5.6.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 5.6.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质与应用 学习目标 1．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，并正确作出函数的图象 直观想象 2．能由y＝Asin(ωx＋φ)确定相关性质 数学运算 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 复习回顾 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 复习回顾 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 新课引入 思考：已知函数解析式，可以根据五点作图画出的图象。那么是否可以根据部分图象，得出函数的解析式呢？ 有三角函数的性质可知： 周期：正弦、余弦 正切 探索新知 思路：函数图像 确定参数、 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 给出y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，确定A、ω、φ的方法 逐一定参法：如果从图象直接确定A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ． 五点对应法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． 图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数． 探索新知 变式： 已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式是( ) A. 1 B. C. D. [解析] 由图象知， ， 即 , 即 ， 得 ， 则. 由“五点法”得 ， ， 又 ， 可得， 即 , 故选D. 探索新知 变式： 如图为函数 的部分图象， 其中，两点之间的距离为5，则函数 的解析式为___________． [解析] 设,，其中， 因为， 两点之间的距离为5， 所以， 可得， 即函数的最小正周期 满足 ，所以， 可得， 所以 ， 又由， 可得， 又因为 ， 所以 ， 故函数的解析式为 . 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探索新知 探究函数y=Asin(ωx+φ)何时是奇函数?何时是偶函数? 【例1】 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移 个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　) B 探索新知 探索新知 探究函数y=Asin(ωx+φ)的单调性? 课堂小结 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 作业 对应课后练习 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 回忆正弦曲线得到y=Asin(ωx＋φ)图像的变换过程：问题1 φ＞0时所有点向左平移|φ|个单位 φ＜0时所有点向右平移|φ|个单位 0＜A＜1所有点的纵坐标缩短 到原来的A倍（纵坐标不变） A＞1时所有点的纵坐标伸长 到原来的A倍（横坐标不变） 0＜ω＜1所有点的横坐标伸长 到原来的倍（纵坐标不变） ω＞1时所有点的横坐标缩短 到原来的倍（纵坐标不变） 如果上述过程的步骤2和步骤3交换顺序又怎样？问题2 φ＜0时所有点向右平移个单位 φ＞0时所有点向左平移个单位 0＜A＜1所有点的纵坐标缩短 到原来的A倍（纵坐标不变） A＞1时所有点的纵坐标伸长 到原来的A倍（横坐标不变） 0＜ω＜1所有点的横坐标伸长 到原来的倍（纵坐标不变） ω＞1时所有点的横坐标缩短 到原来的倍（纵坐标不变） 由图象求三角函数的解析式 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的一部分，求此函数的解析式． 解：(方法一，逐一定参法) 由图象知A＝3，T＝－＝π，所以ω＝＝2， 所以y＝3sin(2x＋φ)． 因为点在函数图象上，所以0＝3sin． 所以－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)． 因为|φ|＜，所以φ＝．所以y＝3sin． (方法二，待定系数法) 由图象知A＝3．因为图象过点和， 所以解得 所以y＝3sin． (方法三，图象变换法) 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以 y＝3sin 2，即y＝3sin． 例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩 天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色. 如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m， 转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时 针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置 进舱，转一周大约需要30 min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. 二、函数y=sin(ωx＋φ)在实际中的应用 分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画， 先观察运动状态动画 由右图不难看出游客距离地面的的高度H 随时间t的变化，是一个关于时间t的三角函数 如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. (1)设t=0 min时，游客甲位于点P(0,－55)，以OP为终边的角为－，根据摩天轮转一周大约需要30 min， 可知座舱转动的角速度约为 rad/min， 由题意可得H =55 sin+65，0≤t≤30. (2)当t=5时， H=55 sin+65=37.5. 所以，游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5m. (3)如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点A,B表示， 则∠AOB=＝ 经过t min后甲距离地面的高度为H1=55 sin+65，点B相对于点A始终落后 rad， 此时乙距离地面的高度为H2=55 sin+65. 则甲、乙距离地面的高度差h=|H1－H2| =55=55 利用sinθ＋sinφ＝2sincos 可得 h=110，0≤t≤30 当t－＝ (或)即t≈7.8（或22.8）时，h的最大值为110sin=7.2 . 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m. 解三角函数应用问题的一般步骤 题型2　三角函数图象的对称性 　　　　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为 (　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) (2)在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是____________． 【答案】(1)B　(2) 1. 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)， k∈Z求得； 对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得． 2．对于y＝Acos(ωx＋φ)，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求对称轴；由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z可求对称中心横坐标． A. B. C.0 D.- 解析 把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象的解析式是y=sin(2x++φ),该函数是偶函数的条件是+φ=kπ+,k∈Z,根据选项检验可知φ的一个可能取值为. 2．(题型1，3)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上一个最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0)． (1)求函数的解析式； (2)假设函数的定义域为[－6，0]，求函数的值域． 解：(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4， 所以T＝16，即＝16，则ω＝．所以y＝sin． 又因为图象过最高点(2，)，所以sin＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ＝， 所以y＝sin． (2)因为－6≤x≤0，所以－≤x＋≤， 所以－≤sin≤1． 故函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1]． $