第8章 平面向量（单元自测·基础卷）数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第8章 平面向量·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，则 . 【答案】 【解析】，，. 2．设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 ； 【答案】2 【解析】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得. 3．已知，，且与的夹角为，则 ． 【答案】 【解析】因为，，与的夹角为， 所以. 4．已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【解析】在方向上的数量投影为： 5．已知向量，，，的夹角为，则 . 【答案】 【解析】， 6．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解析】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 7．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.    【答案】4 【解析】如图，已为原点建立直角坐标系，∴，即， 设，则∴， ∵，∴时，（舍去）， 时，，时，，时，，时，， 即满足要求的点共有4个.    8．已知中，D为边中点，G为重心，，则D坐标为 . 【答案】 【解析】设， ， 由重心坐标公式可得 ， ， 解得，， 因为D为边中点，所以D坐标为. 9．已知为坐标原点，向量，，，若A，B，C三点共线，且，请写出所有符合条件的有序实数对： ． 【答案】 【解析】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线，所以平行， 所以，即， 将代入中，解得或. 10．在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 . 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系如图所示：    由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 11．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：       则直线AP通过△ABC的 (请在横线上填入正确的编号） ①外心    ②内心    ③重心    ④垂心 【答案】① ② ③ ④ 【解析】设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线， 由向量的运算法则可得 , 由题意有： ， 即 ，∴A、P、D三点共线， 点P一定过△ABC的重心， 结合AB=AC可得：直线AP通过△ABC的外心、内心、垂线和重心. 12．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 14．在中，为的中点，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，，故选：D. 15.已知向量满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 16．若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知向量 (1)时，求的值: (2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围： 【解】（1）因为，故，解得. （2）向量与向量的夹角为锐角，故且不共线， 故且，故且. 18．（本小题满分14）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 【解】（1）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以。 （2）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以. 19．（本小题满分14）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． (1)求，； (2)设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为，是两个夹角为的单位向量， 所以，， 又，， 所以 ， 又， 所以． （2）因为，． 若是以为斜边的直角三角形，则， 即， 可得， 即，化简得，解得， 所以存在满足条件． 20．（本小题满分18）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【解】（1）因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. （2）取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 21．（本小题满分18）已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数， 试求的相伴特征向量; (2)已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴. (3)记向量的相伴函数为，求当且 ，的值; 【解】（1）， 的相伴特征向量； （2）由为的相伴特征向量， ， 则，且，解得， 所以， 令， 所以函数的对称轴为直线； （3）向量的相伴函数为， 所以, ，则， . 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章平面向量·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1一6题，每题4分，第7一12题，每题5分，共54分在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(4,5到 2.2 3.-2V2 4.-2 5.4v5 6.平行四边形 7.4 8.-3,5) g.63 10.2 11.①②③④ 12.16 二、选择题（本大题共4小题，第13~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在 题中横线上) 13 14 15 16 A 0 三、解答题（本大题共5小题，共78分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分) 【解】（)因为a+列a-列=0，故-b3=5-r+=0,解得x=±2 (2)向量a与向量5的夹角为锐角，故a-6>0且a,6不共线， 故x+2>0且2x1,故x>-2且 2 18.(本小题满分14) 【解】(I)因为BE=2BC,所以C为BE的中点，又D是AB的中点， 所以D亚=D丽+死=+2BC=-B丽+2BC。 (2)因为BE=2BC,所以C为BE的中点，又D是AB的中点， 所以E-d正-0-B-a+c网-西-a 19.(本小题满分14) 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解】(1)因为，是两个夹角为60°的单位向量， 11 所以E=回=1,88=1x1× 22, 又01=6+36,0B=5g+6., 所以o-VG+3g=V+g6+g +6x+9x=而 又AB=0i-0A=5g+6-g+3g]=4%-22 所以网=46-2g=16g+46-16ge-6+4-16x-25 ++ 2 (2)因为4C=0c-0i=1-1g-36,Bc=0c-05=t-5-6 若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则AC⊥BC, 即Ac.Bc=[-g-36][u-5e-6]=0, 可得1-1-5列8+36-41-4g6,=0. 即t-11-5到+3-21-4)=0，化简得2-1+16=0，解得=4， 所以存在t=4满足条件. 20.(本小题满分18) 【解】()因为m=m=-,所以0C=O1-0丽 因为Oc=OA+AC=OB+BC 所以oc=引o1+4c+0B+BC=引-oc-a-四， 所以oca- 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以oc-ca-c6 3 3 B CA,CB E,F OE,OF,OE⊥AC,OF⊥BC (2)取 的中点分别为，连接 ,则 yOCCA-CH OE+EC)-CAEC--1C4, 同理oCCB=-1cB OC=mOA+nOB=mOC+CA+nOC+CB=(m+n)OC+mCA+nCB 所以0c1--n+7-”-0 1-m-n 所以 1-m-n 因为C4CB=C☑CBcos60=6 所以2×4，m 6n 1-m-n1-m-n’ 1 61m 36n 同理2×36= 1-m-n"1-m-n 、3 Γ7 整理得到〔m+2n=-1,解得 5 2m-3n=3 n=- 7 B 21.(本小题满分18)已 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √5 3 【解】(1) 6 6 2 sinx+-cosx 2 2由0矿-一5列为小=一看)南相作特任向。 =mmx--9血- (62 mcosx 则2m5 1 且2m=1 ，解得m=-2, 所以叫=经引-an《臣引牙2 令=a东eZ一=2mkeZ, 所以函数'=o(的对称轴为直线x=2k,k∈乙， (3)向量ON-,v5的相件函数为y, 所对=血+5ow=2+号引- m(+到r(=x*.则m+号引-m+. si-im()5 415 6 学科网 单元速记·巧练 Ww6o掌科网0.M吐好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 命 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章 平面向量·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，则 . 2．设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 ； 3．已知，，且与的夹角为，则 ． 4．已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 5．已知向量，，，的夹角为，则 . 6．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 7．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.    8．已知中，D为边中点，G为重心，，则D坐标为 . 9．已知为坐标原点，向量，，，若A，B，C三点共线，且，请写出所有符合条件的有序实数对： ． 10．在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 . 11．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：       则直线AP通过△ABC的 (请在横线上填入正确的编号） ①外心    ②内心    ③重心    ④垂心 12．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．化简：（   ） A． B． C． D． 14．在中，为的中点，若，，则为（    ） A． B． C． D． 15.已知向量满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 16．若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知向量 (1)时，求的值: (2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围： 18．（本小题满分14）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 19．（本小题满分14）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． (1)求，； (2)设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分18）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 21．（本小题满分18）已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数， 试求的相伴特征向量; (2)已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴. (3)记向量的相伴函数为，求当且 ，的值; 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第8章 平面向量·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，则 . 2．设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 ； 3．已知，，且与的夹角为，则 ． 4．已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 5．已知向量，，，的夹角为，则 . 6．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 7．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则满足的格点共有 个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.    8．已知中，D为边中点，G为重心，，则D坐标为 . 9．已知为坐标原点，向量，，，若A，B，C三点共线，且，请写出所有符合条件的有序实数对： ． 10．在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 . 11．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：       则直线AP通过△ABC的 (请在横线上填入正确的编号） ①外心    ②内心    ③重心    ④垂心 12．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．化简：（   ） A． B． C． D． 14．在中，为的中点，若，，则为（    ） A． B． C． D． 15.已知向量满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 16．若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14）已知向量 (1)时，求的值: (2)若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围： 18．（本小题满分14）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 19．（本小题满分14）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． (1)求，； (2)设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分18）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 21．（本小题满分18）已知为坐标原点，对于函数称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数， 试求的相伴特征向量; (2)已知为的相伴特征向量，，求函数的对称轴. (3)记向量的相伴函数为，求当且 ，的值; 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $