第七章 幂的运算（复习讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第七章 幂的运算（复习讲义） 1. 理解并会推导同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方、0指数幂、负整数指数幂的运算公式，并能用符号语言和文字语言准确描述； 2. 会逆向使用幂的运算公式解决简单的问题； 3. 会用科学记数法表示绝对值小于1的数。 知识点 重点归纳 常见易错点 同底数幂的乘法 （1）文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）符号表示：； 易与合并同类项法则混淆: 正确： 同底数幂的乘法 （1）文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2）符号表示：； 很多同学会出现如下错误 正确： 幂的乘方 （1）文字表述：幂的乘方,底数不变,指数相乘； （2）符号表示：； 很多同学会出现如下错误 正确： 积的乘方 （1）文字表述：积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘； （2）符号表示：； 易出现一下错误： 括号内后面的因式忘记乘方 0指数幂 （1）文字表述：任何不等于0的数的0次幂等于1； （2）符号表示：； 类似与问题求未知数时，只考虑到指数为0的情况，忘记考虑底数为1或-1的情况，导致漏解； 负整数指数幂 （1）文字表述：任何不等于0的数的次幂,等于这个数的次幂的倒数； （2）符号表示：； 公式记忆不牢，计算错误率较高； 科学记数法 一般地,用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式,其中,是正整数.规定了负整数指数幂后,对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式,其中,是正整数. 对于绝对值小于1的数在写成科学记数法时，忘记将指数写成负指数。 题型一 利用同底数幂的乘法计算 【例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【变式1-2】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 题型二 逆向使用同底数幂的乘法公式 【例2】已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 【变式2-1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，，则 ； 题型三 利用同底数幂的除法计算 【例3】计算的结果为 ． 【变式3-1】若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【变式3-2】计算： (1)． (2)． (3)． 题型四 逆向使用同底数幂的除法计算 【例4】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【变式4-1】计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【变式4-2】已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型五 使用幂的乘方公式计算 【例5】若，则 ． 【变式5-1】已知，则 ， ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； 题型六 逆向使用幂的乘方公式计算 【例6】已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【变式6-1】已知，求的值． 【变式6-2】（1），，求的值； （2）若，，求． 题型七 使用积的乘方公式计算 【例7】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（1）计算：． （2）若，，求的值． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 题型八 逆向使用积的乘方公式计算 【例8】比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【变式8-2】阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 题型九 0指数幂、负整数指数幂的计算 【例9】计算的结果是（    ） A．π B． C． D．－2 【变式9-1】若，则x的值为 ． 【变式9-2】计算：． 题型十 科学记数法 【例10】近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】某种纸1张的厚度约为，用科学记数法表示这个近似数为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 8．计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 10．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题） 11． ． 12．计算： ． 13．已知，则 ． 14．若，，则 ． 15．若，，则 ． 16．若等式成立，则x的值为 ． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 3．已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（） A． B． C． D． 6．计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 7．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 8．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 9．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 10．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 二、填空题（本题共6小题） 11．若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 12．若，的值为 ． 13．计算的结果为 ． 14．若，则的值是 ． 15．若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 16．若，则 ． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 18．若且是正整数），则；一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 19．求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 20．【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算（复习讲义） 1. 理解并会推导同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方、0指数幂、负整数指数幂的运算公式，并能用符号语言和文字语言准确描述； 2. 会逆向使用幂的运算公式解决简单的问题； 3. 会用科学记数法表示绝对值小于1的数。 知识点 重点归纳 常见易错点 同底数幂的乘法 （1）文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）符号表示：； 易与合并同类项法则混淆: 正确： 同底数幂的乘法 （1）文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2）符号表示：； 很多同学会出现如下错误 正确： 幂的乘方 （1）文字表述：幂的乘方,底数不变,指数相乘； （2）符号表示：； 很多同学会出现如下错误 正确： 积的乘方 （1）文字表述：积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘； （2）符号表示：； 易出现一下错误： 括号内后面的因式忘记乘方 0指数幂 （1）文字表述：任何不等于0的数的0次幂等于1； （2）符号表示：； 类似与问题求未知数时，只考虑到指数为0的情况，忘记考虑底数为1或-1的情况，导致漏解； 负整数指数幂 （1）文字表述：任何不等于0的数的次幂,等于这个数的次幂的倒数； （2）符号表示：； 公式记忆不牢，计算错误率较高； 科学记数法 一般地,用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成的形式,其中,是正整数.规定了负整数指数幂后,对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为的形式,其中,是正整数. 对于绝对值小于1的数在写成科学记数法时，忘记将指数写成负指数。 题型一 利用同底数幂的乘法计算 【例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1-1】若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂相乘的法则，指数相加，计算左边已知部分的指数和，再根据等式求解未知指数的值即可． 【详解】解：∵， 设横线上应填， 则， ∴， ∴， 故横线上应填． 故选D． 【变式1-2】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加．直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【详解】解：， 故选：A． 题型二 逆向使用同底数幂的乘法公式 【例2】已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法逆用，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式2-1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则将转化成，再代入已知值计算即可． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 【变式2-2】若，，则 ； 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用． 逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 题型三 利用同底数幂的除法计算 【例3】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法，以及乘方，掌握同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减.是解题关键．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3-1】若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【详解】解：∵，， ∴， 于是． 故选：A． 【变式3-2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型四 逆向使用同底数幂的除法计算 【例4】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，逆用法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-1】计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 题型五 使用幂的乘方公式计算 【例5】若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了幂的乘方和幂的乘方的逆运算，根据可得，而，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【变式5-1】已知，则 ， ． 【答案】 5 25 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【详解】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算． （1）先处理符号，再按照同底数幂的乘法进行计算即可． （2）先计算幂的乘方，再按照同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 逆向使用幂的乘方公式计算 【例6】已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【变式6-1】已知，求的值． 【答案】 【分析】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【变式6-2】（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型七 使用积的乘方公式计算 【例7】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式7-1】（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 题型八 逆向使用积的乘方公式计算 【例8】比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-1】若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【变式8-2】阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 题型九 0指数幂、负整数指数幂的计算 【例9】计算的结果是（    ） A．π B． C． D．－2 【答案】B 【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则直接计算； 本题考查了零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算是解题的关键. 【详解】解：∵ （非零数的次幂为），（负整数指数幂法则）， ∴ ； 故选：B. 【变式9-1】若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 【变式9-2】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 题型十 科学记数法 【例10】近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式10-1】某种纸1张的厚度约为，用科学记数法表示这个近似数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式10-2】近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：∵， ∴ 选项B正确， 故选：B． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加． 根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】． 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键． 根据指数法则，同底数幂相乘，指数相加求解即可． 【详解】． 故选：C． 3．若，则（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】利用指数运算法则和已知条件直接计算． 本题考查了同底数幂乘法，幂的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故选：C． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 直接运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方运算法则，幂的乘方法则以及0指数幂的定义，逐一化简即可得出正确选项． 【详解】解： 选项A: ，不符合题意； 选项B: 当时，无意义，不符合题意； 选项C: ，符合题意； 选项D: ，而 ，两者不相等，不符合题意； 故选C． 7．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． 根据幂的乘方与积的乘方的逆运算进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 8．计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂．利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，求其倒数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 9．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可． 【详解】∵ ． ． ． ． 又 ∴ 最小的是． 故选： C． 10．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练的逆用同底数幂的乘法运算公式和幂的乘方运算公式进行变形，是解题的关键； 将已知方程化简得到 ，再将所求表达式 化为以为底的幂形式，利用指数运算性质代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 两边除以得：， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题） 11． ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则． 根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），进行计算即可． 【详解】． 故答案为． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与乘法分配律的逆运算，先利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 14．若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键． 利用指数法则将所求表达式用已知量表示并计算． 【详解】解：由，得； 由，得， 所以． 故答案为 ：． 15．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法，逆用幂的乘方将转化为，再代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键. （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 18．（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 20．将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 2．已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 3．已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，将左边各数转化为2的幂次形式，利用同底数幂相乘法则计算，再解方程求m.熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键. 【详解】解：由， 得 ， ∴， ∴， 得， 解得. 故选：D 4．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5．计算的结果是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，先根据偶次幂的性质将化为，再利用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 6．计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数，把原式化为，然后逆用积的乘方计算即可求解． 【详解】解：， 原式 因为，且为奇数， 所以 所以 原式， 故选A． 7．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 8．计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 9．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、，该选项正确，不符合题意； C、，该选项错误，符合题意； D、，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 10．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题） 11．若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 14．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和乘方的逆运算，由已知方程得 ，把原式化为，代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故答案为：256 15．若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 16．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，代数式求值以及乘方等运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，正确求得的值． 由可得，，解得，将代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得， 将代入可得， 原式， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．若且是正整数），则；一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用． （1）逆用幂的乘方将化为，得到，进而得到，求解即可； （2）逆用幂的乘方将化为，得到，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 19．求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 20．【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题： （1）填空：①________，________， ②________，________； 【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题． （2）________（其中m为正整数）； 【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算． （3）计算：． 【答案】（1）①36，36；②，；（2）；（3） 【详解】解：（1）①，， ②，； 故答案为：①36，36；②，； （2）； 故答案为：； （3） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $