17.2 一元二次方程的解法 第1课时课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第1课时 直接开平方法和配方法 1. 如果 x2 = a，那么 x 叫作 a 的 . 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 复习回顾 知识讲解 (1) x2=9 例 根据平方根的意义你能解下列方程吗？ (2) x2-2=0 解： 开平方，得 x=±3. ∴ x1=3， x2=-3 解： 移项，得 x2=2. 开平方，得 x=± ∴ x1= , x2=. 知识点1 直接开平方法 (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 探究归纳 对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫作直接开平方法. 总结 例1 用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）. 解：两边同除以3，得. 开平方，得. 所以原方程的根是 教材例题 解：开平方，得. 所以原方程的根是 将方程化成 或 的形式，再求解. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： ③ 解这两个一元一次方程，求出方程的根. ② 开平方，把一元二次方程转化成两个一元一次方程; 即 ① 将方程变成左边是完全平方式， 且完全平方式的系数为 1， 右边是非负数的形式; x2=a (a≥0) 总结 知识点2 配方法 你能用直接开平方法解下列方程吗? x2+2x-1= 0 这个方程，显然我们不能直接通过开平方来解， 那怎么办呢？ 这样就可用直接开平方法来解. 我们可以把方程的 完全平方式的形式， 左边化成 下面对方程 x2+2x-1=0 进行变形 解：把常数项移到等号右边，得 x2+2x+1=1+1. x2+2x=1. 方程两边同时加上1，得 （x+1）2=2. 开平方，得 x+1= 则 ∴原方程的根是 想一想：为什么在方程两边同时加上“1”，而不是其它数？ 如何配方？ 方程两边同时加上一次项系数的一半的平方. 当一元二次方程的二次项系数是 1 时， 例2 用配方法解下列方程： （1）； （2）. 解：（1）移项，得. 配方，得则. 开平方，得. 所以原方程的根是 教材例题 （2）先把的系数变为1，即把原方程两边同除以2，得. 移项，得. 配方，得.则 开平方，得所以原方程的根是 像这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方法解一元二次方程的定义 配方法解一元二次方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 总结归纳 例 解下列方程： 解：移项，得 x2－8x = －1， 配方，得 x2－8x + 42 = －1 + 42， (x－4)2 = 15. 由此可得 即 例题解读 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1，得 解：移项，得 2x2－3x = －1. 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢? 配方，得 ∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为 1，得 为什么方程两边都加 12？ 即 配方法解一元二次方程的基本步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成 (x + n)2 = p (p≥0)； 四直接开平方法解方程. 总结 在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的. 一元二次方程配方的方法 课堂小结 配方法 定义 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 一移常数项，二配方[配上 ]， 三写成 (x+n)2=p (p≥0)，四开平方解方程 特别提醒：在用配方法解一元二次方程之前先把二次项系数化为 1. 应用 求代数式的最值或字母值 直接开平方法 利用平方根的定义求方程的根的方法 1. （教材P24例1变式）一元二次方程9x2＝4的解是　 （　C　） A. x＝ B. x＝－ C. x1＝ ，x2＝－ D. x1＝ ，x2＝－ C 随堂练习1：直接开平方法 2. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为 （　A　） A. x2＋9＝0 B. －2x2＝0 C. x2－3＝0 D. （x－2）2＝0 A 3. 若x1，x2是方程x2－ ＝0的两个根，则x1x2＝ 　－ 　. － 　 4. 解方程： （1）x2－0.69＝1； 解：（1）∵x2－0.69＝1，∴x2＝1.69. 开平方，得x＝±1.3， ∴x1＝1.3，x2＝－1.3. （2） x2－8＝0. 解：（2）∵ x2－8＝0，∴x2＝16. 开平方，得x＝±4， ∴x1＝4，x2＝－4. 5. （链接教材）解方程：（2x＋1）2＝9. 开平方，得2x＋1＝ ⁠， 即2x＋1＝ 或2x＋1＝ ⁠， 所以x1＝ ，x2＝ ⁠. ±3　 3　 －3　 1　 －2　 6. 一元二次方程（x＋6）2＝16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是 （　D　） A. x－6＝－4 B. x－6＝4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4 [变式]利用直接开平方法解一元二次方程（x＋6）2＝m时，若原方程可以转化为一元一次方程x＋n＝4或x＋n＝－4， 则m＝ ，n＝ ⁠. D 16　 6　 7. 若关于x的方程（x＋3）2＋a＋1＝0有实数根，则a的取值 范围是（　D　） A. a≥0 B. a≥－1 C. a≤0 D. a≤－1 D 8. 解方程： （1）（2025·安庆期末）（x＋1）2－4＝0； 解：移项，得（x＋1）2＝4. 开平方，得x＋1＝±2， ∴x1＝1，x2＝－3. （2）（x－1）2＝－3； 解：∵（x－1）2＝－3＜0， ∴该方程没有实数根. （3）3（2x－1）2＝27； 解：整理，得（2x－1）2＝9. 开平方，得2x－1＝±3， ∴x1＝2，x2＝－1. （4）4（x＋3）2－6＝0. 解：整理，得（x＋3）2＝ . 开平方，得x＋3＝± ， ∴x1＝－3＋ ，x2＝－3－ . 9. 一个简单的数值运算程序如图所示，由此可知输入x的值为 （　C　） A. ＋1 B. － ＋1 C. ＋1或－ ＋1 D. 无法确定 C 10. 若关于x的一元二次方程x2＝a（a＞0）的两个根分别是 2m－1与m－5，则m＝ ⁠. 2　 11. （易错）若（x2＋y2－1）2＝4，则x2＋y2＝ ⁠. 3　 12. 解方程： （1）（x＋ ）（x－ ）＝7； 解：去括号，得x2－5＝7. 移项，得x2＝12. 两边开平方，得x＝±2 ， ∴x1＝2 ，x2＝－2 . （2）（易错）（x－2）2＝（2x＋5）2； 解：两边开平方，得x－2＝±（2x＋5）， ∴x－2＝2x＋5或x－2＝－（2x＋5）， ∴x1＝－7，x2＝－1. （3）（x－5）4＝ . 解：由题意，得（x－5）2＝ （负值舍去）. 两边开平方，得x－5＝± ， ∴x1＝ ，x2＝ . 1. 下列二次三项式中，是完全平方式的是（　C　） A. x2－6x－9 B. x2－4x－16 C. x2＋6x＋9 D. x2＋4x＋16 C 随堂练习2：配方法 2. （教材P26练习T1变式）用适当的数或式子填空： （1）x2＋8x＋ ＝（x＋ ）2； （2）x2－3x＋ 　 　＝（x－ 　 　）2； （3）x2－ x＋ 　 　＝（x－ 　 　）2； （4）x2－ ＋25＝（x－ ）2. 16　 4　 　 　 　 　 10x　 5　 3. 若关于x的方程x2＋（m－1）x＋4＝0的左边可以写成一个 完全平方式，则m的值为 ⁠. 5或－3　 4. 用配方法解一元二次方程x2＋6x＝2时，应在方程的两边同 时（　B　） A. 加3 B. 加9 C. 减3 D. 减9 B 5. （2025·滁州期末）将一元二次方程x2－8x＋10＝0通过配方 转化为（x＋a）2＝b的形式，下列结果中，正确的是 （　A　） A. （x－4）2＝6 B. （x－8）2＝6 C. （x－4）2＝－6 D. （x－8）2＝54 A 6. 用配方法解下列方程： （1）（2024·安徽）x2－2x＝3； 解：配方，得x2－2x＋1＝3＋1， 即（x－1）2＝4. 开平方，得x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1. （2）x2＋4x－1＝0； 解：移项，得x2＋4x＝1. 配方，得（x＋2）2＝5. 开平方，得x＋2＝± ， ∴x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . （3）x2＋2 x－1＝0. 解：移项，得x2＋2 x＝1. 配方，得x2＋2 x＋3＝1＋3， 即（x＋ ）2＝4. 开平方，得x＋ ＝±2， ∴x1＝－ ＋2，x2＝－ －2. 7. （2025·合肥五十中期中）用配方法解一元二次方程2x2－4x －1＝0时，配方正确的是（　A　） A. （x－1）2＝ B. （x－1）2＝ C. （x－2）2＝3 D. （x－2）2＝5 A 8. 用配方法解下列方程： （1）4x2＋8x＋3＝0； 解：方程两边同除以4，得x2＋2x＋ ＝0. 移项，得x2＋2x＝－ . 配方，得x2＋2x＋1＝－ ＋1，即（x＋1）2＝ . 开平方，得x＋1＝± ，∴x1＝－ ，x2＝－ . （2）2x2－x－1＝0； 解：方程两边同除以2，得x2－ x－ ＝0. 移项，得x2－ x＝ . 配方，得x2－ x＋ ＝ ＋ ， 即（x－ ）2＝ . 开平方，得x－ ＝± ，∴x1＝1，x2＝－ . （3） y2－2y－6＝0. 解：方程两边同乘2，得y2－4y－12＝0. 移项，得y2－4y＝12. 配方，得y2－4y＋4＝12＋4，即（y－2）2＝16. 开平方，得y－2＝±4，∴y1＝6，y2＝－2. 9. 【整体思想】一元二次方程（x－3）2＋4（x－3）＋3＝0 的根为（　B　） A. x1＝－1，x2＝－3 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝4，x2＝6 D. x1＝0，x2＝－3 B 10. 解一元二次方程x2－mx＝1时，可将方程配方为（x－3）2 ＝n，则m＋n的值是（　D　） A. 4 B. 7 C. 13 D. 16 D 11. （2025·阜阳界首月考）在一个数学建模活动中，小佳要计 算一个正数a的相关数据，她在计算正数a的平方时，误算成 了a与2的乘积，求得的答案比正确答案小4，则a＝（　C　） A. ± ＋1 B. －1 C. ＋1 D. －1或 ＋1 C 12. 用配方法解关于x的方程：x2＋2mx－m2＝0.（m＞0） 解：移项，得x2＋2mx＝m2. 配方，得x2＋2mx＋m2＝m2＋m2， 即（x＋m）2＝2m2. 开平方，得x＋m＝± m， ∴x1＝－m＋ m，x2＝－m－ m. 13. 【代数推理】已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2 －b＋1，c＝－a2＋5a－4，那么a，b，c中最大的数为 （　A　） A. a B. b C. c D. 不能确定 A $