精品解析：吉林省吉林市龙潭区吉化第六中学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

名校调研系列卷·八年上期末测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组数分别是三条线段的长度，其中可以构成三角形的是（   ） A. 1，3，4 B. 1，2，3 C. 6，6，10 D. 1，4，6 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_________． 8. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 9. 计算：__________． 10. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以________．（写出一个即可） 11. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. （1）计算：； （2）分解因式：． 13. 先化简，再求值：，其中． 14. 如图，已知，，．求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边上找一点，使得； （2）在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰三角形． 17. 小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得，……第一步 解得，……第二步 原分式方程的解是，……第三步 （1）小丽的解答过程从第__________步开始出错； （2）请写出正确的解题过程． 18. 如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． （1）求休息区的面积； （2）休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 19. 如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 20 《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 21. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； （2）已知，，求下列各式的值： ①； ②； （3）如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 22. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，设运动时间为． （1）当三角形是等腰三角形时，直接写出值； （2）如图①，连接、，当时，求的值； （3）如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向终点运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·八年上期末测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 以下各组数分别是三条线段的长度，其中可以构成三角形的是（   ） A. 1，3，4 B. 1，2，3 C. 6，6，10 D. 1，4，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三条边的关系计算即可． 【详解】根据三角形的三边关系，得 A、1+3=4，不能组成三角形； B、1+2=3，不能组成三角形； C、6+6>10，能组成三角形； D、1+4<6，不能组成三角形；． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零解答 【详解】∵分式 有意义， ∴分母 ， ∴ ， 故选：B 4. 给出下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方，熟练掌握运算基本规则是问题求解的关键． 根据运算法则逐一判断各选项即可完成求解． 【详解】解：选项A：合并同类项，系数相加，指数不变，即 ，故A错误； 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 ，故B正确； 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 ，故 C错误； 选项D：积的乘方，等于每个因式分别乘方，即 ，故D错误． 故选：B． 5. 右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可． 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故选：A 6. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-C919所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 8. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定 的值时，看原数小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：0.00002． 故答案为：． 9 计算：__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算后求和即可． 详解】解：， 故答案为：5 10. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和因式分解，准确计算是解题的关键． （1）先利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算，再进行合并同类项即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 13. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，23 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： 将代入，得：原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键． 14. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的证明，掌握判定方法是解题的关键． 由两直线平行，得内错角相等， ，由得，再结合，根据可得． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 又， ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边上找一点，使得； （2）在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，答案不唯一 （3）见解析，答案不唯一 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）取格点，线段与的交点，即为线段的中点点的位置； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点的位置． 【小问1详解】 解：取格点，连接，线段与的交点，即为线段的中点点的位置，如图所示： 理由：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为求作的， 理由：与，两个三角形的底边都是，高都为4， ； 【小问3详解】 解：如图所示：点与点关于点所在的水平格线轴对称，此时，即为求作的． 17. 小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得，……第一步 解得，……第二步 原分式方程的解是，……第三步 （1）小丽的解答过程从第__________步开始出错； （2）请写出正确解题过程． 【答案】（1）一 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．熟悉通过找到最简公分母，去分母，去括号，移项、合并同类项等方法解分式方程是解题的关键． 首先去分母，方程两边每一项都乘最简公分母，再去括号，移项、合并同类项得到方程的解． 解分式方程后必须检验，确保分母不为． 【小问1详解】 解：∵去分母时每一项都要乘最简公分母， ∴第一步中去分母得错误，应为， 故答案为：一； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：当时，，， ∴原分式方程的解是． 18. 如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）． （1）求休息区的面积； （2）休息区比游泳池的面积大多少平方米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用等知识． （1）用长方形空地面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解； （2）用休息区面积减去游泳池的面积，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 答：休息区的面积为平方米； 【小问2详解】 解： ． 答：休息区比游泳池的面积大平方米． 19. 如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 20. 《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 春节将至，东莞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设① 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：② ． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务二 求m的值． （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）列出关于m的方程，并完成任务二，求出m的值． 【答案】（1）种花卉； （2）， 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案； （2）任务二：根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填： 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴． 21. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； （2）已知，，求下列各式的值： ①； ②； （3）如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】（1） （2）28，20 （3）11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴①， ②； 【小问3详解】 解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 22. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，设运动时间为． （1）当三角形是等腰三角形时，直接写出的值； （2）如图①，连接、，当时，求的值； （3）如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向终点运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）是等腰三角形时，，由，可求出的值； （2）根据同角的余角相等可得，通过判定，由对应边相等可求出的值； （3）分两种情况讨论：①，②，由对应边相等，列出关于的方程，求值即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，， ， ， ，解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，解得； 【小问3详解】 解：由题意知， 当时，， ， 解得， 当时，， ， 解得， 综上，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定及性质、解一元一次方程，掌握相关知识点及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $