精品解析：山东临沂市郯城县2026年初中学业水平考试模拟数学试题

2026年初中学业水平考试模拟试题数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 则比低的温度是． 2. 下列四个图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 3. 中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图定义即可求解． 【详解】解：其主视图为：， 故选：C． 4. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 5. 中国邮政定于 年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 6. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 7. 为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵ 都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 8. 如图，在 中， ，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N．分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P，作射线交于D．E为的中点， 交于点F．若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点D作于点G，连接，由角平分线得到，，然后由三线合一得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点G，连接 由作图得，平分 ∴ ∵ ， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与 的面积一定相等；②；③ 与的面积不可能相等；④ 可能是钝角三角形；⑤ 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可判断①；设点C的坐标为，则，可得到，可证明，可判断②；矩形的性质结合反比例函数的意义，可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性，可判断⑤，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，即与 的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当 与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴ 与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线， 可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时， 可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个使代数式有意义的x的值，可以是______． 【答案】2（答案不唯一，只要满足 且 即可） 【解析】 【分析】分式有意义：分母不为0；二次根式有意义：被开方数是非负数． 【详解】解：要使代数式有意义， 则有， 解得 且 ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，， ，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，， ， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：在一元二次方程 中，， ，常数项为， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第三个正方形和第四个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作 轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135； 补全统计图如下所示： （2）450人 （3） 解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为 ，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【小问1详解】 解： ， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为 人， 补全统计图略 【小问2详解】 解：估计用私家车接送孩子的家长人数为 人； 【小问3详解】 略 18. 某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【解析】 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作 于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作 于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设 米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 19. 如图．四边形的对角线， 相交于点，， ，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【解析】 【分析】（1）先证明，结合， ，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点为矩形的对角线的中点， ，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为， 的面积为．其中． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 【答案】（1）， （2） 如图 当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大）； 当 时，随x的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据可知，当时，，当时，；根据三角形的面积公式可得，，可以得到； （2）根据（1）中得到的函数解析式画出图象并结合函数图象，写出函数，的一条性质． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ，， ， ， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 综上所述，； 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，，． 【小问2详解】 略 21. 按要求解答： （1）课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的 ，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． （2）知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、 ，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】（1） 解：的长度是，的度数是， 理由：如图，连接、， ∵，是的两条切线，切点分别为、， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，； （2） 证明：∵、、分别与相切于点、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵ 是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等 （2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2） 证明：由得，， ∴当 时，；当 时，， ∴， ∵，， ∴，即． （3） 无最大值，最小值趋近于． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得，，，所以，然后根据，，即可求解； （）由题意得原函数与轴交点为，所以直线：，又翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上，，点在右侧翻折图上，其关于的对称点为在原函数上，代入原函数得，从而求解． 【小问1详解】 解：该二次函数图像的对称轴：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得，当时，， ∴原函数与轴交点为， ∴直线：， 由题意得：翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上， ∴， ∵点，点， ∴， ∴点在右侧翻折图上，其关于的对称， ∴在原函数上， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 无最大值，最小值趋近于． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1， 可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与 的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中 ，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证 ， ∴， ∵菱形中，， ∴ ， ∵O是的垂直平分线与 的交点， ∴， ∴ ， 过点作 于点， ∴ ，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得 ，推出 ，，再得到 ，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证 ，得到，根据线段垂直平分线的性质求得 ，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴ ， ， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得 ， ∴ ，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试题数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 中国邮政定于 年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 8. 如图，在 中， ，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N．分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P，作射线交于D．E为的中点， 交于点F．若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 10. 如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与 的面积一定相等；②；③ 与的面积不可能相等；④ 可能是钝角三角形；⑤ 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个使代数式有意义的x的值，可以是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 18. 某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 19. 如图．四边形的对角线， 相交于点，， ，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 20. 如图，点为矩形的对角线 的中点， ，．，是 上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为， 的面积为．其中． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 21. 按要求解答： （1）课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的 ，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． （2）知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、 ，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 22. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求 的取值范围． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1， 可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与 的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中 ，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $