先利用分母有理化得到，，进而可得，，然后利用完全平方公式将变形为，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 或， 而， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及乘法公式是解题的关键． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·二模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C 3．（24-25九年级下·重庆万州·月考）估算的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴即， 故选：C． 4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 5．（2025·河北保定·一模）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 7．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ． 【答案】-1 【分析】根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得 ，解得 ， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，掌握根据最简二次根式、同类二次根式的定义列出方程是解题的关键． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义、勾股定理、正方形的性质、二次根式的混合等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质求出，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ∵点E为线段的黄金分割点，， ，即，解得：， ． 故答案为：． 10．（17-18八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】3 【详解】设，则 可化为：， ∴， 两边同时平方得：，即：， ∴，解得：， ∴. 故答案为. 点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得的值，使问题得到解决. 三、解答题 11．（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 12．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； （3）解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 13．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)505． 【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可； （2）先求出，再得出的小数部分，即的值，代入求解即可； （3）先将分母有理化，再算出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴； （3）解：， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $