精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

吉林省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质化简求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以， 又，所以. 故答案为：D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则,解得：, 所以实数的取值范围是， 故选：C 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可. 【详解】由可得，. ，，，，， 所以（）， ， 又当时，依然成立， 所以. 故选：B. 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设抛物线的方程，将点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为在抛物线的内部，由抛物线的性质可得，可得结果． 【详解】由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 故选：A 7. 等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解. 【详解】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点满足，且.若，且，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定点在双曲线渐近线上、点在右支上，由角相等得；利用中点性质证明三角形全等，结合双曲线定义得的表达式，由渐近线得角的余弦值；最后在中用余弦定理列方程，求解得双曲线的离心率. 【详解】依题意，点在的渐近线上，点在的右支上. 因为，所以. 设为坐标原点，又，分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则. 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D. 【详解】对于A, 直线，即， 由于，故，即直线恒过定点，A错误； 对于B，直线与互相垂直， 则，解得，B正确； 对于C，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与平行，符合题意，C错误； 对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为， 将点代入，即得，解得，此时直线方程为， 即，综合可知直线方程为或，D错误， 故选：ACD 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为 B. 若，则实数的值可以为 C. 点到两条渐近线的距离之积为定值 D. 若的内切圆的半径分别为，则恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据双曲线的定义计算的周长；B：根据条件判断出的中点为同一点，然后可判断出结果；C：设出点坐标，然后表示出点到两条渐近线的距离，结合双曲线方程可计算出结果；D：先确定出内切圆的圆心在上，然后由直线的倾斜角表示出，结合对勾函数的性质可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】对于A：因为， 所以的周长为，故正确； 对于B：由条件可知，渐近线方程，设， 联立，可得， 且，所以， 由可得，由可得， 所以，所以， 所以，所以的中点重合，记的中点为， 所以， 所以，所以，所以，故错误； 对于C：设，到的距离为， 到的距离为， 所以点到两条渐近线的距离之积为， 又因为在双曲线上，所以，所以， 所以，故正确； 对于D：设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以， 设的内切圆的圆心分别为， 的内切圆与各边切于，的内切圆与切于，设， 因为， 所以，所以，所以， 所以在直线上，同理可得也在直线上，且， 由几何关系可得， 所以， 因为，所以，所以，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以，故正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题分，共15分． 12. 一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程. 【详解】点关于轴的对称点为，圆的圆心，半径， 由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点，显然该直线斜率存在， 设反射光线所在的直线方程为，即， 由反射光线与圆相切，得，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或. 故答案为：或 13. 已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“点差法”即可得出：,结合，求得，即可得出答案． 【详解】由题意可知直线的斜率， 设，代入椭圆方程可得∶， 而，， 两式相减得：， 即得，即，又， 联立解得∶， 故椭圆M的方程为：， 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求得的值，进而解得抛物线的方程； （2）先设出两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得，，再代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 16. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. 【小问3详解】 由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）①利用错位相减法求和，即可得出结果； ②由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. 【小问2详解】 ①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ②由①可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 7. 等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点满足，且.若，且，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为 B. 若，则实数的值可以为 C. 点到两条渐近线的距离之积为定值 D. 若的内切圆的半径分别为，则恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题分，共15分． 12. 一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 13. 已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为________________. 14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 16. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $