2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第2课时： 整式与因式分解

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第2课时 整式与因式分解 一、核心知识 1.整式的相关概念： 单项式：由 组成的代数式，数字因数叫做___________，所有字母指数的和叫做_________（单独的数或字母也是单项式）。 多项式：由几个单项式相加组成的代数式，次数最高的项的次数叫做多项式的_______，不含字母的项叫做_________。 整式：_________和_________统称为整式。 同类项：所含___________相同，且相同字母的___________也相同的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 2.幂的运算（a≠0，m、n 为整数）： 幂的运算（m、n 为整数，a≠0） 同底数幂相乘： 。 同底数幂相除： 。 幂的乘方： 。 积的乘方： 。 零指数幂： 。 负整数指数幂： 。 3.整式的运算： 整式加减：先去括号（括号前是负号，括号内各项要________），再合并同类项（只把系数相加，字母和字母的指数_________）。 单项式乘单项式： 相乘，相同 分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 单项式乘多项式： 。 多项式乘多项式： 。 乘法公式： 平方差公式： ； 完全平方公式： 。 整式除法：单项式除以单项式， ，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先 ，再 。 4.因式分解： 定义：把一个多项式化成几个__________的形式，与整式乘法是__________运算。 基本方法： 提公因式法： ； 公式法： ； 十字相乘法： 。 分解步骤：一_________（提取公因式）、二___________（运用公式）、三________（分解彻底，直到不能再分解为止）。 二、核心能力 题型1：同类项判断与合并 解题思路 先看字母是否完全相同，再看相同字母的指数是否一致（与系数无关）；合并时仅合并系数，字母和指数保持不变。 题型2：幂的运算 解题思路 紧扣运算法则，区分不同运算类型（相乘 / 相除 / 乘方），注意符号法则（负数的偶次幂为正，奇次幂为负），零指数幂和负整数指数幂的限制条件（a≠0）。 题型3：整式混合运算： 解题思路 遵循 “先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内” 的顺序；灵活运用乘法公式简化运算，避免直接展开繁琐计算。 题型4：因式分解： 解题思路 优先提取公因式，再根据项数选择方法 —— 两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式或十字相乘法，四项及以上考虑分组分解；分解后必须检查是否彻底。 题型5：乘法公式的应用 解题思路 正向应用公式直接计算，逆向应用用于因式分解或代数式变形；遇到复杂式子可通过凑整、换元转化为公式形式（如 a²+b² 可转化为 (a+b)²-2ab）。 题型6：代数式求值： 解题思路 先化简代数式（整式运算或因式分解），再代入数值计算；或利用整体代入思想（如已知 a+b=3，直接代入含 a+b 的表达式），简化计算步骤。 三、易错警示 同类项判断错误 错误：认为 3x²y 与 - 2xy² 是同类项（字母相同但指数不同）； 提醒：同类项需满足 “字母相同且相同字母指数相同”，与字母顺序无关。 幂的运算符号与法则混淆 错误：(-a)² = -a²，a³・a² = a⁶，(a³)² = a⁵； 提醒：(-a)²= a²（负数偶次幂为正），同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘。 乘法公式应用漏项 错误：(a+b)² = a² + b²，(a-b)(a+b) = a² + b²； 提醒：完全平方公式需含中间项 “±2ab”，平方差公式结果为 “a² - b²”，注意符号。 因式分解不彻底或形式错误 错误：2x² - 8 = 2 (x² - 4)（未分解彻底），x²+2x+1 = x (x+2)+1（不是积的形式）； 提醒：分解需彻底（x²-4 可继续用平方差公式分解），结果必须是整式积的形式。 整式运算去括号错误 错误：-2 (x-y) = -2x - y（括号内第二项未变号）； 提醒：括号前是负号，去括号后所有项都要变号，系数要乘遍括号内每一项。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·湖北模拟）下列代数式中，整式为（   ） A. B. C. D. 2.（24-25·贵州模拟）单项式的系数和次数分别为（   ） A.， B.， C.， D.， 3.（23-24·四川中考）下列单项式中，的同类项是（    ） A. B. C. D. 4.（23-24·四川中考）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.（23-24·河北模拟）已知，，则整式的值为（    ） A. B. C. D. 6.（25-26·全国期中）下列各式计算正确的是（    ） A. B. C. D. 7.（23-24·黑龙江中考）下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 8.（23-24·甘肃中考）计算：（    ） A. B. C. D. 9.（25-26·全国模拟）若多项式可分解为，则（   ） A. B. C. D. 10.（23-24·安徽模拟）下列因式分解正确的是（      ） A. B. C. D. 11.（24-25·河南模拟）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·江苏模拟）若代数式，，则和的大小关系是（   ） A. B. C. D.无法确定 13.（23-24·广西中考）如果，，那么的值为（    ） A. B. C. D. 14.（25-26·江西模拟）新考法数形 结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为，周长和为，则下列关于和的说法正确的是（    ） A.和均为定值 B.只有为定值 C.只有为定值 D.和均不为定值 15.（24-25·江苏模拟）操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（    ） A.图①、图②展开后周长均变大． B.图①、图②展开后周长均不变． C.图①、图②展开后周长均变小． D.图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． （2） 填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·陕西模拟）计算：___________． 17.（25-26·甘肃模拟）分解因式：_____． 18.（24-25·重庆模拟）已知，则___________． 19.（24-25·四川中考）若，则的值为____________． 20.（24-25·四川中考）已知实数，满足，则_______． 21.（25-26·甘肃模拟）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_________． 22.（24-25·陕西模拟）年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为          . 23.（24-25·河南模拟）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则_______________(填“”“”或“”)． 24.（23-24·内蒙古模拟）如图所示，图是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图，是一个边长为的正方形，记图，图中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为________． 25.（24-25·湖南中考）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果，，为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·甘肃模拟）因式分解： 27.（24-25·浙江中考）化简求值：，其中． 28.（23-24·甘肃中考）先化简，再求值：其中． 29.（23-24·河北模拟）已知：整式，整式． （1）化简：； （2）若是关于的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 30.（23-24·江苏模拟）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：______﹔ 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， 如图，观察大正方体分割，可以得到等式：． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 31.（24-25·河北模拟）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． （1）_____（用含，的式子表示）； （2）求的大小（结果用含，的式子表示）； （3）若，请你直接写出的值，不用说明理由． 32.（24-25·宁夏模拟）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】请用分组分解法将因式分解； 【挑战】请用分组分解法将因式分解； 【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是，小正方形的面积是．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 33.（23-24·河北模拟）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 34.（24-25·广东模拟）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 35.（24-25·广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，___， ，， ，， ，， （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第2课时 整式与因式分解 一、核心知识 1.整式的相关概念： 单项式：由 数与字母或字母与字母相乘 组成的代数式，数字因数叫做______系数______，所有字母指数的和叫做______次数______（单独的数或字母也是单项式）。 多项式：由几个单项式相加组成的代数式，次数最高的项的次数叫做多项式的______次数______，不含字母的项叫做______常数项______。 整式：______单项式______和______多项式______统称为整式。 同类项：所含______字母______相同，且相同字母的______指数______也相同的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 2.幂的运算（a≠0，m、n 为整数）： 幂的运算（m、n 为整数，a≠0） 同底数幂相乘： aᵐ・aⁿ = am+n 。 同底数幂相除： aᵐ÷aⁿ = am−n 。 幂的乘方： (aᵐ)ⁿ = amn 。 积的乘方： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ 。 零指数幂： a0 = 1（a≠0，00无意义） 。 负整数指数幂： （a≠0，n为正整数） 。 3.整式的运算： 整式加减：先去括号（括号前是负号，括号内各项要______变号______），再合并同类项（只把系数相加，字母和字母的指数______不变______）。 单项式乘单项式： 系数 相乘，相同 字母 分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 单项式乘多项式： m (a+b+c) = ma+mb+mc 。 多项式乘多项式： (m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb 。 乘法公式： 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b² ； 完全平方公式： (a±b)² = a²±2ab+b² 。 整式除法：单项式除以单项式， 系数、同底数幂分别相除 ，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先 把每一项除以单项式 ，再 把商相加 。 4.因式分解： 定义：把一个多项式化成几个______整式积______的形式，与整式乘法是______互逆______运算。 基本方法： 提公因式法： ma+mb+mc = m(a+b+c) ； 公式法： a² - b² = (a+b)(a-b)，a²±2ab+b² = (a±b)² ； 十字相乘法： x²+(p+q) x+pq = (x+p)(x+q) 。 分解步骤：一______提______（提取公因式）、二______套______（运用公式）、三______检查______（分解彻底，直到不能再分解为止）。 二、核心能力 题型1：同类项判断与合并 解题思路 先看字母是否完全相同，再看相同字母的指数是否一致（与系数无关）；合并时仅合并系数，字母和指数保持不变。 题型2：幂的运算 解题思路 紧扣运算法则，区分不同运算类型（相乘 / 相除 / 乘方），注意符号法则（负数的偶次幂为正，奇次幂为负），零指数幂和负整数指数幂的限制条件（a≠0）。 题型3：整式混合运算： 解题思路 遵循 “先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内” 的顺序；灵活运用乘法公式简化运算，避免直接展开繁琐计算。 题型4：因式分解： 解题思路 优先提取公因式，再根据项数选择方法 —— 两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式或十字相乘法，四项及以上考虑分组分解；分解后必须检查是否彻底。 题型5：乘法公式的应用 解题思路 正向应用公式直接计算，逆向应用用于因式分解或代数式变形；遇到复杂式子可通过凑整、换元转化为公式形式（如 a²+b² 可转化为 (a+b)²-2ab）。 题型6：代数式求值： 解题思路 先化简代数式（整式运算或因式分解），再代入数值计算；或利用整体代入思想（如已知 a+b=3，直接代入含 a+b 的表达式），简化计算步骤。 三、易错警示 同类项判断错误 错误：认为 3x²y 与 - 2xy² 是同类项（字母相同但指数不同）； 提醒：同类项需满足 “字母相同且相同字母指数相同”，与字母顺序无关。 幂的运算符号与法则混淆 错误：(-a)² = -a²，a³・a² = a⁶，(a³)² = a⁵； 提醒：(-a)²= a²（负数偶次幂为正），同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘。 乘法公式应用漏项 错误：(a+b)² = a² + b²，(a-b)(a+b) = a² + b²； 提醒：完全平方公式需含中间项 “±2ab”，平方差公式结果为 “a² - b²”，注意符号。 因式分解不彻底或形式错误 错误：2x² - 8 = 2 (x² - 4)（未分解彻底），x²+2x+1 = x (x+2)+1（不是积的形式）； 提醒：分解需彻底（x²-4 可继续用平方差公式分解），结果必须是整式积的形式。 整式运算去括号错误 错误：-2 (x-y) = -2x - y（括号内第二项未变号）； 提醒：括号前是负号，去括号后所有项都要变号，系数要乘遍括号内每一项。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（23-24·湖北模拟）下列代数式中，整式为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查整式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，据此进行判断即可． 【解答】解：是多项式，它是整式，则符合题意； 是二次根式，它不是整式，则不符合题意； 是分式，它不是整式，则不符合题意； 是分式，它不是整式，则不符合题意； 故选：． 2.（24-25·贵州模拟）单项式的系数和次数分别为（   ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】本题考查单项式的概念，根据单项式的次数是数字因数、次数是所有字母的指数和求解即可． 【解答】解：单项式的系数为、次数为， 故选：． 3.（23-24·四川中考）下列单项式中，的同类项是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【解答】解：．是同类项，此选项符合题意； ．字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：． 4.（23-24·四川中考）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【解答】解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 单项式与单项式是同类项， ， 解得，， 点在第四象限， 故选： 5.（23-24·河北模拟）已知，，则整式的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【解答】解：原式． 故选：． 6.（25-26·全国期中）下列各式计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【解答】解：与的字母部分不同与，不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； ，故本选项的计算错误； ，故本选项的计算正确； ，故本选项的计算错误． 故选：． 7.（23-24·黑龙江中考）下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【解答】解：、，故该选项是错误的； 、，故该选项是错误的； 、，故该选项是错误的； 、，故该选项是正确的； 故选：． 8.（23-24·甘肃中考）计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【解答】解： 故选：． 9.（25-26·全国模拟）若多项式可分解为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【解答】解：多项式可分解为， ， ， ，． 故选：．  10.（23-24·安徽模拟）下列因式分解正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是因式分解的概念．根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可． 【解答】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 11.（24-25·河南模拟）已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【解答】证明: ，， ． ，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， 四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是的倍数，另一个是的倍数；同时必有一个数是的倍数，一个数是的倍数（或含因数）． ，恰好为四个连续正整数． ． 故选：． 12.（24-25·江苏模拟）若代数式，，则和的大小关系是（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【解析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， 故选：． 13.（23-24·广西中考）如果，，那么的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：，， ； 故选． 14.（25-26·江西模拟）新考法数形 结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若为定值，两阴影部分的面积和为，周长和为，则下列关于和的说法正确的是（    ） A.和均为定值 B.只有为定值 C.只有为定值 D.和均不为定值 【答案】C 【解析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 根据题意，列出代数式逐个进行分析即可． 【解答】解：由题意可知，矩形公园的长、宽为定值， 如图，设矩形公园的长和宽分别为，，利用线段平移可知，两阴影部分的周长和，则为定值， 设图中两阴影部分的面积分别为，长分别为，，则将向下平移个单位长度后，两阴影部分的面积和． 只有当时，为定值， 故选：． 15.（24-25·江苏模拟）操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（    ） A.图①、图②展开后周长均变大． B.图①、图②展开后周长均不变． C.图①、图②展开后周长均变小． D.图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． 【答案】B 【解析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，根据折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长解答即可． 本题考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【解答】解：设正方形的边长为，则正方形的周长为， 如图，根据折叠性质和正方形的性质，得到四边形都是矩形， 得到， 第一次剪裁后，图形的周长为 ， 故第一次剪裁后的图形周长与原正方形的周长相同； 同理可证，第二次剪裁后的图形周长与原正方形的周长也是相同的， 故选：． （2） 填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·陕西模拟）计算：______________． 【答案】 【解析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 17.（25-26·甘肃模拟）分解因式：_______． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解:原式 ， 故答案为:． 18.（24-25·重庆模拟）已知，则___16________． 【答案】 【解析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：16 19.（24-25·四川中考）若，则的值为________1_________． 【答案】 【解析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：， ， ， 故选：． 20.（24-25·四川中考）已知实数，满足，则______4______． 【答案】 【解析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【解答】解：， 故答案为：． 21.（25-26·甘肃模拟）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为____70_______． 【答案】 【解析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【解答】解：根据题意得：，， ， 故答案为：． 22.（24-25·陕西模拟）年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为       128    . 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】因为展开的多项式中各项系数之和是；展开的多项式中各项系数之和是；展开的多项式中各项系数之和为；…，所以展开的多项式中各项系数之和是，所以展开的多项式中各项系数之和为故答案为 23.（24-25·河南模拟）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则______<___________(填“”“”或“”)． 【答案】 【解析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解． 【解答】解：依题意，， ， 故答案为：． 24.（23-24·内蒙古模拟）如图所示，图是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图，是一个边长为的正方形，记图，图中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为________． 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】试题分析： 考点：平方公式的几何背景；分式的化简. 25.（24-25·湖南中考）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果，，为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第____⑤________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】⑤ 【解析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【解答】解：等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． 对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，把④两边同时除以，得； ， 上述推理过程中，第⑤步是错误的； 故答案为：⑤． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·甘肃模拟）因式分解： 【答案】 【解析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成组分别提公因式，再进一步的提公因式分解因式即可． 【解答】 解： ； 27.（24-25·浙江中考）化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 28.（23-24·甘肃中考）先化简，再求值：其中． 【答案】 【解析】先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【解答】解： 当时，原式． 29.（23-24·河北模拟）已知：整式，整式． （1）化简：； （2）若是关于的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】（1）将、代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 【解答】（1）解：，， ； （2）解：由题可得：， 是关于的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 30.（23-24·江苏模拟）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：_______﹔ 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， 如图，观察大正方体分割，可以得到等式：． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】；25、90 【解析】（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可； （2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论． 【解答】（1）解：由， 可得， ，， ， ， （2），， 90 31.（24-25·河北模拟）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． （1）______（用含，的式子表示）； （2）求的大小（结果用含，的式子表示）； （3）若，请你直接写出的值，不用说明理由． 【答案】 【解析】（1）由题意知，阴影部分是上底为、下底为，高为的梯形，据此求解即可； （2）结合图形得出，，据此依据三角形面积公式可得答案； （3）根据已求的的表达式可得答案． 【解答】（1）解：由题意知，阴影部分是上底为、下底为，高为的梯形， 所以， 故答案为：； （2）解：是的中点， ． ， 又 （3）解：由题意知，， 所以，． 32.（24-25·宁夏模拟）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】请用分组分解法将因式分解； 【挑战】请用分组分解法将因式分解； 【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是，小正方形的面积是．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】；；， 【解析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； 先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； 分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【解答】解： ； ； 根据题意得：， 原式． 33.（23-24·河北模拟）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】 【解析】（1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【解答】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 34.（24-25·广东模拟）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】； ． 【解析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 仿照进行分解即可； 仿照进行分解即可； 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 35.（24-25·广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，__24_， ，， ，， ，， （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】 ，，，其中、、都是正整数，，证明见解答 【解析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为，另一个直角边为，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【解答】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24 （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $