精品解析：北京市东城区2025一2026学年上学期期末统一检测 九年级数学

东城区2025—2026学年度第一学期期末统一检测 初三数学 2026.1 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，在中，点C是直径上的动点（不与点A，B重合），分别以和为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为，周长为．过点C作交于点D，以为直径作圆，记此圆（阴影部分Ⅱ）的面积为，周长为． 给出下面四个结论： ①；②与之和为定值；③为定值；④不超过的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 11. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率 （保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____________（精确到0.1）． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点E，连接，，连接交于点F．若，则的长为_____________（结果保留）． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解是_____________． 15. 如图1，在中，，，在中，，，，点C，B，E在一条直线上．若在图1的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图2），则旋转角_____________°． 16. 某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品．每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示： 表一 原料 甲 乙 日供应量 60 80 表二 产品类型 甲原料（/件） 乙原料（/件） 利润（元/件） A 2 4 50 B 4 2 60 应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量． （1）若全部生产B产品，每日最多可生产_____________件； （2）工厂每日最大总利润为_____________元． 三、解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： （1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的半径长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 在二次函数中，与几组对应值如表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于，两点，请直接写出线段的长． 21. 已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C均在格点（小正方形的顶点）上． （1）如图1，以边的中点O为旋转中心，将旋转，得到，画出； （2）如图2，在图中找一个格点E，使． 22. 某班开展主题为“我爱贵州”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“民俗”“非遗”“美食”（分别记作A，B，C，D）共四个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了对应图案（卡片背面相同）： （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“非遗”的概率为_________． （2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小凯代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小丽代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 23. 在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一．随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率． 24. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； （2）若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 25. 如图，在中，，，D是上一点，是的外接圆．过点C作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若B是的中点，且，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求的值； （2）当线段与抛物线有两个公共点时，求出的取值范围； （3）过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围． 27. 如图，在中，，，为的中线，E是上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点F作交的延长线于点G． （1）求证：； （2）连接，取的中点H，连接，．依题意补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M和图形G，给出如下定义：在图形G上存在点Q，使得点M是线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的 “映射点”． 已知正方形的顶点为，，，． （1）已知点M的坐标为，在点，，中，正方形关于点M的映射点是_____________； （2）已知点，若x轴上存在正方形关于点M的映射点，直接写出m的取值范围； （3）已知点，点M在半径为1的上，若上存在正方形关于点M的映射点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2025—2026学年度第一学期期末统一检测 初三数学 2026.1 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不符合题意； 、从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，该选项符合题意； 、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，该选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，该选项不符合题意； 故选：． 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中的， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根． 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 6. 已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值．直接计算点A和B的纵坐标，的值，并比较它们与 1 的大小关系． 【详解】解：将，代入，得： ， ， ∴ ，即 ． 故选：A． 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 8. 如图，在中，点C是直径上的动点（不与点A，B重合），分别以和为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为，周长为．过点C作交于点D，以为直径作圆，记此圆（阴影部分Ⅱ）的面积为，周长为． 给出下面四个结论： ①；②与之和为定值；③为定值；④不超过的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，弧长公式，扇形的面积，不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理，圆周角，弧长公式，扇形的面积，不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：连接，如图 设圆O的半径为R，，则． 阴影部分Ⅰ是由圆O的上半圆弧和以为直径的两个半圆弧围成的区域，其面积等于圆O上半圆面积减去两个小半圆面积之和，即 ． 阴影部分Ⅱ是以为直径的圆，其中，为圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴面积．因此结论①正确． 与之和为，不定值，故结论②错误． 阴影部分I的周长由三段弧组成：圆O的上半圆弧、以为直径的半圆弧、以为直径的半圆弧，故 为定值，结论③正确． ∵， ∴， ∴阴影部分II的周长． ∵， ∴，结论④正确． 综上，正确结论的序号为①③④． 故选D． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式. 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2）， ∴a＜0，c=2， ∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）． 故答案为y=-x2+2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 11. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率 （保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____________（精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握利用频率估计概率的方法．利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据，移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为． 随着移植棵数增加，成活频率逐渐稳定在附近， 因此估计银杏树苗移植成活的概率为， 精确到为． 故答案为． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点E，连接，，连接交于点F．若，则的长为_____________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键． 根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ∴的长为． 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 15. 如图1，在中，，，在中，，，，点C，B，E在一条直线上．若在图1的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图2），则旋转角_____________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 在中，运用已知条件以及勾股定理可得；在依据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，如图：过C作于F，运用等面积法可求得，由勾股定理可得，即是等腰直角三角形，易得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴，解得：， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴ 如图：过C作于F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品．每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示： 表一 原料 甲 乙 日供应量 60 80 表二 产品类型 甲原料（/件） 乙原料（/件） 利润（元/件） A 2 4 50 B 4 2 60 应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量． （1）若全部生产B产品，每日最多可生产_____________件； （2）工厂每日最大总利润为_____________元． 【答案】 ①. 15 ②. 1100 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）分别求出甲乙两种原料用来生产B产品所能生产的数量即可求解； （2）用枚举法求解即可． 【详解】解：（1）∵件，件， ∴全部生产B产品每日最多可生产15件． 故答案为：15； （2）当生产15件B时，利润为元， 当生产14件B时，则生产件A，利润为元， 当生产13件B时，则生产件A，利润元， 当生产12件B时，则生产件A，利润为元， 当生产11件B时，则生产件A，利润为元， 当生产10件B时，则生产件A，利润为元， 当生产9件B时，则生产件A，由于，不满足B产品数量不少于A产品数量的要求，故不符合题意； 综上可知，工厂每天生产的B产品数量不少于A产品数量，则工厂每日最大总利润为1100元． 故答案为：1100． 三、解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．利用配方法求解即可解答． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴，． 18. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： （1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）图见解析 （2）的半径长为 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理与勾股定理，掌握好尺规作图的规范是解题关键． （1）按照题意进行作图即可； （2）连接，设的半径为，由（1）可知，，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 【小问1详解】 解：月洞门的设计图如图3所示， 【小问2详解】 解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 答：半径长为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 20. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线相交于，两点，请直接写出线段的长． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）二次函数图象的顶点坐标为，画二次函数的图象见解析； （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式化为顶点式，由二次函数的图象和性质即可求解； （3）由二次函数图象的平移规律可得平移后的函数解析式，由，结合题意即可得线段的长． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， 【小问3详解】 解：二次函数向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得二次函数的解析式为， 由得， 解得，， 根据题意可得， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，画二次函数的图象，二次函数图象的平移． 21. 已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C均在格点（小正方形的顶点）上． （1）如图1，以边的中点O为旋转中心，将旋转，得到，画出； （2）如图2，在图中找一个格点E，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，全等三角形的判定与性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键． （1）根据旋转作图，分别画出点A，B，C旋转后的对应的，连线成三角形即可； （2）根据全等三角形的判定与性质，邻补角的定义，即可确定点E的位置． 【小问1详解】 解：如图1，为所作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求的角．理由如下： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 某班开展主题为“我爱贵州”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“民俗”“非遗”“美食”（分别记作A，B，C，D）共四个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了对应图案（卡片背面相同）： （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“非遗”的概率为_________． （2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小凯代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小丽代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，用满足题意的情况数除以所有等可能情况数即可． 【小问1详解】 解：依题意，一共有四张卡片，卡片内容是“非遗”的有一张， ∴将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“非遗”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，小凯和小丽两人抽到研究方向不同的情况共12种， ∴这两个小组研究方向不同的概率为． 23. 在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一．随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用-增长率问题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 这两年该电池成本的年平均下降率为x，然后根据“2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时”列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：这两年该电池成本的年平均下降率为x， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意舍去）． 答：这两年该电池成本的年平均下降率为． 24. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度y（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为_____________米，满足的函数关系是_____________； （2）若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足，视为有效投篮，则机器人投篮_____________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮_____________（填“有效”或“无效”）． 【答案】（1），． （2）有效，无效． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）根据表格信息即可确定篮球飞行的竖直高度的最大值为米，再在表格中选择一组数据代入求得a的值即可； （2）分别求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【小问1详解】 解：根据上述数据，篮球飞行的竖直高度的最大值为米， 由表格数据可知，当时，，故最大值为． 由顶点式可知顶点为，即，； 代入表格中，，得，解得：， 所以函数为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由表格数据，时，，满足，满足要求，故机器人投篮有效． 代入到函数， 计算得：，不满足要求，故挑战者投篮无效． 故答案为：有效，无效． 25. 如图，在中，，，D是上一点，是的外接圆．过点C作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若B是的中点，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）１ 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，由可得，再证明即可得出结论； （2）用勾股定理求出，证明，求出，即可求出． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵，是的外接圆， ∴是的直径，且， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵B是的中点，且， ∴； 在中，，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，等边对等角，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求的值； （2）当线段与抛物线有两个公共点时，求出的取值范围； （3）过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求出的值； （2）分两种情况：当时；当时，分别画图求解即可； （3）先求出，分两种情况：当或时，当时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为， 设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解： 由（2）的解答可知：，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点， 设， ∴， ∴， 当时，解得：或， 当或时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 当时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，二次函数的图像与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 27. 如图，在中，，，为的中线，E是上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点F作交的延长线于点G． （1）求证：； （2）连接，取的中点H，连接，．依题意补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）斜边上的中线得到，证明，得到，即可得证； （2）根据题意，补全图形，作交的延长线于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，证明，得到，三线合一，得到垂直平分，进而推出，再根据三角形的中位线定理，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，，为的中线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意补全图形如图：，证明如下： 作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴为的中线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，旋转的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M和图形G，给出如下定义：在图形G上存在点Q，使得点M是线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的 “映射点”． 已知正方形的顶点为，，，． （1）已知点M的坐标为，在点，，中，正方形关于点M的映射点是_____________； （2）已知点，若x轴上存在正方形关于点M的映射点，直接写出m的取值范围； （3）已知点，点M在半径为1的上，若上存在正方形关于点M的映射点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中的图形，正方形和圆的基本性质以及数形结合思想，理解新定义是解题的关键．（1）根据“映射点”的定义，逐一判断即可；（2）根据“映射点”的定义，设映射点，点在正方形内，点为线段的中点，根据中点坐标公式得，再根据，解出不等式即可；（3）根据题意找出与正方形最远时的两种临界状态即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：如图1，∵正方形的顶点为，，，， ∴正方形的的范围是，的范围是． 根据题意，对于点，中点，由中点公式，，得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴点在正方形内，且，因此是映射点． 对于点，中点，由中点公式得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴不在正方形内，因此不是映射点． 对于点，中点，由中点公式得对应点的横坐标为，的纵坐标为， ∴点． ∴点在正方形的边界上，且，因此是映射点． 故答案为：和． 【小问2详解】 解：如图2，设映射点在轴上，坐标为．由定义，存在点在正方形内，使得点为线段的中点． 由中点公式得：， 解得． 因为点在正方形内，所以满足：， 代入，得 解得． 故答案为：． 【小问3详解】 解：圆心为，半径为．若上存在点是正方形关于点的映射点，则存在点在正方形内，使得点为线段的中点，且点、均在上． 由中点公式得，． ∵、在上，∴． ∴的最大值为2，∴的最大值为2， 如图3，此时的点离正方形左边最远，即，上存在正方形关于点M的映射点， 如图4，此时的点离正方形右边最远，即，上存在正方形关于点M的映射点， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 第1页/共1页 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