专题01 幂的运算（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题01 幂的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法公式正向使用 1 题型二、同底数幂的乘法公式逆向使用 1 题型三、同底数幂的除法公式正向使用（常考点） 1 题型四、同底数幂的除法公式逆向使用 2 题型五、幂的乘方公式正向使用 2 题型六、幂的乘方公式逆向使用 3 题型七、积的乘方公式正向使用（重点） 3 题型八、积的乘方公式逆向使用（重点） 3 题型九、0指数幂与负整数指数幂的计算（重点） 4 题型一、同底数幂的乘法公式正向使用（常考点） 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 3．已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 题型二、同底数幂的乘法公式逆向使用（重点） 4．可写成（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 6．（x为正整数）可以写成（   ） A． B． C． D． 题型三、同底数幂的除法公式正向使用（常考重点） 7．如果（且），则的值是（   ） A．2 B．3 C．10 D．5 8．计算的结果为 ． 9．计算： ， ． 题型四、同底数幂的除法公式逆向使用（常考重点） 10．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 11．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 12．若，，则 ． 题型五、幂的乘方公式正向使用 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型六、幂的乘方公式逆向使用（常考重点） 16．已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 17．（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 18．（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 题型七、积的乘方公式正向使用（重点） 19．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 20．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 21．计算： (1)； (2)． 题型八、积的乘方公式逆向使用（重点） 22．观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 23．计算： (1) (2) 24．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 题型九、0指数幂与负整数指数幂的计算（重点） 25．计算： ． 26．计算： ． 27．计算：． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B．1 C． D． 3．在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 4．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值是 ． 6．计算： (1)； (2)； 7．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 8．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 9．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 10．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂的乘法公式正向使用 1 题型二、同底数幂的乘法公式逆向使用 2 题型三、同底数幂的除法公式正向使用（常考点） 3 题型四、同底数幂的除法公式逆向使用 3 题型五、幂的乘方公式正向使用 3 题型六、幂的乘方公式逆向使用 6 题型七、积的乘方公式正向使用（重点） 7 题型八、积的乘方公式逆向使用（重点） 7 题型九、0指数幂与负整数指数幂的计算（重点） 10 题型一、同底数幂的乘法公式正向使用（常考点） 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 2．若，则横线上应填（   ） A．x B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂相乘的法则，指数相加，计算左边已知部分的指数和，再根据等式求解未知指数的值即可． 【详解】解：∵， 设横线上应填， 则， ∴， ∴， 故横线上应填． 故选D． 3．已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将转化为与的乘积，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 题型二、同底数幂的乘法公式逆向使用（重点） 4．可写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则计算即可 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 5．已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法的逆用法则，将变形为 然后把代入计算即可解． 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 6．（x为正整数）可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的运算规则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型三、同底数幂的除法公式正向使用（常考重点） 7．如果（且），则的值是（   ） A．2 B．3 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． 利用同底数幂的除法法则，将等式转化为指数相等，然后求解n． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法，以及乘方，掌握同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减.是解题关键．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 9．计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除，应用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：； ， 故答案为：， 题型四、同底数幂的除法公式逆向使用（常考重点） 10．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 11．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据题意可求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故选：D． 12．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 题型五、幂的乘方公式正向使用 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 题型六、幂的乘方公式逆向使用（常考重点） 16．已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 17．（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 18．（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 题型七、积的乘方公式正向使用（重点） 19．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 20．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、积的乘方、幂的乘方、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法计算，然后再合并同类项即可； （2）先运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型八、积的乘方公式逆向使用（重点） 22．观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 【答案】(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘 (2) 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等． （1）根据题干算式，直接写出其运用的幂的运算法则即可； （2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算即可 【详解】（1）解：算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）解：． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （2）逆用同底数幂的乘法和积的乘方计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 24．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 题型九、0指数幂与负整数指数幂的计算（重点） 25．计算： ． 【答案】 【分析】应用负整数指数幂和零指数幂的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 26．计算： ． 【答案】－6 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算． 先根据负整数指数幂的法则计算 ，再根据零指数幂的法则计算 ，最后进行减法运算． 【详解】解： 故答案为：． 27．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算法则将原式变形为，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 3．在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键；把原数的指数变相同，再比较大小即可． 【详解】，，，，， ， ， 最大的数是， 故选：． 4．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 5．若，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了有理数乘方、零次幂等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 方程 成立的条件有三种：底数为1；底数为且指数为偶数；指数为 0 且底数不为0．分别求解并验证即可解答． 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 6．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂、整数指数幂、负整数指数幂，逆用同底数幂的乘法和积的乘方，正确化简各式是解此题的关键． （1）直接利用零指数幂的性质，整数指数幂，以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案，即可解题； （2）逆用同底数的乘法和积的乘方运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 8．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 9．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 10．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)>，< (2)< (3)< 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小； （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：， ∴>， ∵，，122<123， ∴<， 故答案为：，； （2）解：∵，，8<9， ∴<． （3）解：∵， ∴<． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $