【青桐鸣大联考】2025-2026学年高二上学期12月联考数学（北师大）试题

秘密★启用前 高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本武卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.2025×2024×2023可表示为 A.C2025 B.C8腔 C.Aios D.A8腔 2.直线x=c0s75的倾斜角为 A.0° B.90° C.75 D.25° 设FF,分别是椭圆C6十21的左、右焦点，点P在C上，且Pp,-D 6,则 A.PF=9 B.PF|=6 C.|PF2|=8 D.PF2=4 y 班 级 线 且双曲线G216>0的一条渐近线方程为y=-2x,则C的焦距为 A.√6 B.√1o C.26 D.210 5.(x一2y+3)5的展开式中xy的系数为 姓 名 A.480 B.160 C.-160 D.-480 6.设{a,b,c)是空间的一组单位正交基底，向量OA=a十3b十c,若m=a一b,n=a十b c,p=a一b+c,且(m,n,p是空间的另-组基底，则OA= A.-4m+2n+3p B.4m-2n+3p C.4m+2n-3p D.4m+2n+3p 7.某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人 必须要去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不 数学（北师大）试题第1页（共4页） 去富强社区，则不同的安排方法有 A.16种 B.12种 C.7种 D.6种 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足|PA|=2|PB|,点Q在圆C:(x+1)2+(y-4)2= 1上运动，点M在直线x一y一2=0上运动，则|PM+|QM|的最小值为 A.5√2-3 B.6√2-3 C.√73-3 D.45-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知2a十b=(4,0,4),b=(2,2,2),则下列正确的有 A.a=(1,-1,1) B.a∥b C.(2a+b)⊥(2a-b) D.cos<a.b>= 3 10已aF-后》 的展开式中常数项为35，a为实数，则下列说法正确的有 - 的展开式中各二项式系数之和为64 B.a=1 car 的展开式中各项的系数之和为0 D6清 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 1已知双曲线C若苔-1(a>0)的离心率为2.F,F,分别为C的左，右点，0为 坐标原点，曲线E:y=k|x一2|，k∈[2,4幻，且E与C交于A,B两点，则下列正确的有 A.a=1 B.|AF:|+IBF:|>7 C.|AF,+|BF,|的最大值为32 D.△0AB面积的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线7x一y一4=0与7x一my+6=0(m∈R)之间的距离为 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的 两端，则不同的坐法有 种. 14.已知a=(a1,a2,a),b=(b1,b2,b),定义d[a,b]=|a1-b1|+|a2-b2|+ |a1-b.若直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面为矩形，AA,=2AB=4,BC=3,M 为侧面CDD,C,(包含边界)内一动点，且|BM|=√而，则d[BM,AB,]的最大值 为 数学（北师大）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(一2,1)，边BC上的中线所在的直线方 程为2x一y一2=0，边BC上的高所在的直线方程为x一y一1=0. (1)求边AB所在直线的一般式方程： (2)求△ABC的面积. 16.(15分) 已知a。+a1x+a2x2+…+aax=C(x+1)+C(x+1)2+…+C(x+1) (1)求a1一a。十a1一a,十a5一a,十a,-as一a,的值； (2)求a。一as的值， 17.(15分) 已知F为抛物线C:y=2px（p>0)的焦点，直线l1:2x一y一4=0经过F,且l,与C 相交于P,Q两点，过点M(4,0)的动直线l,与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； 2)求PFOF的值： PQ (3)设O为坐标原点，若△ABF的面积为8√3，直线l:与y轴交于点N,证明： OM=ON. 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=90°，AB=BC=2,AD=2+5,过C作 CE⊥AD,垂足为E,将△CDE沿CE翻折至△CPE,使点D落在点P的位置，AP= 5. 装 (1)证明：平面PAB⊥平面PAE. (2)已知P,A,B,C,E五点均在球O的球面上. (1)求球O的表面积： (i)设点Q∈平面PAB,点Q∈平面PCE,若PQ=1,求平面OBQ与平面AEQ夹角 的余弦值. 注意清点有无漏印或缺页， 19.(17分) 已知椭圆C+之 6=1(a>6>0)的右顶点为A(2,0),上顶点为B,且1AB1=万. 若有要及时更换 (1)求椭圆C的标准方程， (2)若直线l:y=kx十m(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点(P,Q两点均异于点A). 线 (1)若∠PAQ=90,求的值： (1)若k=号证明：经过A,P,Q的圆n经过两个定点 数学（北师大）试题第4页（共4页）高二年级质量检测 数学（北师大） 参考答案 1.C【解析】根据排列数公式可知，2025×2024× 8.C【解析】设P(x,y),由PA|=2|PB|得， 2023=A2025: √x-2)2+y=2√(x+1)+y,整理得 故选C. (x+2)2+y2=4,所以点P在以C1(-2,0)为圆 2.B【解析】因为直线x=cos75°垂直于x轴，所以 心，半径为2的圆上 该直线的倾斜角为90°. 点Q在圆C:(x十1)2十(y一4)2=1上运动，该圆 故选B. 的圆心为C(-1,4),半径为1， 3.A【解析】根据椭圆的定义可知，PF1|十 如图， |PF2=2a=12,又|PF1-|PF2=6,解得 PF1=9,PF2|=3. -y2=0 故选A 4.D【解析)由双曲线C:2一=1(6>0)可知，其 渐近线方程为y=士 √2x,由题意可知√2=2， 所以b2=8,则c2=a2+b2=10,解得c=√10，所 以C的焦距为2√10 MP|=|MC|-2,|MQ=|MC-1,设圆C 故选D 与圆C2关于直线x一y一2=0对称，则 5.D【解析】(x-2y+3)5的展开式中xy3的系数 |MC|=|MC2, 为CgC(-2)3·3=-480. 连接CC2,则|PM+|QM|=|MC|-2+ 故选D |MC|-1=|MC|+|MC2|-3≥|CC2|-3,当 6.A【解析】设OA=xm十yn十zp, C,M,C2三点共线时，取得最小值. 则OA=x(a-b)+y(a十b-c)+z(a-b+c)= y1 =-1, (x+y+z)a+(-x+y-z)b+(z-y)c, x1+2 设C2(x1,y1),则 x+y+x=1, 2为-2=0， 22 又OA=a+3b十c,则-x十y-z=3,解得x= 之-y=1, x1=2, 解得 即C2(2,-4), -4,y=2,之=3，所以OA=-4m十2n+3p. y1=-4, 故选A. 所以|CC2=√(-1-2)2+(4+4)2=√73，则 7.C【解析】分两种情况：①乙和甲都去文明社区， |PM|+|QM的最小值为√73-3. 则有A?=2种安排方法；②甲去文明社区，乙去民 故选C. 主社区，则有C2C一1=5种安排方法，根据分类加 9.ACD【解析】由2a+b=(4,0,4),b=(2,2,2),得 法计数原理可知，不同的安排方法共有2十5=7 a=(1,-1,1),A正确； (种). 假设b=λa,则(2,2,2)=(，一入，λ)，显然入无解， 故选C. 所以a与b不平行，B错误； ·数学（北师大）答案（第1页，共6页）· 因为2a-b=(0,-4,0),所以(2a+b)·(2a-b)= 9 (4,0,4)·(0,-4,0)=0,则(2a+b)⊥(2a-b),C 3t2-1' 正确； 所以|AF2|+|BF2|=|AF2|+|BF2|= 因为a·b=2-2+2=2,所以cos<a,b>= 1AB=√1+t·|y1-(-y2)川=√1+t· a·b 3D正确. √y1+(-y2)]-4y1·(-y2)=√1+t· a·b3×2√3 故选ACD. -4X。9=61+2) 312-11-312 的展开式中各二项 令1+=a,则ae[说4=项-1，所以 式系数之和为C9十C+…十C?=2=128,A 6m |AF2+1BF2=4-3m-4 6 错误； 一3 m (aVzF- 的展开式的通项为T+1= 易知两数了0m)-语一3在[品】上单润递减， m (-1)'a7-rCx xi=(-1aC号 92 所以号<fm)≤号则2≤AP,+BR,≤ 令28-7r=0,解得r=4,所以(-1)a3C4=35, 解得a=1,B正确； 30,所以|AF2|+|BF2>7,B正确； 令x=1,则展开式中各项的系数之和为(1-1)7= 由双曲线的定义可知，|AF1=2a十AF2|= 0,C正确； 2+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|=2+|BF2, 因为各项系数为（一1）'C?,要使系数取得最大值， 所以|AF1|+|BF1|=4+|AF2|+|BF2|≤ 4+30=34,故AF1+BF1的最大值为34，C 所以x必为偶数，则C?为展开式中的最大系数， 所以展开式中系数最大的项为第5项，D错误. 错误； 易知OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则cos<OA, 故选BC. OB>= 1oA·10,所以sin<0A,0>- OA·OB L,ABD【解标】由双曲线C:-3=1(a>0)的 离心率为2得，@3=2，解得a=1,A正确： 1 : 不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线E:y= 则△0AB面积为SaB=1O2·1O店2， k|x一2|，k∈[2,4]，过焦点F2(2,0),因为C的 渐近线方程为y=士√3x,而直线y=k(x一2)的 sm<oi,oi>=[1oi·1oi-(oi· 斜率k∈[2,4]，所以延长线段AF2与C的右支 oi)2]=是[(+好)(+) 交于点B。,由对称性可知，B与B。关于x轴对 称，设A(x1y1),B(x2,y2),则B。(x2,-y2), (红1+3y)2]=}（i+ 不妨设直线AB。的方程为x=y十2，则t=友∈ 。1 1 2x1x:y1y:)=4(a1y:-x:y), 「117 L42 所以Sa8=71z3g-x=号。 x2、y2 由 -3=1,整理得(312-1Dy2+12y+9=0, 1(ty1+2)y2-(-ty2+2)y1l=ty1y2+(y2 x=ty+2, 小+ 3一 -12t 所以1+（-y)=3二y1·（-y）= ·数学（北师大）答案（第2页，共6页）· 因为y=-在[] 上单调递减，所以 p=0时取等号，故d[BM,AB门的最大值为10. 2x-y-2=0, x=1, 113 15.解：(1)由 解得 (2分) ymx=4-34=4, x-y-1=0, y=0, 所以顶点A(1,0), (3分) 412 故△OAB面积的最小值为3×1313D正确. 故选ABD. 由两点式方程可知，边AB所在直线方程为二。 12.√2【解析】由题意可知，m=1,所以两直线之间 x-1 2-,故边AB所在直线的一般式方程为x十 的距离为d=一4-6L=10 3y-1=0. (6分) √/72+（-1)75√2 =2. (2)易知边BC所在直线的斜率为一1，所以边BC 13.24【解析】因为甲、乙均不在这排座位的两端，所 所在直线的方程为y一1=一(x+2),即x十y+ 以剩下的3个座位安排甲、乙，又甲、乙相邻，所以 1=0, (7分) 有C2A2=4(种)坐法，还剩3人3个位置进行全 1 排列，有A=6(种)坐法，根据分步乘法计数原理 2x-y-2=0, 3 可知，不同的坐法有4×6=24（种）. 由 解得 x+y+1=0, 4 14.10【解析】如图，以C为坐标原点，以CD,CB, y=-3' CC1所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 所以边BC的中点D的坐标为（行，专），(9分) 标系， 则点D到边AB的距离为d= +8×()-1 3 7√10 √10 15 所以边AB上的高为h=2d=1410 15, (11分) D =33 又|AB|=√(-2-1)2+(1-0)2=√10，(12分) 故Sae=号KIABIX-- 31 (13分) 则A(2,3,0),B(0,3,0),B1(0,3,4),设M(x0 0,z),0≤x0≤2,0≤x0≤4，则AB1=(-2,0, 16.解：(1)令x=-1得，a0-a1+a2-ag+a4 4),BM=(x0,-3,z0), a5十a6-a7十a8=0, (4分) 由|BM=√10得，x+9十z8=10,所以x十 故a1-ao十a3-a2十a5-a4十a?-a6-a8=0. x=1, (6分) (2)a。十a1x+a2x2+…+a8x8=Cg(x+1)+ 设x,=cos9,2,=sin9,0≤p<,故Bi C8(x+1)2+…+C8(x+1)8=(x+2)8-1, (cos o,-3,sin ) (8分) 根据新定义，d[BM,ABi]=|cos9十2|+ 令x=0,则a0=28-1=255, (10分) |-3-0|+sinp-4|=cos9+2+3+4 把(x十2)8按二项式定理展开，易得a5=C·23= sin9=9-2sin(9-爱）， 448, (13分) 所以a0-a5=255-448=-193. (15分) 因为0≤9≤，所以-开≤9-至≤牙，所以 17.解：(1)抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F a[Bi,AB<9-2×(-2)=10,当且仅当 ( ·数学（北师大）答案（第3页，共6页）· 由题意可知，2×号-0-4=0，解得p=4,(2分) 以F为原点，以FA,FP所在直线分别为x,之 轴，以过F平行于AB的直线为y轴，建立如图 故抛物线C的方程为y2=8x. (3分) 所示的空间直角坐标系F-xy之. (2)将2x-y-4=0代入y2=8x, 得x2-6x+4=0, (4分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1十x2=6,x1x2= 4, (5分) 由抛物线的定义可知，|PQ=x1十x2+4=10, (6分) |PF|·|QF|=(x1+2)(x2十2)=x1x2+2(x1十 x2)+4=4+2×6+4=20, (8分) 枚PFQF=2. PQ (9分) 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(一1,0,0)，P(0,0, (3)证明：易知动直线12的斜率不为0，设其方程 2). (6分) 为x=ty+4,A(x3,y3),B(x4,y4), (1)因为四边形ABCE为正方形，所以正方形 ABCE外接圆O1的圆心为正方形ABCE的中 x=ty十4， 整理得y2-8ty-32=0, (10分) y2=8x, 心，则O1(0,1,0), 则△=64t2+128>0, 由球的性质可知，OO1⊥平面ABCE,设O(0,1, z),球O的半径为R, (7分) y3+y4=8t,y3y4=-32, (11分) 所以OA=OP=R, 所以△ABF的面积为Sa=专×(4-2)· 即√(1-0)2+(0-1)2+(0-z)2= |y3-y4|=√(y3+y4)2-4y3y4=√64t2+128= √(0-0)2+(0-1)2+(2-z)z, 8t2+2, (12分) 解得=是故00,1，)月 (8分) 由题意得，8v√十2=8√3，解得t=士1，(13分) 所以直线l2的方程为x士y一4=0，则N(0, 所以R=1-0y+0-10+0-）'-0 ±4)，故|OM=ION|. (15分) (9分) 18.解：(1)证明：因为∠ABC=90°，CE⊥AD,所以 故球0的表面积为S0=4xR2- 4π. (10分) AB∥CE, (1分) 又CE⊥AE,CE⊥PE,且AE∩PE=E,AE, (i)过P作PH∥AB,易证平面PAB∩平面 PEC平面PAE,所以CE⊥平面PAE.(2分) PCE=PH,则Q∈PH, (11分) 则AB⊥平面PAE, (3分) 设Q(0,t,2),则AE=(-2,0,0),EQ=(1,t,2), 又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE. B0=（-1,-1,),B=(-1,-2,2), (4分) (2)易知四边形ABCE为矩形，又AB=BC=2, (12分) 所以四边形ABCE为正方形， 设平面AEQ的法向量为m=（x1,y1,z1), 取AE的中点为F,连接PF,因为PE=PA= AE·m=0,-2x1=0, 则 即 取y1=2, √5，所以PF⊥AE, E0·m=0,x1+ty1+2z1=0, 由(1)得平面ABCE⊥平面PAE,则PF⊥平面 所以m=(0,2,-t)； (13分) ABCE. (5分) 设平面OBQ的法向量为n=(x2,y2,之2)， ·数学（北师大）答案（第4页，共6页）· B0·n=0, 所以4m-12)0+e）_8张m6m二2+4十 则 -+=0, 即 取 4k2+3 4k2+3 BQ·n=0, -x2十(t-2)y2十2x2=0, m2=0, y2=5,所以n=(-3t-2,5,4(1-t),(14分) 整理得经+70十16m=0, 又PQ=1,解得t=士1， 4k2+3 (8分) 2 当t=1时，则m=(0,2,-1),n=(-5,5,0), 所以4级2+7m2+16em=0,即7（图） +16· 所以|cos<m,n>|= m·n 10 m·n√5X5√2 4=0, √10 (15分) 解得 -号-2 (9分) 5 当t=-1时，则m=(0,2,1),n=(1,5,8), 当 =一2时，y=kx十m=(x一2)经过点A 所以|cos<m,n>| m·n 18 (2,0),不合题意， m·n √5X3J10 3v2 当 号时，满足愿意放2的值为一名。 5 (16分) (10分) 故平面OBQ与平面AEQ夹角的余弦值为VI0 (ⅱ)证明：设经过A,P,Q的圆2的方程为x2+ 5 y2+Dx+Ey+F=0, 安 (17分) 因为A(2,0),所以4+2D+F=0,则F=-4- 2D, (11分) 19.解：(1)易知A(a,0),B(0,b), 则圆2的方程为x2+y2十Dx十Ey一4一2D=0, a=2, 根据条件得 解得a=2,b=√3， 1 a2+b=√7， 联立 y= 2x+m, (2分) x2+y2+Dx+Ey-4-2D=0, 放餐园℃的标准方程为后+号-1。 (3分) (m+D+号)x+m2+mE-2D-4=0,4>0, (2)(1)设P(x1y1),Q(x2y2), 「y=kx十m, 所以1+：=-(m+D+),:=(m 由2+少-1，整理得(4+3)x+8kmx+ +mE-2D-4), (12分) 43 =1, 4m2-12=0, (4分) 由(1)知，当k=2时，x1十x2=一m,x1x?=m 则△=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2 -3, -m2+3)>0, 则-m=一 (m+D+号)，m-3=号m+ 8km 4m2-12 x1十x2=一 4k2十3x1x2一4k2十3 (5分) mE-2D-4), (13分) 因为∠PAQ=90°，所以A产·AQ=(x1-2,y)· 所以m=4D+2E,m2+1=4mE-8D, (x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 则m2+2m+1=4(m+1)E,当m=-1时，联立 1 (6分) y=2x-1, x=一1， x=2, 则(x1一2)(x2一2)十(kx1十m)(kx2十m)=0, 易得 或3此时P,Q 即(1+k2)x1x2十(km-2)(x1十x2)+4十m2= (4+3-1, y=0,y= 2 0, (7分) 其中一点与A重合，舍去，故m≠-1，所以E= ·数学（北师大）答案（第5页，共6页）· m+10,D-gm-1D. 1 (14分) 整理得)-子=0，解得y=0或y2, 故圆n的方程为x+y+日m-1x+是m+ (16分) [x=一1， x=2, 1Dy-1(m-1D-4-0, 所以 或3 y=0,y=2' 整理得（女+y-名+y-)+(g+ 故经过A,P,Q的圆2经过两个定点(2,0)， 3)m=0, (1》 (17分) (15分) z2+y2-1x 令 111 8x+4y-4=0, ·数学（北师大）答案（第6页，共6页）·秘密★启用前 高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本武卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.2025×2024×2023可表示为 A.C2025 B.C8腔 C.Aios D.A8腔 2.直线x=c0s75的倾斜角为 A.0° B.90° C.75 D.25° 设FF,分别是椭圆C6十21的左、右焦点，点P在C上，且Pp,-D 6,则 A.PF=9 B.PF|=6 C.|PF2|=8 D.PF2=4 y 班 级 线 且双曲线G216>0的一条渐近线方程为y=-2x,则C的焦距为 A.√6 B.√1o C.26 D.210 5.(x一2y+3)5的展开式中xy的系数为 姓 名 A.480 B.160 C.-160 D.-480 6.设{a,b,c)是空间的一组单位正交基底，向量OA=a十3b十c,若m=a一b,n=a十b c,p=a一b+c,且(m,n,p是空间的另-组基底，则OA= A.-4m+2n+3p B.4m-2n+3p C.4m+2n-3p D.4m+2n+3p 7.某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人 必须要去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不 数学（北师大）试题第1页（共4页） 去富强社区，则不同的安排方法有 A.16种 B.12种 C.7种 D.6种 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足|PA|=2|PB|,点Q在圆C:(x+1)2+(y-4)2= 1上运动，点M在直线x一y一2=0上运动，则|PM+|QM|的最小值为 A.5√2-3 B.6√2-3 C.√73-3 D.45-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知2a十b=(4,0,4),b=(2,2,2),则下列正确的有 A.a=(1,-1,1) B.a∥b C.(2a+b)⊥(2a-b) D.cos<a.b>= 3 10已aF-后》 的展开式中常数项为35，a为实数，则下列说法正确的有 - 的展开式中各二项式系数之和为64 B.a=1 car 的展开式中各项的系数之和为0 D6清 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 1已知双曲线C若苔-1(a>0)的离心率为2.F,F,分别为C的左，右点，0为 坐标原点，曲线E:y=k|x一2|，k∈[2,4幻，且E与C交于A,B两点，则下列正确的有 A.a=1 B.|AF:|+IBF:|>7 C.|AF,+|BF,|的最大值为32 D.△0AB面积的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线7x一y一4=0与7x一my+6=0(m∈R)之间的距离为 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的 两端，则不同的坐法有 种. 14.已知a=(a1,a2,a),b=(b1,b2,b),定义d[a,b]=|a1-b1|+|a2-b2|+ |a1-b.若直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面为矩形，AA,=2AB=4,BC=3,M 为侧面CDD,C,(包含边界)内一动点，且|BM|=√而，则d[BM,AB,]的最大值 为 数学（北师大）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(一2,1)，边BC上的中线所在的直线方 程为2x一y一2=0，边BC上的高所在的直线方程为x一y一1=0. (1)求边AB所在直线的一般式方程： (2)求△ABC的面积. 16.(15分) 已知a。+a1x+a2x2+…+aax=C(x+1)+C(x+1)2+…+C(x+1) (1)求a1一a。十a1一a,十a5一a,十a,-as一a,的值； (2)求a。一as的值， 17.(15分) 已知F为抛物线C:y=2px（p>0)的焦点，直线l1:2x一y一4=0经过F,且l,与C 相交于P,Q两点，过点M(4,0)的动直线l,与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； 2)求PFOF的值： PQ (3)设O为坐标原点，若△ABF的面积为8√3，直线l:与y轴交于点N,证明： OM=ON. 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=90°，AB=BC=2,AD=2+5,过C作 CE⊥AD,垂足为E,将△CDE沿CE翻折至△CPE,使点D落在点P的位置，AP= 5. 装 (1)证明：平面PAB⊥平面PAE. (2)已知P,A,B,C,E五点均在球O的球面上. (1)求球O的表面积： (i)设点Q∈平面PAB,点Q∈平面PCE,若PQ=1,求平面OBQ与平面AEQ夹角 的余弦值. 注意清点有无漏印或缺页， 19.(17分) 已知椭圆C+之 6=1(a>6>0)的右顶点为A(2,0),上顶点为B,且1AB1=万. 若有要及时更换 (1)求椭圆C的标准方程， (2)若直线l:y=kx十m(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点(P,Q两点均异于点A). 线 (1)若∠PAQ=90,求的值： (1)若k=号证明：经过A,P,Q的圆n经过两个定点 数学（北师大）试题第4页（共4页） 高二年级质量检测 数学（北师大） 参考答案 1.C【解析】根据排列数公式可知，2025×2024× 8.C【解析】设P(x,y),由PA|=2|PB|得， 2023=A2025: √x-2)2+y=2√(x+1)+y,整理得 故选C. (x+2)2+y2=4,所以点P在以C1(-2,0)为圆 2.B【解析】因为直线x=cos75°垂直于x轴，所以 心，半径为2的圆上 该直线的倾斜角为90°. 点Q在圆C:(x十1)2十(y一4)2=1上运动，该圆 故选B. 的圆心为C(-1,4),半径为1， 3.A【解析】根据椭圆的定义可知，PF1|十 如图， |PF2=2a=12,又|PF1-|PF2=6,解得 PF1=9,PF2|=3. -y2=0 故选A 4.D【解析)由双曲线C:2一=1(6>0)可知，其 渐近线方程为y=士 √2x,由题意可知√2=2， 所以b2=8,则c2=a2+b2=10,解得c=√10，所 以C的焦距为2√10 MP|=|MC|-2,|MQ=|MC-1,设圆C 故选D 与圆C2关于直线x一y一2=0对称，则 5.D【解析】(x-2y+3)5的展开式中xy3的系数 |MC|=|MC2, 为CgC(-2)3·3=-480. 连接CC2,则|PM+|QM|=|MC|-2+ 故选D |MC|-1=|MC|+|MC2|-3≥|CC2|-3,当 6.A【解析】设OA=xm十yn十zp, C,M,C2三点共线时，取得最小值. 则OA=x(a-b)+y(a十b-c)+z(a-b+c)= y1 =-1, (x+y+z)a+(-x+y-z)b+(z-y)c, x1+2 设C2(x1,y1),则 x+y+x=1, 2为-2=0， 22 又OA=a+3b十c,则-x十y-z=3,解得x= 之-y=1, x1=2, 解得 即C2(2,-4), -4,y=2,之=3，所以OA=-4m十2n+3p. y1=-4, 故选A. 所以|CC2=√(-1-2)2+(4+4)2=√73，则 7.C【解析】分两种情况：①乙和甲都去文明社区， |PM|+|QM的最小值为√73-3. 则有A?=2种安排方法；②甲去文明社区，乙去民 故选C. 主社区，则有C2C一1=5种安排方法，根据分类加 9.ACD【解析】由2a+b=(4,0,4),b=(2,2,2),得 法计数原理可知，不同的安排方法共有2十5=7 a=(1,-1,1),A正确； (种). 假设b=λa,则(2,2,2)=(，一入，λ)，显然入无解， 故选C. 所以a与b不平行，B错误； ·数学（北师大）答案（第1页，共6页）· 因为2a-b=(0,-4,0),所以(2a+b)·(2a-b)= 9 (4,0,4)·(0,-4,0)=0,则(2a+b)⊥(2a-b),C 3t2-1' 正确； 所以|AF2|+|BF2|=|AF2|+|BF2|= 因为a·b=2-2+2=2,所以cos<a,b>= 1AB=√1+t·|y1-(-y2)川=√1+t· a·b 3D正确. √y1+(-y2)]-4y1·(-y2)=√1+t· a·b3×2√3 故选ACD. -4X。9=61+2) 312-11-312 的展开式中各二项 令1+=a,则ae[说4=项-1，所以 式系数之和为C9十C+…十C?=2=128,A 6m |AF2+1BF2=4-3m-4 6 错误； 一3 m (aVzF- 的展开式的通项为T+1= 易知两数了0m)-语一3在[品】上单润递减， m (-1)'a7-rCx xi=(-1aC号 92 所以号<fm)≤号则2≤AP,+BR,≤ 令28-7r=0,解得r=4,所以(-1)a3C4=35, 解得a=1,B正确； 30,所以|AF2|+|BF2>7,B正确； 令x=1,则展开式中各项的系数之和为(1-1)7= 由双曲线的定义可知，|AF1=2a十AF2|= 0,C正确； 2+|AF2|,|BF1|=2a+|BF2|=2+|BF2, 因为各项系数为（一1）'C?,要使系数取得最大值， 所以|AF1|+|BF1|=4+|AF2|+|BF2|≤ 4+30=34,故AF1+BF1的最大值为34，C 所以x必为偶数，则C?为展开式中的最大系数， 所以展开式中系数最大的项为第5项，D错误. 错误； 易知OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则cos<OA, 故选BC. OB>= 1oA·10,所以sin<0A,0>- OA·OB L,ABD【解标】由双曲线C:-3=1(a>0)的 离心率为2得，@3=2，解得a=1,A正确： 1 : 不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线E:y= 则△0AB面积为SaB=1O2·1O店2， k|x一2|，k∈[2,4]，过焦点F2(2,0),因为C的 渐近线方程为y=士√3x,而直线y=k(x一2)的 sm<oi,oi>=[1oi·1oi-(oi· 斜率k∈[2,4]，所以延长线段AF2与C的右支 oi)2]=是[(+好)(+) 交于点B。,由对称性可知，B与B。关于x轴对 称，设A(x1y1),B(x2,y2),则B。(x2,-y2), (红1+3y)2]=}（i+ 不妨设直线AB。的方程为x=y十2，则t=友∈ 。1 1 2x1x:y1y:)=4(a1y:-x:y), 「117 L42 所以Sa8=71z3g-x=号。 x2、y2 由 -3=1,整理得(312-1Dy2+12y+9=0, 1(ty1+2)y2-(-ty2+2)y1l=ty1y2+(y2 x=ty+2, 小+ 3一 -12t 所以1+（-y)=3二y1·（-y）= ·数学（北师大）答案（第2页，共6页）· 因为y=-在[] 上单调递减，所以 p=0时取等号，故d[BM,AB门的最大值为10. 2x-y-2=0, x=1, 113 15.解：(1)由 解得 (2分) ymx=4-34=4, x-y-1=0, y=0, 所以顶点A(1,0), (3分) 412 故△OAB面积的最小值为3×1313D正确. 故选ABD. 由两点式方程可知，边AB所在直线方程为二。 12.√2【解析】由题意可知，m=1,所以两直线之间 x-1 2-,故边AB所在直线的一般式方程为x十 的距离为d=一4-6L=10 3y-1=0. (6分) √/72+（-1)75√2 =2. (2)易知边BC所在直线的斜率为一1，所以边BC 13.24【解析】因为甲、乙均不在这排座位的两端，所 所在直线的方程为y一1=一(x+2),即x十y+ 以剩下的3个座位安排甲、乙，又甲、乙相邻，所以 1=0, (7分) 有C2A2=4(种)坐法，还剩3人3个位置进行全 1 排列，有A=6(种)坐法，根据分步乘法计数原理 2x-y-2=0, 3 可知，不同的坐法有4×6=24（种）. 由 解得 x+y+1=0, 4 14.10【解析】如图，以C为坐标原点，以CD,CB, y=-3' CC1所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 所以边BC的中点D的坐标为（行，专），(9分) 标系， 则点D到边AB的距离为d= +8×()-1 3 7√10 √10 15 所以边AB上的高为h=2d=1410 15, (11分) D =33 又|AB|=√(-2-1)2+(1-0)2=√10，(12分) 故Sae=号KIABIX-- 31 (13分) 则A(2,3,0),B(0,3,0),B1(0,3,4),设M(x0 0,z),0≤x0≤2,0≤x0≤4，则AB1=(-2,0, 16.解：(1)令x=-1得，a0-a1+a2-ag+a4 4),BM=(x0,-3,z0), a5十a6-a7十a8=0, (4分) 由|BM=√10得，x+9十z8=10,所以x十 故a1-ao十a3-a2十a5-a4十a?-a6-a8=0. x=1, (6分) (2)a。十a1x+a2x2+…+a8x8=Cg(x+1)+ 设x,=cos9,2,=sin9,0≤p<,故Bi C8(x+1)2+…+C8(x+1)8=(x+2)8-1, (cos o,-3,sin ) (8分) 根据新定义，d[BM,ABi]=|cos9十2|+ 令x=0,则a0=28-1=255, (10分) |-3-0|+sinp-4|=cos9+2+3+4 把(x十2)8按二项式定理展开，易得a5=C·23= sin9=9-2sin(9-爱）， 448, (13分) 所以a0-a5=255-448=-193. (15分) 因为0≤9≤，所以-开≤9-至≤牙，所以 17.解：(1)抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F a[Bi,AB<9-2×(-2)=10,当且仅当 ( ·数学（北师大）答案（第3页，共6页）· 由题意可知，2×号-0-4=0，解得p=4,(2分) 以F为原点，以FA,FP所在直线分别为x,之 轴，以过F平行于AB的直线为y轴，建立如图 故抛物线C的方程为y2=8x. (3分) 所示的空间直角坐标系F-xy之. (2)将2x-y-4=0代入y2=8x, 得x2-6x+4=0, (4分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1十x2=6,x1x2= 4, (5分) 由抛物线的定义可知，|PQ=x1十x2+4=10, (6分) |PF|·|QF|=(x1+2)(x2十2)=x1x2+2(x1十 x2)+4=4+2×6+4=20, (8分) 枚PFQF=2. PQ (9分) 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(一1,0,0)，P(0,0, (3)证明：易知动直线12的斜率不为0，设其方程 2). (6分) 为x=ty+4,A(x3,y3),B(x4,y4), (1)因为四边形ABCE为正方形，所以正方形 ABCE外接圆O1的圆心为正方形ABCE的中 x=ty十4， 整理得y2-8ty-32=0, (10分) y2=8x, 心，则O1(0,1,0), 则△=64t2+128>0, 由球的性质可知，OO1⊥平面ABCE,设O(0,1, z),球O的半径为R, (7分) y3+y4=8t,y3y4=-32, (11分) 所以OA=OP=R, 所以△ABF的面积为Sa=专×(4-2)· 即√(1-0)2+(0-1)2+(0-z)2= |y3-y4|=√(y3+y4)2-4y3y4=√64t2+128= √(0-0)2+(0-1)2+(2-z)z, 8t2+2, (12分) 解得=是故00,1，)月 (8分) 由题意得，8v√十2=8√3，解得t=士1，(13分) 所以直线l2的方程为x士y一4=0，则N(0, 所以R=1-0y+0-10+0-）'-0 ±4)，故|OM=ION|. (15分) (9分) 18.解：(1)证明：因为∠ABC=90°，CE⊥AD,所以 故球0的表面积为S0=4xR2- 4π. (10分) AB∥CE, (1分) 又CE⊥AE,CE⊥PE,且AE∩PE=E,AE, (i)过P作PH∥AB,易证平面PAB∩平面 PEC平面PAE,所以CE⊥平面PAE.(2分) PCE=PH,则Q∈PH, (11分) 则AB⊥平面PAE, (3分) 设Q(0,t,2),则AE=(-2,0,0),EQ=(1,t,2), 又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE. B0=（-1,-1,),B=(-1,-2,2), (4分) (2)易知四边形ABCE为矩形，又AB=BC=2, (12分) 所以四边形ABCE为正方形， 设平面AEQ的法向量为m=（x1,y1,z1), 取AE的中点为F,连接PF,因为PE=PA= AE·m=0,-2x1=0, 则 即 取y1=2, √5，所以PF⊥AE, E0·m=0,x1+ty1+2z1=0, 由(1)得平面ABCE⊥平面PAE,则PF⊥平面 所以m=(0,2,-t)； (13分) ABCE. (5分) 设平面OBQ的法向量为n=(x2,y2,之2)， ·数学（北师大）答案（第4页，共6页）· B0·n=0, 所以4m-12)0+e）_8张m6m二2+4十 则 -+=0, 即 取 4k2+3 4k2+3 BQ·n=0, -x2十(t-2)y2十2x2=0, m2=0, y2=5,所以n=(-3t-2,5,4(1-t),(14分) 整理得经+70十16m=0, 又PQ=1,解得t=士1， 4k2+3 (8分) 2 当t=1时，则m=(0,2,-1),n=(-5,5,0), 所以4级2+7m2+16em=0,即7（图） +16· 所以|cos<m,n>|= m·n 10 m·n√5X5√2 4=0, √10 (15分) 解得 -号-2 (9分) 5 当t=-1时，则m=(0,2,1),n=(1,5,8), 当 =一2时，y=kx十m=(x一2)经过点A 所以|cos<m,n>| m·n 18 (2,0),不合题意， m·n √5X3J10 3v2 当 号时，满足愿意放2的值为一名。 5 (16分) (10分) 故平面OBQ与平面AEQ夹角的余弦值为VI0 (ⅱ)证明：设经过A,P,Q的圆2的方程为x2+ 5 y2+Dx+Ey+F=0, 安 (17分) 因为A(2,0),所以4+2D+F=0,则F=-4- 2D, (11分) 19.解：(1)易知A(a,0),B(0,b), 则圆2的方程为x2+y2十Dx十Ey一4一2D=0, a=2, 根据条件得 解得a=2,b=√3， 1 a2+b=√7， 联立 y= 2x+m, (2分) x2+y2+Dx+Ey-4-2D=0, 放餐园℃的标准方程为后+号-1。 (3分) (m+D+号)x+m2+mE-2D-4=0,4>0, (2)(1)设P(x1y1),Q(x2y2), 「y=kx十m, 所以1+：=-(m+D+),:=(m 由2+少-1，整理得(4+3)x+8kmx+ +mE-2D-4), (12分) 43 =1, 4m2-12=0, (4分) 由(1)知，当k=2时，x1十x2=一m,x1x?=m 则△=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2 -3, -m2+3)>0, 则-m=一 (m+D+号)，m-3=号m+ 8km 4m2-12 x1十x2=一 4k2十3x1x2一4k2十3 (5分) mE-2D-4), (13分) 因为∠PAQ=90°，所以A产·AQ=(x1-2,y)· 所以m=4D+2E,m2+1=4mE-8D, (x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 则m2+2m+1=4(m+1)E,当m=-1时，联立 1 (6分) y=2x-1, x=一1， x=2, 则(x1一2)(x2一2)十(kx1十m)(kx2十m)=0, 易得 或3此时P,Q 即(1+k2)x1x2十(km-2)(x1十x2)+4十m2= (4+3-1, y=0,y= 2 0, (7分) 其中一点与A重合，舍去，故m≠-1，所以E= ·数学（北师大）答案（第5页，共6页）· m+10,D-gm-1D. 1 (14分) 整理得)-子=0，解得y=0或y2, 故圆n的方程为x+y+日m-1x+是m+ (16分) [x=一1， x=2, 1Dy-1(m-1D-4-0, 所以 或3 y=0,y=2' 整理得（女+y-名+y-)+(g+ 故经过A,P,Q的圆2经过两个定点(2,0)， 3)m=0, (1》 (17分) (15分) z2+y2-1x 令 111 8x+4y-4=0, ·数学（北师大）答案（第6页，共6页）·秘密★启用前 高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑 如需改动，用撩皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，将答素写在答题卡 上。写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.2025×2024×2023可表示为 A.Cios B.C朏 C.Aos D.A好8朏 2.直线x=cos75的倾斜角为 A.0° B.90° C.75° D.25° I' 3设F1E,分别是椭圈C+1的左、右焦点，点P在C上，且P,-PF,上 6,则 A.PF=9 B.PF,|=6 C.|PF2|=8 D.PF,|=4 _y2 4,及曲线C:1b>0)的一条渐近线方程为y=一2x,则C的焦距交 班 级 A.6 B.√1o C.26 D.2√10 5.（x一2y+3)5的展开式中xy的系数为 姓 名 A.480 B.160 C.-160 D.-480 6.设{a,b,c)是空间的一组单位正交基底，向量OA=a+3b十c,若m=a-b,n=a+b cp=a一b+c,且{m,n,pl是空间的另一组基底，则OA= A.-4m+2n+3p B.4m-2n十3p C.4m+2n-3p D.4m+2n+3p 7.某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人 必须要去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宜传，若甲去文明社区，乙不 数学（北师大）试题第1页（共4页） 去富强社区，则不同的安排方法有 A.16种 B.12种 C.7种 D.6种 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足|PA|=2|PB|,点Q在圆C:(x+1)2十(y-4)2= 1上运动，点M在直线x一y一2=0上运动，则|PM|+|QM引的最小值为 A.5√2-3 B.62-3 C.73-3 D.45-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知2a十b=(4,0,4),b=(2,2,2),则下列正确的有 A.a=(1,-1,1) B.a∥b C.(2a+b)⊥(2a-b) D.cos<a.6>- 10.已F-》 的展开式中常数项为35，a为实数，则下列说法正确的有 A(e) 的展开式中各二项式系数之和为64 B.a=1 C 的展开式中各项的系数之和为0 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 山已知双曲线C号-号=1a>0)的离心率为2，P,F,分别为C的左，右焦点，0为 坐标原点，曲线E:y=k|x一2|，k∈[2,4幻，且E与C交于A,B两点，则下列正确的有 A.a=1 B.|AF:|+|BF:I>7 C.|AF,+|BF,I的最大值为32 D.△0AB面积的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线7x-y一4=0与7x一my+6=0(m∈R)之间的距离为 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的 两端，则不同的坐法有 种 14.已知a=(a1,a:,a),b=(b1,b,b),定义d[a,b]=|a,-b,|+|az-b:|+ |a,-bl.若直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面为矩形，AA,=2AB=4,BC=3,M 为侧面CDD,C,(包含边界)内一动点，且|BM|=√0，则d[BM,AB,门的最大值 为 数学（北师大）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(一2,1)，边BC上的中线所在的直线方 程为2x一y一2=0，边BC上的高所在的直线方程为x一y一1=0. (1)求边AB所在直线的一般式方程： (2)求△ABC的面积. 16.(15分) 已知a。+a1x+ax2+…+ax'=C(x+1)+C(x+1)+…+C(x+1)'. (1)求a1一a。十a一a,十as一a,十a,-ag-a1的值： (2)求a。-as的值. 17.(15分) 已知F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，直线l1:2x-y一4=0经过F,且l,与C 相交于P,Q两点，过点M(4,0)的动直线l:与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程： (2)求PF1oF的值： PQ (3)设O为坐标原点，若△ABF的面积为83，直线l:与y轴交于点N,证明： IOM=ON 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=90°，AB=BC=2,AD=2+5,过C作 CE⊥AD,垂足为E,将△CDE沿CE翻折至△CPE,使点D落在点P的位置，AP= 5. 装 (1)证明：平面PAB⊥平面PAE. (2)已知P,A,B,C,E五点均在球O的球面上. (1)求球O的表面积： (i)设点Q∈平面PAB,点Q∈平面PCE,若PQ=1,求平面OBQ与平面AEQ夹角 的余弦值 注意清点有无漏印或缺页， 19.(17分) 已知箱圆c+ =1(a>6>0)的右顶点为A(2,0),上顶点为B,且{AB1=7. 若有要及时更换 (1)求椭圆C的标准方程， (2)若直线l:y=kx十m(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点(P,Q两点均异于点A) (1)若∠PAQ=90,求贺的值： ()若k=7,证明：经过A,P,Q的圆n经过两个定点， 数学（北师大）试题第4页（共4页）高二年级质量检测 数学（北师大） 评分细则 12.√2 令x=0,则a。=28-1=255, (10分) 13.24 把(x十2)8按二项式定理展开，易得a5=C8·23= 14.10 448, (13分) 2xy-2=0, 所以a0-a5=255-448=-193. (15分) 15.解：(1)由 (2分) x-y-1=0, 解得1， y=0, 17.解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F 所以顶点A(1,0), (3分) (层 由两点式方程可知，边AB所在直线方程为二。 1-0 由题意可知，2×多-0一4=0，解得力=4，(2分) 2 x-1 二2一故边AB所在直线的一般式方程为x十 故抛物线C的方程为y2=8x, (3分) 3y-1=0. (6分) (2)将2x-y-4=0代入y2=8x, (2)易知边BC所在直线的斜率为一1，所以边BC 得x2-6x十4=0， (4分) 所在直线的方程为y-1=-(x十2)，即x十y十 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1十x2=6,x1x2= 1=0, (7分) 4, (5分) 1 由抛物线的定义可知，|PQ|=x1十x2+4=10, x= 2x-y-2=0, 3 由《 解得 (6分) x+y+1=0, y 4 |PF|·|QF|=(x1+2)(x2十2)=x1x2+2(x1+ 3 x2)+4=4+2×6+4=20, (8分) 所以边BC的中点D的坐标为行，》，9分) 故PFQF=2 PQ (9分) 则点D到边AB的距离为d (3)证明：易知动直线12的斜率不为0，设其方程 +3x(-)-1 710 为x=ty十4，A(x3,y3),B(x4y4), √10 15 |x=ty十4， 整理得y2-8ty-32=0, (10分) y2=8x, 所以边AB上的高为h=2d=14Y0 15 (11分) 则△=64t2+128>0, 又|AB|=√(-2-1)2+(1-0)2=√10，(12分) y3+y4=8t,y3y4=-32, (11分) 放S6m=XABX五-号 3 (13分) 所以△ABF的面积为SAA=号×(4-2). 16.解：(1)令x=-1得，a0-a1十a2-a3十a4- y3-y4=V(y3+y4)2-4y3y4=√64t2+128= a5十a6-a,十ag=0, (4分) 8Wt2+2, (12分) 故a1-a。十a3-a2十a5-a4十a7-a6-ag=0. 由题意得，8√2十2=8√3，解得t=±1，(13分) (6分) 所以直线12的方程为x士y一4=0，则N(0, (2)ao+a1x十a2x2+…+a8x8=C8(x+1)十 ±4)，故|OM|=|ON|. (15分) C8(x+1)2+…十C8(x+1)8=(x十2)8-1， 18.解：(1)证明：因为∠ABC=90°，CE⊥AD,所以 (8分) AB∥CE, (1分) ·数学（北师大）评分细则（第1页，共3页）· 又CE⊥AE,CE⊥PE,且AE∩PE=E,AE, (i)过P作PH∥AB,易证平面PAB∩平面 PEC平面PAE,所以CE⊥平面PAE.(2分) PCE=PH,则Q∈PH, (11分) 则AB⊥平面PAE, (3分) 设Q(0,t,2),则AE=(-2,0,0),E0=(1,t,2), 又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE. B0=(-1,-1,),B=(-1,-2,2), (4分) (2)易知四边形ABCE为矩形，又AB=BC=2, (12分) 所以四边形ABCE为正方形， 设平面AEQ的法向量为m=(x1,y1,之1)， 取AE的中点为F,连接PF,因为PE=PA= AE·m=0,-2x1=0, 则 即 取y1=2, √5，所以PF⊥AE, Ed,m=0,x,+ty1+2x1=0, 由(1)得平面ABCE⊥平面PAE,则PF⊥平面 所以m=(0,2,-t)； (13分) ABCE. (5分) 设平面OBQ的法向量为n=(x2,y2,z2), 以F为原点，以FA,FP所在直线分别为x,之 B0·n=0, 轴，以过F平行于AB的直线为y轴，建立如图 则 即 -+=0, 取 所示的空间直角坐标系F-xyz. BQ·n=0,-x2+(t-2)y2+2x2=0, y2=5,所以n=(-3t-2,5,4(1-t),(14分) 又PQ=1,解得t=士1， 当t=1时，则m=(0,2,-1),n=(-5,5,0), m·n 10 所以|cos<m,n>| m·n D √5×5√2 √10 5, (15分) 当t=-1时，则m=(0,2,1),n=(1,5,8), m·n 18 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(-1,0,0),P(0,0, 所以|cos<n,n> m·n √5X310 2). (6分) 3√2 (1)因为四边形ABCE为正方形，所以正方形 5 (16分) ABCE外接圆O1的圆心为正方形ABCE的中 心，则O1(0,1,0), 故平面OBQ与平面AEQ夹角的余弦值为V四 5 由球的性质可知，OO1⊥平面ABCE,设O(0,1, ),球O的半径为R, (7分) 安 (17分) 所以OA=OP=R, 19.解：(1)易知A(a,0),B(0,b), 即√/(1-0)2+(0-1)2+(0-之。)2= a=2, 根据条件得， 解得a=2,b=√3， √/(0-0)2+(0-1)2+(2-z0)2, √a2+b=√7， (2分) 解得。=子，故00,1，)】 (8分) 做椭圆C的标准方程为+行 (3分) 所以R=1-o+0-1+()-, (2)(1)设P(x1y1),Q(x2y2), (9分) y=kx十m, 故球0的表面积为S球0=4R?= 4π. (10分) 的z?,y2,整理得(4k十3)x十8nx+ ·数学（北师大）评分细则（第2页，共3页）· 4m2-12=0, (4分) 所以x+,=-(m+D+5）x:-(m 则△=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2 -m2+3)>0, +mE-2D-4), (12分) x1十x2= 8km 4k2+321x2- 4m2-12 4k2+3 (5分) 由(1)知，当k=2时，x1十x2=一mx1x2=m2 因为∠PAQ=90°，所以AP·AQ=(x1-2,y)· 一3， (x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 则-m=-(m+D+号)，m-3=号m+ (6分) mE-2D-4), (13分) 则(x1一2)(x2-2)十(kx1十m)(kx2十m)=0, 所以m=4D+2E,m2+1=4mE-8D, 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2= 则m2+2m+1=4(m十1)E,当m=-1时，联立 0, (7分) 1 所以4m一12》1+&）-86m（m2+4十 y= 2x1, x=-1, x=2, 4k2+3 4k2+3 易得 或{ 3此时P,Q x21y2 (4+3=1, y=0,y= 2 m2=0, 整理得46+7m+16m=0, (8分) 其中一点与A重合，舍去，故m≠一1，所以E= 4k2+3 所以4k2+7m2十16km=0,即7 +16· m m+1D,D= 1 8(m-1), (14分) 4=0, 故圆n的方程为x2+y+g(m-1)x+4(m十 (9分) 1Dy-4(m-1)-4=0, 当爱=-2时y=k虹十m=(z一2》经过点A 整理得(x+y名+子y）+(合x+ (2,0),不合题意， (15分) 当紧-一号时满足题意故的值为一品 ）m=0. z+y2-1 (10分) (ⅱ)证明：设经过A,P,Q的圆2的方程为x2十 11 8x+4y-4=0, y2+Dx十Ey+F=0, 整理得)2- 3 因为A(2,0),所以4十2D十F=0,则F=一4一 2y=0,解得y=0或y=2, 2D, (11分) (16分) 则圆2的方程为x2十y2十Dx十Ey一4一2D=0, x=-1, x=2, 1 所以 或3 联立 y=2x+m, 则x y=0,y=2' x2+y2+Dx+Ey-4-2D=0 故经过A,P,Q的圆2经过两个定点(2,0)， (m+D)x+m2+mE-2D-4=0,4>0. (1,》 (17分) ·数学（北师大）评分细则（第3页，共3页）·