寒假作业11 二次函数的应用15大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 二次函数的应用 知识点一、用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 图形问题 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为，为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下此时羊圈的长与宽分别是多少？当羊圈的长与宽分别为多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】当羊圈的长为，宽为时，羊圈面积达到；羊圈的长为，宽为时，羊圈的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用以及二次函数的最值问题，准确理解题意是解题关键．设羊圈的宽，则长为，由矩形面积公式表示出羊圈的面积，并建立方程及相关二次函数关系式解答即可． 【详解】解：设羊圈的宽，则长为， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 解（不合题意，舍去），， ∴， 答：当羊圈的长为，宽为时，羊圈面积达到． 由， ∵， ∴时，矩形的面积最大， 此时，， 答：羊圈的长为，宽为时，羊圈的面积最大，最大值为． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)当矩形羊圈的面积S最大时，求出此时的长并求出S的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数关系式． （1）根据栅栏总长列式得出函数关系式，再根据，及外墙长列不等式组解决即可； （2）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （2）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 3．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 【答案】(1)S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是 (2)停车区面积为，充电区的面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据车棚的宽度为8米，求解，再根据停车区的宽度是充电区宽度的倍，求解即可解答． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：∵车棚的宽度为， ∴， ∵此时停车区的宽度充电区宽度的倍， ∴，， ∴停车区面积为，充电区的面积是． 题型二 图形运动问题 4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t．的面积S随出发时间t是怎样变化的？并当t取何值时，面积S最大，最大是多少？ 【答案】当时，的面积S随t的增大而增大，当时，的面积S随t的增大而减小，当为时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的性质. 先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 的面积 ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积S随t的增大而增大， 当时，的面积S随t的增大而减小， ∴当为时的面积最大，最大面积是． 5．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求几秒后，的面积等于． (2)、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)存在，当时，面积最大为 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． （1）设经过秒以后△面积为6，根据题意，得，求出即可； （2）由题意得，再求最大值即可． 【详解】（1）解：设经过秒以后面积为6， ，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ． 或； 当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ．． ． 答：1秒后的面积等于； （2）解：存在时间，使得的面积最大， 理由如下： 由题意得：， 当时，面积最大为． 6．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交或于点．当点不与点重合时，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒（），矩形的面积为． (1)直接用含的代数式表示线段的长； (2)求S与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，然后可分当时，当时，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后分当时，当时，进而分类进行求解即可； （3）把代入（2）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， 由题意得：， ∴当时，则， 当时，则； 综上所述：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上所述：S与之间的函数关系式为； （3）解：由（2）可得： 当时，则，解得：； 当时，则，解得：． 题型三 拱桥问题 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图是一座拱桥的横截面示意图，其呈抛物线形状．已知该桥的跨度，桥墩露出水面的高度，在距点O水平距离为的地点，拱桥距离水面的高度最大为．以横截水面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知游船露出水面的高度是，为了游船安全，要在水面上的D，E两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从D，E两点之间安全通过，则点D距离桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】(1) (2)点D距离桥墩的距离至少为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意并运用数形结合是解题关键． （1）根据题意，设，将代入表达式，求出a的值； （2）令，计算出此时x的值，即为点D、E的横坐标，进一步算出的值． 【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线过点，其顶点为， 设抛物线表达式为， 将代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 化简，得， 解得，，， ∴至少为． 答：点D距离桥墩的距离至少为米． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． (2)同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1) (2)工人直立时头顶不会触碰到桥拱 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点代入求解即可； （2）根据工人距点的距离求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，桥拱顶点到水面的距离是， ∴顶点的坐标为， 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴桥大拱部分抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入解析式得， ∵， ∴工人直立时头顶不会触碰到桥拱． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱构成（如图），抛物线最高点E到地面的距离为，以所在直线为x轴．过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，已知点是的中点，，，，． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚上安装矩形“支撑架”，点P、Q在抛物线上，点M、N在x轴上．当时，求“支撑架”的总长度（即矩形的周长）． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)“支撑架”的总长度为 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意得，点E，B坐标分别为，，利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）分别求出、的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点E的坐标为，点B的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点P在第二象限，， ∴令，则， ∵点P的坐标为， 由抛物线的对称性可知：点Q的坐标为，， ∴，， ∴， ∴“支撑架”的总长度为． 题型四 销售问题 10．（2026九年级·全国·专题练习）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数，在销售过程中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本的． (1)设服装店每月获得的利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为45元时，每月可获得最大利润，最大利润为1125元 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的，确定自变量的取值范围； （2）将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：由题意，得． ∵每件T恤的利润不高于成本的， ∴销售单价不能超过（元）， 即． （2）解：∵， ， ∴当时，w有最大值，最大值为1125， ∴当售价定为45元时，每月可获得最大利润，最大利润为1125元． 11．（25-26九年级上·福建福州·月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)， (2)销售单价为18元 (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ，； （2）解：依题意得，， 解得，（舍去）， ∴销售单价应为18元； （3）解： 依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 12．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？ (2)若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值． 【答案】(1)苦荞茶每盒的进价为50元，苦荞面每盒的进价为30元； (2)y关于x的函数解析式为，y的最大值为4000． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设苦荞茶每盒的进价为x元，则苦荞面每盒的进价为元，根据商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒建立方程求解即可； （2）根据总利润等于每一盒的利润乘以销售量列出y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设苦荞茶每盒的进价为x元，则苦荞面每盒的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：苦荞茶每盒的进价为50元，苦荞面每盒的进价为30元； （2）解：由题意得， ， ∵，且， ∴当，即时，y有最大值，最大值为4000， ∴y关于x的函数解析式为，y的最大值为4000． 题型五 投球问题 13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在“浙城市争霸赛”中，球员甲正在投篮，球运动的路线是抛物线的一部分．投篮时他与篮筐中心的水平距离为5米，篮球出手时的高度约为2.05米，当球在空中飞行的水平距离为3米时能达到最大高度3.85米．已知篮筐距离地面的高度为3.05米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线的函数表达式． (2)甲投篮时，若没有其他干扰，投出的这个球能否准确命中？ (3)甲投篮时，若对方球员乙在甲前面1.2米处起跳拦截，且乙的拦截高度为3.15米，那么乙能否拦截成功？ 【答案】(1) (2)此球能准确投中 (3)乙不能拦截成功 【分析】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法可确定抛物线的解析式； （2）令，求出y的值，与米比较即可作出判断； （3）将代入，求出y的值，与3.15米比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，设这条抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴此球能准确投中； （3）解：当时，， ∴乙不能拦截成功． 14．（25-26九年级上·北京东城·期末）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； (2)若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 【答案】(1)，． (2)有效，无效． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）根据表格信息即可确定篮球飞行的竖直高度的最大值为米，再在表格中选择一组数据代入求得a的值即可； （2）分别求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：根据上述数据，篮球飞行的竖直高度的最大值为米， 由表格数据可知，当时，，故最大值为． 由顶点式可知顶点为，即，； 代入表格中，，得，解得：， 所以函数为． 故答案为：，． （2）解：由表格数据，时，，满足，满足要求，故机器人投篮有效． 代入到函数， 计算得：，不满足要求，故挑战者投篮无效． 故答案为：有效，无效． 15．（25-26九年级上·全国·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 故答案为：不能，的取值范围是． 题型六 喷水问题 16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数解析式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)水平距离为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由题意可得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中解析式，求出的值，即可得答案． 【详解】（1）解：∵水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为， ∴抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴图中水柱所在抛物线的函数解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； (2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内； (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点，求出值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）∵当时，代入得：， ， ， ， ， ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内． （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即． ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ， ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 18．（25-26九年级上·北京·月考）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值： 0 1 2 3 3 3 小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式； (2)结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m； (3)水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m． 【答案】(1)作图见解析； (2)3；1 (3)； 【分析】（1）先描点、然后再用待定系数法求函数解析式即可解答；掌握待定系数法是解答本题的关键； （2）求出的函数值即可出水口距地面的高度，再根据顶点坐标即可确定水达到最高点时与地面的距离以及与池中心的水平距离，掌握二次函数图象上各点的意义是解答本题的关键； （3）先求出时自变量的取值，即可水柱落地点与池中心的距离；再求出时得函数值，即可确定出水口至少需要降低的高度． 【详解】（1）解：先描点、再连线得到函数图象如图：    由表中数据可知，和时，相等， 则抛物线的顶点坐标为， 设该函数的解析式为， 把代入解析式可得，， 解得， 所以该函数的解析式为． （2）解：∵当时，， ∴出水口距地面的高度为， ∵抛物线顶点坐标为 ∴水达到最高点时与地面的距离为，此时与池中心的水平距离为， 故答案为：3；1． （3）解：∵当时，， 解得（舍），， ∴水柱落地点与池中心的距离为， 当时，， ∴出水口至少需要降低， 故答案为：；． 题型七 增长率问题 19．（24-25九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．（24-25九年级上·浙江温州·月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为 （直观关系式无需化简） 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握平均增长率是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 可先表示出二月份、三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为， 则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·云南昆明·月考）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 题型八 其他问题 22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴， ∴把代入函数得：； 故选B． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为 时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据高度等于米列方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为，将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵绳子刚好通过他的头顶上方 ∴， 整理得， 解得，， 他的位置距点的水平距离为1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上方， 故答案为：或． 24．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度 2017 2018 2019 2025 2025 年度纯收入（万元） 若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势： ，，，以便估算甲农户2025年度的纯收入． (1)能否选用函数进行模拟？请说明理由； (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由； (3)甲农户准备在2025年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2025年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)选用，理由见解析 (3)能满足 【分析】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用． （1）计算后判断即可； （2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理； （3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2025年即第6年度的纯收入y万元，然后比较可得结论． 【详解】（1）解：不能选用函数进行模拟，理由如下： ∵， ∴， 即的乘积不确定， ∴不能选用函数进行模拟； （2）解：选用，理由如下， 由（1）可知不能选用函数， 由可知， x每增大1个单位，y的变化不均匀， ∴不能选用函数， 故只能选用函数模拟； （3）解：把代入， 得：， 解得：， ∴， 当年度为2025即时，， ∵， ∴甲农户2025年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求． 题型九 线段周长问题 25．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设交y轴于点C，若时，求出点P的坐标及点C的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数与相似三角形的综合应用，求二次函数解析式，正确求出对应的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交y轴于点D，证明，推出，据此确定点P的横坐标，进而可求出点P的坐标，则可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交y轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． (1)求二次函数的解析式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点，代入二次函数得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意可设， 由过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q，可知， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 27．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 题型十 面积问题 28．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 29．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的函数解析式与点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）将点和代入抛物线m的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值；将抛物线m的解析式化为顶点式，其中即为顶点P的坐标； （2）根据抛物线沿y轴平移的性质，设n的解析式为，将点代入求出t的值，得到n的解析式及顶点Q的坐标；由平移性质可知，将转化为“边上的高是边上的高的2倍”，设，分E在对称轴右侧、对称轴与y轴之间、y轴左侧三种情况列方程求，代入n解析式求，排除矛盾情况得到E的坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴抛物线m的函数表达式为． ∴点P的坐标为； （2）设抛物线n的函数表达式为， 把点代入：， ∴， ∴抛物线n的函数表达式为， ∴抛物线n的顶点Q的坐标为， 由平移可知， ∴要使只需要上的高是上的高的2倍． 设点，抛物线m或n的对称轴均为直线． ①当点E位于对称轴右侧时，则有． ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ②当点E位于对称轴与y轴之间时，则有． ∴， ∴． ∴点E的坐标为； ③当点E位于y轴左侧时，则有． ∴，与点E位于y轴左侧矛盾，故此情况不存在， 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的平移性质、二次函数顶点坐标的确定以及三角形面积与线段长度的关系，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线沿y轴平移时“上加下减常数项”的规律，并能将三角形面积关系转化为对应高的数量关系进行分析． 30．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 题型十一 角度问题 31．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点、是抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点，连接，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过P作轴交于Q，交x轴于M，过D作轴于N，求出直线的解析式为，求出，证明，设，则，证明，得出，求出，根据，得出，求出t的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图1，过P作轴交于Q，交x轴于M，过D作轴于N，如图所示： 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，，， 在中，根据勾股定理， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍），， 当时，， ∴． 32．（25-26九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 33．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 题型十二 特殊三角形问题 34．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． (1)直接写出随的增大而减小时的取值范围． (2)求抛物线的解析式； (3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质可得结论； （2）将点代入，确定直线解析式即可求出点坐标，再设抛物线解析式为，将所求的点坐标代入即可求出的值，可得结论； （3）设，根据两点间距离得出、、，然后根据直角三角形的勾股定理得，继而得到关于的方程，求解后可得结论． 【详解】（1）解：∵直线的解析式中， ∴随的增大而减小时的取值范围为：为任意实数； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∵点为抛物线的顶点，且点在该抛物线上， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，两点间距离，勾股定理等知识点，确定函数解析式是解题的关键． 35．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或． 36．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先求出、的坐标，然后代入，求出、的值即可； （2）若是直角三角形，分两种情况讨论，或，利用直角的性质和构造相似三角形的方法分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 则； 令，则， ，， 把，坐标代入， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：当时，如图， ∵轴， ∴当时，轴， 即D纵坐标等于B点纵坐标， 当时，代入得： ， 解得， ∴； 当时， 作轴，轴， ∵， ∴， 又∵， ， 又∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 整理得 解得， 当时，代入， ∴； 综上所述D的坐标为或 ． 题型十三 特殊四边形问题 37．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点平移后的对应点分别记为点，当点在点右侧时，求以为顶点的四边形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由平行线的判定得到四边形为平行四边形，分两种情况，作出图形即可得到在点右侧时，四边形周长最大，设，由点的平移规律得到，将代入抛物线解方程求出，最后由两点之间距离公式求出，利用平行四边形性质求出最大周长即可得到答案 【详解】（1）解：抛物线图象过，且该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，该抛物线的函数表达式为， 抛物线与轴交于点， 当时，，即， 抛物线与轴交于两点， 当时，， 则， 解得或， ， ， 将线段平移，点平移后的对应点分别记为点，则，且， 四边形为平行四边形， 当点在点右侧时，分两种情况，如图所示： 由平行四边形性质可知，以为顶点的四边形周长为， 两种情况中不变，第一种情况的显然比第二种情况的小， 第二种情况，即在点右侧时，四边形周长最大， 设， ，， 由点的平移规律可得， 将代入抛物线，得， 则， 或（与在点右侧矛盾，舍去）， 则， ， ， 以为顶点的四边形周长的最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、图形平移、平行四边形的判定与性质、两点之间距离公式（勾股定理）、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质、平行四边形周长、二次函数综合问题求解方法是解决问题的关键． 38．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是4 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 39．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型十四 相似三角形问题 40．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)直线解析式为． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，代 入求得系数的值即可； （）过点作，与轴交于点，由可求，，根据的对应边成比例和勾股定理得到，然后利用待定系数法可得到直线解析式为． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，与轴交于点， ∵，， ∴， 设直线的直线解析式， ∴，解得：， ∴直线的直线解析式， ∵， 设，则， ∴，即，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 41．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且． (1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值； (2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，． (2)点的坐标为或． 【分析】 本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度， 得到新的抛物线为． ，． （2）解：将代入，得． ． ． ，， 是直角三角形． 设， ①当时，， ． ． 解得（舍去）或， ． ②如图，连接，当时，过点作轴于点． ，， ． ． ，即， ． ． ， 解得（舍去）或． ． 综上所述，点的坐标为或． 42．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 【分析】（1）由题意得点，点，点，则有，然后根据可得a的值，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）解：令时，， 解得：； 当时，； 点，点，点， ， ， ， ， 抛物线的函数表达式为：． （2）解：以C、P、N为顶点的三角形与相似，且， 或， 若， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， 点的纵坐标为2， ， （舍去），， 点的横坐标为． 故点的横坐标为． 若， 设直线的解析式为，把点，点代入得， ，解得：， 直线的函数表达式为：． 设点，其中，则点，点， ， ，． ， ． ， 两边同除以可得，整理得， ， 点的横坐标为． 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质是解题的关键． 题型十五 二次函数的新定义问题 43．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 【答案】（1）②④；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的和性质，二元一次方程组的计算，理解完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象和性质是解题的关键． （1）把坐标代入函数解析式，判断点是否在函数图象上，再分别求出点到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判断，即可得到答案； （2）根据题意得出，得到，求出完美点坐标，即可求出的值； （3）根据完美点可得二次函数与一次函数有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）①当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， ， 依据完美点的定义可知，点不是完美点； ②当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； ③当时，， 点不在函数图象上， 点不是完美点； ④当时，， 点在函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； 综上，是函数的完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ， 点为反比例函数第二象限图象上的完美点， ， 解得：， ，， 点的坐标为， ； （3）二次函数的图象上有且只有一个完美点， 二次函数与直线有且只有一个交点， ， 整理得， ，即， 把点代入得， 即， 联立方程组得， 解得 ． 44．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案； （2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案； （3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 45．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故选D． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，矩形面积的计算，正确列方程及函数思想的应用是解题的关键．设边长为 ，设矩形菜园的面积为，根据每一个结论的条件列出相应的方程或函数解析式，结合给定条件的限制逐一进行判断即可． 【详解】解：设边长为 ，则边长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 菜园的面积为， , 整理得 解得，（不合题意，舍去）或， 的长有一个值满足菜园的面积为 ，故②不正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意，得， ， 当时 ，有最大值，最大值为200，故③正确； 当时，，解得，，故正确； 正确的有2个， 故选：． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为 ． 【答案】 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为 m． 【答案】2.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． 根据题意，，顶点坐标，设二次函数解析式为，运用待定系数法可得二次函数解析式为，根据函数值得到自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，顶点坐标， ∴设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 故答案为：． 7．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）咸阳被称为“苹果之乡”，所产苹果销往全国各地．某超市1月份以20元/箱的价格购进一批苹果，经市场调查后发现，这种苹果的月销售量y（箱）与售价x（元/箱）（）之间满足一次函数，其图象如图所示．该苹果的总销售利润为w元，要使销售利润最大，售价x应定为 元． 【答案】35 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据销售利润销量单价利润，得到二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵， ∴当时，w有最大值， ∴销售利润最大，售价x应定为35元． 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一家水果超市以每斤元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低元，每天可多售出斤． (1)销售这批橘子要想每天盈利元，且保证每天至少售出斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ (2)当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)水果店需将每斤的售价降低元 (2)当每斤橘子售价为元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键． （1）设水果店需将每斤的售价降低元，可得每天可销售斤，根据每天至少售出斤，可求出的取值范围，根据每天盈利元，利用每天销售利润每斤的销售利润每天的销售量，得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再结合的取值范围即可得答案； （2）设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设水果店需将每斤的售价降低元， ∵以每斤元的价格出售，每天可售出斤，每斤的售价每降低元，每天可多售出斤， ∴降价后每天可销售斤， ∵保证每天至少售出斤， ∴， 解得：， ∵销售这批橘子要想每天盈利元， ∴， 解得：，（小于，舍去）， ∴水果店需将每斤的售价降低元． （2）解：设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， （元）， ∴当每斤橘子售价为元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是元． 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点M作轴与点N，证明出是等腰直角三角形，得到，求出，得到，设，表示出，，然后代入求解即可； （3）如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E，求出直线的解析式为，设，则，，解直角三角形得到，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴于点N ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点M在x轴下方的抛物线上， ∴设 ∴， ∴ 解得（舍去）或 ∴点M的横坐标为； （3）解：如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E， 设， 设直线表达式为， 将，代入得：， 解得， ， 轴，交于点， ， ， ∵， ∴轴， ∴ ∴， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 将代入． ∴当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解直角三角形，二次函数和几何综合，掌握二次函数图象的性质，二次函数最值的计算方法是关键． 12．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）原地正面投掷实心球是初中学业水平考试的必考科目之一，小明的爸爸用高速摄像机记录了他的投掷情况，以便分析和改正不良动作，其中第一次投掷的数据为： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 如图小明根据以上数据，以为横坐标，为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们，请回答下列问题： (1)观察图象，可判断该图象是______的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），且当水平距离为______时，实心球运动到最高的位置； (2)求与的解析式： (3)第二次投掷的竖直高度与水平距离之间的关系满足请通过计算说明两次投掷着陆点的水平距离是否相同？差多少？ 【答案】(1)抛物线，4 (2) (3)两次投掷着陆点的水平距离不同，第二次比第一次多 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）观察图象可得出，曲线可看作抛物线的一部分，结合表格可得对称轴和顶点坐标，即可得解； （2）由图和表可知，抛物线的顶点坐标为，设，利用待定系数法求解即可； （3）分别计算两次投掷着陆点的水平距离，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察图象，可判断该图象是抛物线的一部分， 根据表格可知，对称轴为直线， 当时，， 即当水平距离为时，实心球运动到最高的位置； 故答案为：抛物线，4； （2）解：由图和表可知，抛物线的顶点坐标为，设， 根据表中提供信息，时，， ， 解得， ， （3）解：当时，， 解得，（舍去）， 即第一次投掷实心球着陆点的水平距离为， 当时， 解得，（舍去）， 即第二次投掷实心球着陆点的水平距离为，， 由此发现第二次着陆点的水平距离比第一次多了 答：两次投掷着陆点的水平距离不同，第二次比第一次多． 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键． 由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断④，根据割补法进行列式计算，即可判断③． 【详解】解：， ∴ 则， ， 即 ， 即， 故①正确， ，在抛物线上 ， ∵， ， ， 故②正确， ，在抛物线上， ， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， ， 当时，则， 直线必过一定点， 故④正确， 分别过点作轴，作轴， ∴ ∵都是会变化的， 故不为定值， 故③不正确． 故选B 3．（25-26九年级上·上海·月考）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与坐标轴交点的确定、抛物线顶点坐标的性质、直线与抛物线交点的求解以及两点间距离公式的应用，先由直线与坐标轴交点求点B坐标，从而确定抛物线解析式，再联立直线与抛物线方程求交点坐标，最后利用两点间距离公式计算割距． 【详解】解：直线与轴交于点，令， 得， 故 点是抛物线的顶点， ，， 抛物线解析式为 联立方程组， 得， 整理得， 解得或 对应值分别为和， 故交点为和， 两点间距离为， 即割距为， 故答案为：． 【点睛】本题结合了直线与坐标轴交点、抛物线顶点形式、方程联立求解及距离计算等多个知识点，重点在于准确理解“割距”的定义并正确求解交点坐标．解题过程中要注意代数运算的准确性，尤其是方程的化简与解的验证． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查二次函数图像与一次函数图像的交点问题，求出与轴的交点坐标，以及翻折后开口向下的部分的抛物线的解析式，再分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为， ∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 5．（25-26九年级上·北京朝阳·月考）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； （2）解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．    (1)直接写出该二次函数的表达式______； (2)①若点和点为抛物线上的点，则______（填、、或） ②将抛物线向左平移个单位（），然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为______ (3)已知为线段上一点，设其横坐标为t，过点作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)①；② (3)的横坐标是或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，函数值比较大小，函数图像平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由一次函数与轴、轴交点得出点、的坐标，再将点、坐标代入二次函数表达式，解出、的值，即可得二次函数表达式； （2）①将自变量得值代入函数表达式，比较、的大小即可；②将函数表达式进行平移变换，得到，将点代入求值即可； （3）由题意要求，得出点、的坐标，得出，利用函数对称性的性质，得出，由，列出方程，对的取值范围进行分类讨论，最终求出的值，得出点的横坐标． 【详解】（1）解：∵经过，两点， ，两点分别为轴、轴交点， 当时，， 当时，. ∴点、点, 将点、点代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：①当时，， 当时，， 故， 故答案为：； ②函数表达式为， 向左平移个单位，然后向下平移个单位后， 函数表达式变为， ∵点在函数上， 得， 化简得， ∴或（舍去）， 故答案为：． （3）解：如下图：    ∵点在直线上， ∴点， ∵点为点作x轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点， ∴， ∵点为点作轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点与点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 当时，得， 解得或（舍去）； 当时，得， 解得（舍去）或； 综上所述，的值是或， 故的横坐标是或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 二次函数的应用 知识点一、用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 图形问题 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为，为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下此时羊圈的长与宽分别是多少？当羊圈的长与宽分别为多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)当矩形羊圈的面积S最大时，求出此时的长并求出S的最大值． 3．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 题型二 图形运动问题 4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t．的面积S随出发时间t是怎样变化的？并当t取何值时，面积S最大，最大是多少？ 5．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求几秒后，的面积等于． (2)、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 6．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交或于点．当点不与点重合时，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒（），矩形的面积为． (1)直接用含的代数式表示线段的长； (2)求S与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 题型三 拱桥问题 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图是一座拱桥的横截面示意图，其呈抛物线形状．已知该桥的跨度，桥墩露出水面的高度，在距点O水平距离为的地点，拱桥距离水面的高度最大为．以横截水面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知游船露出水面的高度是，为了游船安全，要在水面上的D，E两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从D，E两点之间安全通过，则点D距离桥墩的距离至少为多少米？ 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． (2)同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱构成（如图），抛物线最高点E到地面的距离为，以所在直线为x轴．过点E且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，已知点是的中点，，，，． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚上安装矩形“支撑架”，点P、Q在抛物线上，点M、N在x轴上．当时，求“支撑架”的总长度（即矩形的周长）． 题型四 销售问题 10．（2026九年级·全国·专题练习）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数，在销售过程中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本的． (1)设服装店每月获得的利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ 11．（25-26九年级上·福建福州·月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 12．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？ (2)若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值． 题型五 投球问题 13．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在“浙城市争霸赛”中，球员甲正在投篮，球运动的路线是抛物线的一部分．投篮时他与篮筐中心的水平距离为5米，篮球出手时的高度约为2.05米，当球在空中飞行的水平距离为3米时能达到最大高度3.85米．已知篮筐距离地面的高度为3.05米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线的函数表达式． (2)甲投篮时，若没有其他干扰，投出的这个球能否准确命中？ (3)甲投篮时，若对方球员乙在甲前面1.2米处起跳拦截，且乙的拦截高度为3.15米，那么乙能否拦截成功？ 14．（25-26九年级上·北京东城·期末）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； (2)若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 15．（25-26九年级上·全国·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 题型六 喷水问题 16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数解析式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 18．（25-26九年级上·北京·月考）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值： 0 1 2 3 3 3 小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式； (2)结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m； (3)水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m． 题型七 增长率问题 19．（24-25九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 20．（24-25九年级上·浙江温州·月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为 （直观关系式无需化简） 21．（24-25九年级上·云南昆明·月考）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型八 其他问题 22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（   ） A． B． C． D． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为 时，绳子刚好通过他的头顶上方． 24．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度 2017 2018 2019 2025 2025 年度纯收入（万元） 若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势： ，，，以便估算甲农户2025年度的纯收入． (1)能否选用函数进行模拟？请说明理由； (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由； (3)甲农户准备在2025年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2025年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求． 题型九 线段周长问题 25．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设交y轴于点C，若时，求出点P的坐标及点C的坐标． 26．（青海省西宁市2025-2026学年九年级上学期期末调研数学试卷）如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． (1)求二次函数的解析式； (2)求的最大值． 27．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 面积问题 28．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 29．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，顶点为，将抛物线沿轴平移使其经过点得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的函数解析式与点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 题型十一 角度问题 31．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点、是抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点，连接，当平分时，求点的坐标． 32．（25-26九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 33．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 题型十二 特殊三角形问题 34．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． (1)直接写出随的增大而减小时的取值范围． (2)求抛物线的解析式； (3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 35．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型十三 特殊四边形问题 37．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点平移后的对应点分别记为点，当点在点右侧时，求以为顶点的四边形周长的最大值． 38．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 题型十四 相似三角形问题 40．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 41．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且． (1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值； (2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 42．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 题型十五 二次函数的新定义问题 43．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 44．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 45．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为 ． 6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为 m． 7．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）咸阳被称为“苹果之乡”，所产苹果销往全国各地．某超市1月份以20元/箱的价格购进一批苹果，经市场调查后发现，这种苹果的月销售量y（箱）与售价x（元/箱）（）之间满足一次函数，其图象如图所示．该苹果的总销售利润为w元，要使销售利润最大，售价x应定为 元． 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一家水果超市以每斤元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低元，每天可多售出斤． (1)销售这批橘子要想每天盈利元，且保证每天至少售出斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ (2)当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？ 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 12．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）原地正面投掷实心球是初中学业水平考试的必考科目之一，小明的爸爸用高速摄像机记录了他的投掷情况，以便分析和改正不良动作，其中第一次投掷的数据为： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 如图小明根据以上数据，以为横坐标，为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们，请回答下列问题： (1)观察图象，可判断该图象是______的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），且当水平距离为______时，实心球运动到最高的位置； (2)求与的解析式： (3)第二次投掷的竖直高度与水平距离之间的关系满足请通过计算说明两次投掷着陆点的水平距离是否相同？差多少？ 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26九年级上·上海·月考）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 5．（25-26九年级上·北京朝阳·月考）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．    (1)直接写出该二次函数的表达式______； (2)①若点和点为抛物线上的点，则______（填、、或） ②将抛物线向左平移个单位（），然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为______ (3)已知为线段上一点，设其横坐标为t，过点作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $