精品解析：吉林省长春市四县区2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学 数学试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线倾斜角是，则的值是（    ） A. B. C. D. 1 2. 设是等差数列的前项和,若,则 A. B. C. D. 3. 若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（ ） A B. C. D. 4. 等比数列中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径的圆的方程为 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 11. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ） A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2 C. 的值可以为 D. 的值可以为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等差数列的前项之和为，若，，则______． 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 14. 若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则=_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程步骤.） 15. 已知直线经过两条直线:和:交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 16. 已知数列是一个公差为的等差数列，前n项和为成等比数列，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列{}前10项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 数学试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线的倾斜角是，则的值是（    ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的直线求出，再利用和角的正切计算得解. 【详解】直线的倾斜角是，得， 所以. 故选：C 2. 设是等差数列的前项和,若,则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，选A. 3. 若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为12， 可知M到准线的距离也为12，故到M到轴的距离是8. 故选：B． 4. 等比数列中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式及已知可得，再由即可求值. 【详解】若等比数列的公比为， 由题设，则，即， 由. 故选：A 5. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程． 故选：D. 6. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义得出两平面的法向量，利用数量积公式求出法向量的夹角余弦，利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案 【详解】由题意，因为平面的方程是，所以法向量 由平面的方程是，所以法向量， 所以， 所以， 故选：A. 7. 已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，，求出，的值，即可得答案. 【详解】由题意得，，， ，，， 故双曲线的标准方程为. 故选：B. 8. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则， 在中结合余弦定理可得， 故，即，所以，因此， 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径圆的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】 由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项 【详解】解：对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确； 对于B，由双曲线，可得，则，设，则， 所以，得， 因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确； 对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误； 对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AB 【点睛】此题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即， 根据等差数列性质可得，又， 所以，，故A正确； 对于B：因为，则， 所以，又， 所以， 所以，， 所以使的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为，则， ，则，即， 所以则中最大，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以，即，故D正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 11. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ） A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2 C. 的值可以为 D. 的值可以为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案. 【详解】由椭圆，得，，，故A正确； 椭圆上的动点，，即有， 故的最小值为2，B正确； 设，，，…组成的等差数列为，公差，则， 又，所以，所以，所以的最大值是， 故C正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等差数列的前项之和为，若，，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答. 【详解】由得：，整理得，由得：，整理得， 而，即，于是得， 所以. 故答案为：90 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 14. 若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则=_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知整理得，再由已知得 ，则数列的通项公式为 ，根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，由此可得选项. 【详解】因为， 整理得，由已知得， 所以，则有，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则其通项公式为，所以， 又，个位数字为2；，个位数字为4；，个位数字为8；，个位数字为6， 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以与的个位数字相同， 所以. 故答案为：4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程步骤.） 15. 已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:； (1)若，求的直线方程； (2)若，求的直线方程． 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l (2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l 【详解】（1）由，得， ∴与的交点为. 设与直线平行的直线为， 则，∴. ∴所求直线方程为. （2）设与直线垂直的直线为， 则，解得． ∴所求直线方程为. 【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1． 16. 已知数列是一个公差为的等差数列，前n项和为成等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列{}的前10项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出，令，得到{cn}是首项为-5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=a1d， 又∵d≠0，可得a1=5d； 而，解得d=1，所以an=a1+（n1）d=n6， 即数列{an}的通项公式为an=n6． （2）因为，所以， 令，则为常数，∴{cn}是首项为5，公差为的等差数列， 所以的前10项和为． 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【小问1详解】 平面平面，平面平面， 平面，，平面， 平面，， 又且，、平面PAB， 平面； 【小问2详解】 取中点为，连接、， 又，，则， ，， ，，则， 以为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， ∴由，得， 令，则， 设与平面所成角为， . 则直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将变形可得，即，利用累加可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法可得结果。 【详解】（1）∵， 等式两边同时除以得，，即． 当时，可得．∴，，．．．．．，． 以上各式累加得，又， 当时，， 又时，也满足上式，∴，． （2）由（1）可得， ∴，①，② ①-②，得， ∴． 【点睛】关键点点睛：第（1）问等式两边同时除以得，是解题关键.第（2）问掌握错位相减法适用类型以及求和步骤是解题关键. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $