暑假作业01 幂的运算6知识15题型巩固练+培优练+拓展练（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以幂的运算六大法则为核心，通过15类题型系统构建"法则-逆用-综合-拓展"的四层训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础法则|6个知识点|法则正逆双向应用、易错点标注|从单一运算到混合运算递进，构建幂运算知识网络| |题型突破|15类47题|统一底数/指数比较法、分类讨论、新定义转化|覆盖基础计算、化简求值、实际应用（科学记数法）等中考高频场景|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 幂的运算 【知识点1 同底数幂相乘】 法则：底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数） 【解读】 1）在应用同底数幂的乘法法则时，要注意以下两点: ①相乘时底数没有变化，即底数相同； ②指数相加的和作为最终结果幂的指数，即同底数幂的乘法的结果仍为幂的形式. 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 3）底数具有任意性，既可以是单项式，也可以是多项式，例如： 4）同底数幂的乘法法则可逆用，即（m，n都是正整数） 【知识点2 幂的乘方】 法则：底数不变，指数相乘，即 （m，n都是正整数） 【补充】 1）幂的乘方法则可以推广为（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方可逆用，即（m，n都是整数）. 【知识点3 积的乘方】 法则：积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数） 【解读】 1）学习积的乘方时，应注意以下几点：①每一个因式都要乘方；②将所得的幂再相乘. 2）积的乘方可推广至多个因式，例如：（n为正整数）. 3）积的乘方可逆用，即（n为正整数）. 4）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 【知识点4 同底数幂的除法】 法则：底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 【解读】 1）【易错】应用法则时，不要忽略指数为“1”的情况，如，而不是. 2）同底数幂的除法可逆用，即（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 4）推广：（a≠0，m，n，p都是正整数，且m＞n+p）. 【知识点5 零指数幂】 法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【知识点6 负指数幂】 法则：任何不等于 0 的数的-n（n 是正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。 用符号表示为： 特别地， 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，求的值为________． 【答案】10 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； ∴． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法法则逆运算，同底数幂除法法则逆运算，幂的乘方法则逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）逆用同底数幂除法法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【题型2 幂的乘方及其逆用】 4．（23-24六年级下·山东威海·期中）若，求______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，解一元一次方程，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若，，，为整数，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂除法逆用，解题关键是熟练掌握运算法则．根据，，得出，，再逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则求解即可； （2）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【题型3 积的乘方及其逆用】 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）计算： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方，积的乘方及单项式乘以单项式法则进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段检测）若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方逆运算．根据积的乘方以及幂的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型4 同底数幂的除法及其逆用】 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减． 根据同底数幂除法法则的逆运用进行计算即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知（m、n是正整数），则________． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，（，m、n都是正整数，且），根据同底数幂的除法法则即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：16． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂除法逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【题型5 幂的混合运算】 13．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）__________． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 15．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 16．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【题型6 零指数幂】 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：______． 【答案】1 【详解】解：． 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为，因此可得解得 ． 19．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若，则___________． 【答案】 【分析】利用“非零数的次幂等于”的性质求解． 【详解】解：任何非零数的次幂都等于，即， ，则， 故若，． 【题型7 负整数指数幂】 20．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 21．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【答案】< 【分析】先利用负整数指数幂计算，然后进行有理数大小比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么的值为______． 【答案】1 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，然后根据负整数指数幂的定义代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴． 【题型8 科学记数法】 23．（23-24七年级下·山东青岛·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值小于的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，原数绝对值小于时，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 24．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）新型冠状病毒的直径大约为纳米，纳米米，用科学记数法表示为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数，先根据单位换算将纳米转换为米，再化为符合要求的科学记数法即可． 【详解】解：纳米米米米． 25．（25-26七年级下·江苏南京·期中）随着科技的发展，芯片的制造工艺越来越精密．某高端芯片的核心-晶体管的栅极宽度已经达到了3纳米（1纳米米）的级别． (1)将3纳米用科学记数法表示为______米； (2)如果把一个晶体管近似看作一个长8纳米、宽为5纳米的长方形，那么这个晶体管的面积是多少平方米？（结果用科学记数法表示） (3)在面积为平方米（约指甲盖大小）的芯片上，如果完全铺满这种晶体管（假设晶体管之间无空隙无重叠，且每个晶体管面积为第（2）问的结果），理论上大约能容纳多少个这样的晶体管？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）根据矩形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：3纳米米米； （2）解：（平方米）， 答：这个晶体管的面积是平方米； （3）解：（个）， 答：理论上大约能容纳个这样的晶体管． 【题型9 幂运算中的化简求值】 26．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 27．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 28．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】，3 【分析】先进行乘方运算，再进行同底数幂的除法法则，再代入求值即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 29．（22-23七年级下·江苏南京·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂的除法，合并同类项，整式的混合运算进行化简，再将代入求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂的除法，合并同类项，整式的混合运算等，解题的关键是根据以上运算法则对原式进行化简求值． 【题型10 利用幂的运算比较大小】 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 31．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）小华的数学老师在数学课上给学生归纳了如下结论：“幂的形式的数之间的大小比较，可以通过统一底数，比较指数或者统一指数，比较底数来确定数之间的大小关系．” 请结合你的理解作答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）先逆用幂的乘方的运算法则化简，统一底数，比较指数的大小即可解答； （2）先逆用同底数幂的乘法法则化简，统一指数，比较底数的大小即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，有理数的大小比较，掌握同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则是解题的关键． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 【题型11 同底数幂乘法中的次数关系】 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 34．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 35．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 【题型12 幂的运算中用 x 表示 y 题型】 36．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【答案】 （1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方法则变形即可求解． 【详解】（1）∵， ∴； ． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 【答案】． 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方．逆用积的乘方得到，再逆用幂的乘方得到，代入数据求解即可． 【详解】解：． 将代入，得． 【题型13 幂的运算值为 1 的分类讨论题型】 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，则___________ ． 【答案】6或4或 【分析】需要分三种情况讨论：底数为时，底数为且指数为偶数时，底数不为且指数为时． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时，， 此时， 当且为偶数时，， 此时，为偶数， 当且时，， 此时， 综上，的值是或或． 40．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知，则_____． 【答案】 或或 【分析】根据幂运算结果为的三种情况分类讨论，分别求解并验证，即可得到的所有可能值． 【详解】解：原方程整理得：分三种情况讨论： 情况1：当指数为，底数不为时，可得，解得，此时，等式成立； 情况2：当底数为，指数为任意数时，可得，解得，此时，等式成立； 情况3：当底数为，指数为偶数时，可得，解得，此时，是偶数，，等式成立． 41．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 【题型14 幂的有规律计算问题】 42．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 【答案】(1)0；1；2 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据（1）中式子的规律写出第个等式，再逆用同底数幂的乘法说明即可； （3）利用（2）中的规律简便计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）中式子的规律，第个等式为； 说明：左边 右边； （3）解： ． 43．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和积的乘方．熟练掌握同底数幂乘法和积的乘方法则，乘法交换律和结合律，是解答此题的关键． （1）先算括号内的乘法，再算乘方；先逆用积乘方法则，再算括号内乘法，然后乘方； （2）根据积乘方法则求出即可； （3）逆用同底数幂乘法法则拆开，，而后交换位置把指数是2021的因式结合起来，并逆用积乘方法则，各部分分别计算，最后相乘即得． 【详解】（1），； 故答案为：1，1； （2），； 故答案为：，； （3） ． 44．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【题型15 幂的新定义运算】 45．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入，即可求解， （2）根据，代入，即可求解， （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到：，根据幂的运算法则，整理后，得到，即可求解， 本题考查了，实数的新定义运算，幂的运算，解题的关键是：熟练应用新定义运算法则． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：， （3）解：由题意，得：，则：， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 47．（22-23七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算负整数指数幂，零次幂，乘方，最后进行加法运算即可． （2）依次计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 5．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用积的乘方的逆用变形及等式性质，得到，则，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的值为3． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求完成以下问题： (1)若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则可得，即可求解； （2）根据幂的乘方、积的乘方逆用得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下． ， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ， ． ， ． ． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由题意得：，，， ， ， ． （3），理由如下： 由题意得：，， ， ， ． 方法二：， ， ． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 4．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 幂的运算 【知识点1 同底数幂相乘】 法则：底数不变，指数________，即（m，n都是正整数） 【解读】 1）在应用同底数幂的乘法法则时，要注意以下两点: ①相乘时底数没有变化，即底数________； ②指数相加的和作为最终结果幂的指数，即同底数幂的乘法的结果仍为幂的形式. 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 3）底数具有任意性，既可以是单项式，也可以是多项式，例如： 4）同底数幂的乘法法则可逆用，即（m，n都是正整数） 【知识点2 幂的乘方】 法则：底数不变，指数________，即 （m，n都是正整数） 【补充】 1）幂的乘方法则可以推广为（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方可逆用，即（m，n都是整数）. 【知识点3 积的乘方】 法则：积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积________，即（n为正整数） 【解读】 1）学习积的乘方时，应注意以下几点：①每一个因式都要乘方；②将所得的幂再相乘. 2）积的乘方可推广至多个因式，例如：（n为正整数）. 3）积的乘方可逆用，即（n为正整数）. 4）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 【知识点4 同底数幂的除法】 法则：底数不变，指数________，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 【解读】 1）【易错】应用法则时，不要忽略指数为“1”的情况，如，而不是. 2）同底数幂的除法可逆用，即（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 4）推广：（a≠0，m，n，p都是正整数，且m＞n+p）. 【知识点5 零指数幂】 法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【知识点6 负指数幂】 法则：任何不等于 0 的数的-n（n 是正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。 用符号表示为： 特别地， 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，求的值为________． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则的值为___________． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值 【题型2 幂的乘方及其逆用】 4．（23-24六年级下·山东威海·期中）若，求______． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若，，，为整数，则______． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)的值． 【题型3 积的乘方及其逆用】 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）计算： ______． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段检测）若，，则_______． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【题型4 同底数幂的除法及其逆用】 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，的值为________． 11．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知（m、n是正整数），则________． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 【题型5 幂的混合运算】 13．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）__________． 15．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）计算： (1) (2) 16．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【题型6 零指数幂】 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：______． 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若有意义，则实数a的取值范围是________． 19．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若，则___________． 【题型7 负整数指数幂】 20．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则__________． 21．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么的值为______． 【题型8 科学记数法】 23．（23-24七年级下·山东青岛·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（21-22七年级下·江苏盐城·期中）新型冠状病毒的直径大约为纳米，纳米米，用科学记数法表示为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 25．（25-26七年级下·江苏南京·期中）随着科技的发展，芯片的制造工艺越来越精密．某高端芯片的核心-晶体管的栅极宽度已经达到了3纳米（1纳米米）的级别． (1)将3纳米用科学记数法表示为______米； (2)如果把一个晶体管近似看作一个长8纳米、宽为5纳米的长方形，那么这个晶体管的面积是多少平方米？（结果用科学记数法表示） (3)在面积为平方米（约指甲盖大小）的芯片上，如果完全铺满这种晶体管（假设晶体管之间无空隙无重叠，且每个晶体管面积为第（2）问的结果），理论上大约能容纳多少个这样的晶体管？ 【题型9 幂运算中的化简求值】 26．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 27．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 28．（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中． 29．（22-23七年级下·江苏南京·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【题型10 利用幂的运算比较大小】 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 31．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）小华的数学老师在数学课上给学生归纳了如下结论：“幂的形式的数之间的大小比较，可以通过统一底数，比较指数或者统一指数，比较底数来确定数之间的大小关系．” 请结合你的理解作答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【题型11 同底数幂乘法中的次数关系】 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 34．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型12 幂的运算中用 x 表示 y 题型】 36．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 【题型13 幂的运算值为 1 的分类讨论题型】 39．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，则___________ ． 40．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）已知，则_____． 41．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【题型14 幂的有规律计算问题】 42．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 43．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 44．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【题型15 幂的新定义运算】 45．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 46．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 47．（22-23七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求完成以下问题： (1)若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，写出、、之间的数量关系，并说明理由． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 3．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 4．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $