精品解析：江苏省徐州市沛县私立学校联考2025～2026学年九年级数学1月期末适应性训练试题（期末模拟考）

2025~2026学年度第一学期期末适应性训练 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列古钱币图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 4. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A B. C. D. 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 数据13、1、0、4、5的极差是______． 10. 若，则的值为___________． 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 12. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的面积为，则的面积为______． 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 14. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 15. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍（靠墙的一面不用铁丝网），其面积为，在鸭舍侧面的中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），设边的长度为，则由题意可列方程为___________ 16. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，那么________． 三、解答题（共84分） 17 （1）计算； （2）解方程：． 18. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值：___________，___________； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 19. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 20. 如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． （1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 21. 如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径长． 22. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点与点是支架部分与太阳能板的连接点，点是支架部分与灯杆的连接点，点是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点，，，，，在同一竖直平面内，求点和点距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 23. 如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 24. 尺规作图： （1）如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． （2）已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末适应性训练 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列古钱币图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：∵ ，的半径， ∴ 半径， ∴ 点P在内， 故选：A． 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据相似三角形的周长比等于其相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比是． 故选C． 4. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 5. 在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义逐一判断各选项． 【详解】在中，，，， ， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意， 故选：B． 6. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 7. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 8. 如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 六边形是正六边形， ，，， 是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， 同法可得， 四边形是菱形， 四边形的面积． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 数据13、1、0、4、5的极差是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了求极差，极差是一组数据中最大值与最小值的差，计算时需先确定最大值和最小值，再求差． 【详解】解：数据13、1、0、4、5中，最大值为13，最小值为0， 极差为． 故答案为：13． 10. 若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解一元一次不等式，根据方程有实数根需满足判别式大于等于0，且二次项系数不为0，由此求解的取值范围． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，且， ，， ． 故答案为：． 12. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．先求出，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似，其位似中心为点，且， ， ， 的面积为， 的面积是． 故答案为：． 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 14. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分概率是， 故答案为：． 15. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍（靠墙的一面不用铁丝网），其面积为，在鸭舍侧面的中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），设边的长度为，则由题意可列方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找出数量关系列出方程是解题的关键． 设边长度为，则边的长为，根据“面积为”即可列出方程． 【详解】解：设边的长度为，则边的长为，根据题意，得 ， 即． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 三、解答题（共84分） 17. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）12；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、乘方、化简绝对值以及特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可； （2）方程运用公式法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ∵，，， ， ∴， ∴，； 18. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值：___________，___________； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1） （2）乙，见解析 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据平均数，中位数、众数以及方差作决策即可． 【小问1详解】 解：将乙中数据排序：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，则众数为，故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：推荐乙更加合适，因为甲和乙的平均数一样，乙的中位数和众数更高，且乙的方差小，成绩更稳定，所以推荐乙更加合适． 19. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 【答案】 抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率． 根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中，恰好张为“力”、1张为“旺”的情况有种， ∴． ∴抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 20. 如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． （1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当，时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式可求得函数解析式，根据长宽均大于求得取值范围； （2）将（1）中解析式配成顶点式，即可求最大面积． 【小问1详解】 解：由题意，得， ， 关于的函数表达式为． ，， 自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：由（1），得． ，， 当时，有最大值，最大值为． 此时，，即． 故当，时， 窗户透光面积达到最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． 21. 如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质得到，进一步证明，得到，利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：证明：连接，如图， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 连接，，交于点，如图， 由（1）知：， ， 四边形为平行四边形， ，． ， ． ． 设半径的长为，则， ， ， 解得：． 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点与点是支架部分与太阳能板的连接点，点是支架部分与灯杆的连接点，点是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点，，，，，在同一竖直平面内，求点和点距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】29cm 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，在中和中，利用三角函数解得，的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，，， ∵，即， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴， ∴． 答：点和点距地面的高度差约为29． 23. 如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握以上知识点并找出相似三角形是解题的关键． （1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，可求出，再根据角角相等判定，然后根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （2）根据翻折的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再进行等量代换，然后求出，再根据两角对应相等判定，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， ，即， 或（舍去）． 即：． 【小问2详解】 解：由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ． 24. 尺规作图： （1）如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． （2）已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【小问1详解】 作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． 【小问2详解】 作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）当时，S有最大，最大为值为 （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，切线的性质． （1）根据抛物线的对称性求出，得到，，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）由轴得到点Q的横坐标为t，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，得到点，进而得到解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）可知直线的解析式为，设，则，得到，分与x轴相切、与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得， ∴，， 将，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图2， ∵轴，点P的横坐标为t， ∴点Q的横坐标为t，点， 对于抛物线， 令，则有， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． ∴点， ∴， ∴当时，PQ最大， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知直线的解析式为， ∵点P是直线一动点， ∴可设， 又∵轴，点Q在抛物线上， ∴， ∴， 当与x轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即 当时，可有，即； 当与y轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即， 当时，可有，即； 综上所述，与x轴相切时，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $