2026年中考数学第一轮复习 讲义 第1课时：《实数》

该初中数学中考复习资料聚焦“实数”核心模块，覆盖中考必考的概念分类、数轴、相反数、绝对值、平方根与立方根、运算及科学记数法等考点，以“核心知识梳理-核心能力题型解析-易错警示-真题演练”为架构，通过考点系统整合、解题思路分步指导及近三年中考真题训练，帮助学生构建知识网络，突破实数运算、无理数识别等难点。 亮点在于“易错点精准突破”和“分层真题训练”，如针对平方根与算术平方根混淆问题设置对比辨析，结合运算能力培养设计“选择-填空-解答”三级真题演练，通过5分钟限时计算训练提升实战速度。融入抽象能力、几何直观等核心素养，助力学生高效掌握考点，教师可依此把控复习节奏，实现精准提分。

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第1课时 实数 一、核心知识 1.实数的概念及分 概念： 有理数和无理数统称为实数； 分类： 按定义分：实数 按性质分：实数 2.数轴 概念： 规定了____________、____________和____________的直线叫做数轴； 实数与数轴上的点是________的关系。 3.相反数： 概念： 只有___________不同的两个数互为相反数，零的相反数是________；性质： 若 a、b 互为相反数，则__________，反之亦然； 几何意义： 数轴上表示互为相反数的两个点关于___________对称。 4.倒数 概念： 乘积为___________的两个数互为倒数，____没有倒数； 性质： 若 a、b 互为倒数，则___ ，反之亦然。 5.绝对值 概念： 数轴上表示数 a 的点到_________的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|； 代数意义： 正数的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，负数的绝对值是 ； 性质： 非负性： ，|a|=|-a|。 6.平方根、算术平方根与立方根 平方根： 若 x2 = a（a≥0），则 x 叫做 a 的 ，记作 ； 性质： 正数有____________平方根，它们互为________，0 的平方根是 ，负数________平方根； 算术平方根： 正数 a 的正的平方根叫做 a 的 ，记作 ； 算术平方根具有 （即 ）； 立方根： 若 x3 = a，则 x 叫做 a 的 ，记作； 性质： 正数的立方根是_________，负数的立方根是__________，0 的立方根是_________。 7.实数的运算 基本运算： 加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序：先算___________，再算____________，最后算_________；有括号的先算___________的；同级运算从__________依次进行； 运算律： 加法交换律 符号表示： ； 加法结合律 符号表示： ； 乘法交换律 符号表示： ； 乘法结合律 符号表示： ； 乘法分配律 符号表示： 。 8.科学记数法与近似数 科学记数法： 把一个数表示成_____ _____的形式（其中 1≤|a|<10，n 是整数）； 近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位；从左边第一个___________数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。 二、核心能力 题型1：实数的分类与无理数识别 解题思路 紧扣 “无理数是无限不循环小数”，排除有理数（有限小数、循环小数、整数、分数）；注意 “带根号的数不一定是无理数”。 题型2：相反数、倒数、绝对值的计算 解题思路 相反数：改变数的符号（a 的相反数是 - a）； 倒数：非零数 a 的倒数是 1/a（符号与原数一致）； 绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简（负数的绝对值是它的相反数）。 题型3：平方根、算术平方根与立方根的运算 解题思路 算术平方根：根号 a≥0，a≥0，结果是非负数； 平方根：± 根号 a（a≥0），结果有两个，互为相反数； 立方根：三次根号 a 与 a 符号一致，任何实数都有唯一立方根。 题型4：实数与数轴的关系 解题思路 数轴上右边的数大于左边的数；点到原点的距离等于数的绝对值；结合数轴判断字母正负，再化简代数式。 题型5：实数的混合运算 解题思路 先辨运算类型（乘方、开方、乘除、加减），遵循运算顺序；注意零指数幂、负整数指数幂的规则。 题型6：科学记数法与近似数 解题思路 大于 10 的数：n = 整数位数 减去1； 小于 1 的数：n 为负整数，绝对值 = 第一个非零数字前 0 的个数； 近似数：明确精确位数和有效数字，按要求四舍五入。 三、易错警示 混淆平方根与算术平方根 错误：根号=±3（正确：根号 =3，9 的平方根是 ±3）； 提醒：算术平方根只有 1 个非负值，平方根有 2 个（互为相反数）。 绝对值化简错误（含字母） 错误：若 a<0，则 | a|=a（正确：|a|=-a）； 提醒：先判断字母正负，负数的绝对值是它的相反数。 无理数识别误区 错误：认为根号、3.1415926 是无理数； 提醒：根号=3 是整数，3.1415926 是有限小数，均为有理数；无理数需满足 “无限且不循环”。 运算符号错误 错误： =4（正确： ）； 提醒：分清底数的正负性。 科学记数法指数错误 错误：0.000021=21×10-6 （正确：2.1×10 -5 次方）； 提醒：a 需满足 1≤|a|<10，n 的绝对值对应 0 的个数 / 整数位数。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·湖南模拟）在，，，，，各数中，负数的个数是（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 2.（24-25·安徽模拟）年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 3.（24-25·四川中考）的相反数是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·北京中考）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 5.（24-25·河北模拟）下列各组数中，相等的一组是（    ） A.与 B.与 C.与 D.与 6.（24-25·天津模拟）计算的结果等于（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 8.（24-25·安徽中考）下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 9.（24-25·湖南中考）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走米记作米，那么向西走米记作（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 10.（24-25·吉林模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，则数轴上的值最有可能是（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·甘肃模拟）下列化简，正确的是（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·江西模拟）如图，数轴上点，，分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ） A. B. C. D. 13.（22-23·辽宁中考）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（      ）． A.个 B.个 C.个 D.个 14.（24-25·达州模拟）若，为实数，且，则的值为（   ） A. B. C. D. 15.（24-25·重庆模拟）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入，，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入，，，，则最后输出的结果是； ②若将，，这个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，，，全部输入完毕后显示的最后结果为．若的最大值为，则的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A. B. C. D. （2） 填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·上海模拟）年月日是第个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在公顷以上．将数据用科学记数法表示为_____________． 17.（25-26·青海模拟）的倒数是_____________；____________． 18.（24-25·重庆中考）若实数，同时满足，，则的值为_______________． 19. （24-25·四川中考）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则__________．（填“”“”或“<”） 20.（25-26·湖南模拟）圆周率精确到，_____________；精确到万分位，_______________． 21.（25-26·江苏模拟）若有平方根，则实数的取值范围是_______． 22.（23-24·甘肃中考）定义一种新运算*，规定运算法则为：，均为整数，且．例：则       ． 23.（23-24·山东中考）计算：_____________ 24.（23-24·天津模拟）有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么____________ ． 25.（24-25·江西模拟）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为_________． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·江苏模拟）计算：． 27.（25-26·全国同步）计算：． 28.（24-25·河北中考）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 计算： 29.（24-25·江苏模拟）定义，求的值．为整数 30.（23-24·江苏模拟）如图，在数轴上，点，分别表示数，． （1）的取值范围是______． （2）若点表示的数为，且点在线段上，求的取值范围． 31.（25-26·辽宁月考）如图，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移个单位长度，点向左平移个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图． （1）第_____次按键后，点 正好到达原点； （2）第次按键后，点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大多少？ （3）第次按键后，点，到达的点表示的数互为相反数，求的值． 32.（25-26·江苏期中）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 33.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． （1）已知两点，则_____； （2）已知点在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； （3）已知两点，如果直线上存在点，使得，请直接写出点的坐标． 34.（23-24·江苏模拟）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）【综合运用】填空：、两点间的距离_________，线段的中点表示的数为________； （2）当为何值时，？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 35.（24-25·江苏模拟）数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为________；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离_______（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离______（用含有的代数式表示）；________时，、两点相遇； （2）当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第1课时 实数 一、核心知识 1.实数的概念及分 概念： 有理数和无理数统称为实数； 分类： 按定义分：实数 按性质分：实数 2.数轴 概念： 规定了______原点______、______正方向______和______单位长度______的直线叫做数轴； 实数与数轴上的点是______一一对应______的关系。 3.相反数： 概念： 只有______符号______不同的两个数互为相反数，零的相反数是______0______；性质： 若 a、b 互为相反数，则______a+b=0______，反之亦然； 几何意义： 数轴上表示互为相反数的两个点关于______原点______对称。 4.倒数 概念： 乘积为______1______的两个数互为倒数，____0__没有倒数； 性质： 若 a、b 互为倒数，则____ab=1 ，反之亦然。 5.绝对值 概念： 数轴上表示数 a 的点到______原点______的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|；代数意义： 正数的绝对值是 它本身 ，0 的绝对值是 0 ，负数的绝对值是 它的相反数 ； 性质： 非负性： |a|≥0 ，|a|=|-a|。 6.平方根、算术平方根与立方根 平方根： 若 x2 = a（a≥0），则 x 叫做 a 的 平方根 ，记作 ± ； 性质： 正数有______两个______平方根，它们互为______相反数______，0 的平方根是 0 ，负数______没有______平方根； 算术平方根： 正数 a 的正的平方根叫做 a 的 算术平方根 ，记作 ； 算术平方根具有 双重非负性 （即 ≥0，且 a≥0 ）； 立方根： 若 x3 = a，则 x 叫做 a 的 立方根 ，记作； 性质： 正数的立方根是______正数______，负数的立方根是______负数______，0 的立方根是______0______。 7.实数的运算 基本运算： 加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序：先算______乘方、开方______，再算______乘除______，最后算______加减______；有括号的先算______括号内______的；同级运算从______左到右______依次进行； 运算律： 加法交换律 符号表示： a+b=b+a ； 加法结合律 符号表示： (a+b)+c=a+(b+c) ； 乘法交换律 符号表示： ab=ba ； 乘法结合律 符号表示： (ab) c=a (bc) ； 乘法分配律 符号表示： a (b+c)=ab+ac 。 8.科学记数法与近似数 科学记数法： 把一个数表示成______a×10 n _____的形式（其中 1≤|a|<10，n 是整数）； 近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位；从左边第一个______非零______数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。 二、核心能力 题型1：实数的分类与无理数识别 解题思路 紧扣 “无理数是无限不循环小数”，排除有理数（有限小数、循环小数、整数、分数）；注意 “带根号的数不一定是无理数”。 题型2：相反数、倒数、绝对值的计算 解题思路 相反数：改变数的符号（a 的相反数是 - a）； 倒数：非零数 a 的倒数是 1/a（符号与原数一致）； 绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简（负数的绝对值是它的相反数）。 题型3：平方根、算术平方根与立方根的运算 解题思路 算术平方根：根号 a≥0，a≥0，结果是非负数； 平方根：± 根号 a（a≥0），结果有两个，互为相反数； 立方根：三次根号 a 与 a 符号一致，任何实数都有唯一立方根。 题型4：实数与数轴的关系 解题思路 数轴上右边的数大于左边的数；点到原点的距离等于数的绝对值；结合数轴判断字母正负，再化简代数式。 题型5：实数的混合运算 解题思路 先辨运算类型（乘方、开方、乘除、加减），遵循运算顺序；注意零指数幂、负整数指数幂的规则。 题型6：科学记数法与近似数 解题思路 大于 10 的数：n = 整数位数 减去1； 小于 1 的数：n 为负整数，绝对值 = 第一个非零数字前 0 的个数； 近似数：明确精确位数和有效数字，按要求四舍五入。 三、易错警示 混淆平方根与算术平方根 错误：根号=±3（正确：根号 =3，9 的平方根是 ±3）； 提醒：算术平方根只有 1 个非负值，平方根有 2 个（互为相反数）。 绝对值化简错误（含字母） 错误：若 a<0，则 | a|=a（正确：|a|=-a）； 提醒：先判断字母正负，负数的绝对值是它的相反数。 无理数识别误区 错误：认为根号、3.1415926 是无理数； 提醒：根号=3 是整数，3.1415926 是有限小数，均为有理数；无理数需满足 “无限且不循环”。 运算符号错误 错误： =4（正确： ）； 提醒：分清底数的正负性。 科学记数法指数错误 错误：0.000021=21×10-6 （正确：2.1×10 -5 次方）； 提醒：a 需满足 1≤|a|<10，n 的绝对值对应 0 的个数 / 整数位数。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·湖南模拟）在，，，，，各数中，负数的个数是（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【解答】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为个， 故选：． 2.（24-25·安徽模拟）年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题的关键． 根据绝对值小于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定，即可求解． 【解答】解： ， 故选：．  3.（24-25·四川中考）的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【解答】解：的相反数为， 故选：． 4.（24-25·北京中考）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【解答】解：由数轴得，，且 ，， 故，，均错误，不符合题意，正确，符合题意， 故选：． 5.（24-25·河北模拟）下列各组数中，相等的一组是（    ） A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】C 【解析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：、，，两者不相等，故不符合题意； 、，，结果不同，故不符合题意； 、，，结果相等，故符合题意； 、，，数值不同，故不符合题意； 故选：． 6.（24-25·天津模拟）计算的结果等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【解答】解：， 故选：． 7.（24-25·四川中考）若，则的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【解答】解：， ， ，得：， 的平方根是； 故选：．   8.（24-25·安徽中考）下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【解答】解；、，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算正确，符合题意； 、，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算错误，不符合题意； 故选；． 9.（24-25·湖南中考）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走米记作米，那么向西走米记作（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】A 【解析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解． 【解答】解：将向东走米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走米应记作米． 故选：．  10.（24-25·吉林模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，则数轴上的值最有可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了数轴，根据数轴上的值在刻度尺的和之间，得出数轴上的值的取值范围，即可求解． 【解答】解：数轴上的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上的值的取值范围是， ，，， 故数轴上的值最有可能是． 故选：． 11.（24-25·甘肃模拟）下列化简，正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查多重负号的化简，解题的关键是熟练掌握规则：一个数前面的负号表示取相反数；多重负号时，每两个负号相互抵消，但需根据负号的个数判断最终符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正．直接计算每个选项即可判断． 【解答】解：．，故错误； ． ，故错误； ．，故错误； ．，故正确． 故选：． 12.（24-25·江西模拟）如图，数轴上点，，分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键． 数轴上点，，分别表示数，则、，由可得原点在、之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可． 【解答】解：数轴上点，，分别表示数, 、， ， 原点在，之间，由它们的位置可得，且， ，，， 故运算结果一定是正数的是． 故选：． 13.（22-23·辽宁中考）有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（      ）． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【解答】解：①；故①错误；②；故②错误； ③；故③正确； ④；故④正确； 故选：． 14.（24-25·达州模拟）若，为实数，且，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意得：， 解得， ， 故选：． 15.（24-25·重庆模拟）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入，，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入，，，，则最后输出的结果是； ②若将，，这个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，，，全部输入完毕后显示的最后结果为．若的最大值为，则的最小值为． 其中正确的个数有（    ）个 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了绝对值，绝对值方程．理解题意并分情况求解是解题的关键． 依次输入，，，，运算结果依次为，，，即最后输出的结果是，可判断①的正误；将，，这个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为或，第三次输入为时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，可判断②的正误；令为最大的正整数，当时，的最大值为，可求满足要求的解，此时的最小值为；当时，的最大值为，可求满足要求的解为，此时的最小值为；综上所述，的最小值为，进而可判断③的正误． 【解答】解：依次输入，，，，运算结果依次为，，，最后输出的结果是，①正确，故符合要求； 将，，这个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为或，第三次输入为时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为，②正确，故符合要求； 令为最大的正整数，当时，的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时的最小值为； 当时，的最大值为， 解得，或（舍去）， 此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， ③正确，故符合要求； 故选：． （2） 填空题（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·上海模拟）年月日是第个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在公顷以上．将数据用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【解答】解：； 故答案为：． 17.（25-26·青海模拟）的倒数是_______________；_______2_________． 【答案】, 【解析】此题暂无解析 【解答】此题考查了倒数的定义和有理数的减法法则，是一道基础性的题目，要细心计算．根据倒数的定义及有理数的减法法则求解即可． 解：的倒数是； ． 故答案为；2 18.（24-25·重庆中考）若实数，同时满足，，则的值为________________． 【答案】 【解析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：，， ，， ， ， 当时，方程无解， 当时，， ， ， ； 故答案为：． 19. （24-25·四川中考）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则____<________．（填“”“”或“<”） 【答案】< 【解析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【解答】解：观察数轴，得，且， 即， 故答案为：<． 20.（25-26·湖南模拟）圆周率精确到，________________；精确到万分位，_________________． 【答案】, 【解析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第位为进行四舍五入求解即可． 【解答】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 21.（25-26·江苏模拟）若有平方根，则实数的取值范围是________． 【答案】． 【解析】根据平方根的定义列出不等式计算即可． 【解答】根据题意，得 解得： 故答案为 22.（23-24·甘肃中考）定义一种新运算*，规定运算法则为：，均为整数，且．例：则      8   ． 【答案】 【解析】根据定义，得解得即可． 【解答】根据定义，得． 23.（23-24·山东中考）计算：____1_________ 【答案】 【解析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 【解答】解：原式， ． 故答案为： 24.（23-24·天津模拟）有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么_____________ ． 【答案】 【解析】由得到当，时，利用，得到，，，，然后根据此规律得到． 【解答】解： (其中，，)， ， (此时，，)， ， (此时，，)， ， ， ， ． 故答案为．   25.（24-25·江西模拟）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为______8______． 【答案】 【解析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识是关键． 根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【解答】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8 （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·江苏模拟）计算：． 【答案】 【解析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【解答】 解：原式 ． 27.（25-26·全国同步）计算：． 【答案】 【解析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【解答】 解： 28.（24-25·河北中考）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 计算： 【答案】原计算第一步开始出错；； 【解析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； 第一步计算分配律时符号出错； 按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【解答】解：原计算第一步开始出错； ； 29.（24-25·江苏模拟）定义，求的值．为整数 【答案】 【解析】本题考查了分式的混合运算、立方根的应用、数字类变化规律，先根据分式的混合运算法则得出，由此代数数值计算即可得出答案． 【解答】解： ， ． 30.（23-24·江苏模拟）如图，在数轴上，点，分别表示数，． （1）的取值范围是______． （2）若点表示的数为，且点在线段上，求的取值范围． 【答案】 【解析】（1）根据点在点 的右侧，据此列出不等式求解即可； （2）利用的结果可判断的位置，并列出不等式组求解即可． 【解答】（1）解：根据题意得：，解得． （2）解：表示的数为，且点在线段上， ，解得：． 31.（25-26·辽宁月考）如图，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移个单位长度，点向左平移个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图． （1）第___3___次按键后，点 正好到达原点； （2）第次按键后，点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大多少？ （3）第次按键后，点，到达的点表示的数互为相反数，求的值． 【答案】 【解析】（1）设进行次按键，由题意得，点表示的数是，因为点正好到达原点，所以，解得的值，即得第几次按键后，点正好到达原点； （2）第次按键后，点表示的数为，点表示的数为，可得点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大多少； （3）由题意得，点表示的数是，点表示的数是，因为点，到达的点表示的数互为相反数，所以，可解得的值． 【解答】（1）解：设进行次按键， 由题意得，点表示的数是， 点正好到达原点， ， 解得： ，第次按键后，点正好到达原点， 故答案为：； （2）解：第次按键后，点表示的数为，点表示的数为， ， 第次按键后，点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大； （3）解：由题意得，第次按键后，点表示的数是，点表示的数是， 点，到达的点表示的数互为相反数， ， 解得：． 32.（25-26·江苏期中）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】 用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【解析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【解答】（1）解：设，其中， ， ， 比较小，将忽略不计， ， ， ； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ，， ， 用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 33.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． （1）已知两点，则___5___； （2）已知点在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； （3）已知两点，如果直线上存在点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】 点的坐标为或 【解析】（1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【解答】（1）解：， 故答案为5 （2）点在反比例函数第一象限的图像上， 设点的坐标为，且． ， ， 即， 即， ． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为， ， ①当时，， ， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ， 解得， ； ③当时，， ， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或．  34.（23-24·江苏模拟）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． （1）【综合运用】填空：、两点间的距离___12_______，线段的中点表示的数为____4______； （2）当为何值时，？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】，； 当或时，； 不发生变化，． 【解析】（1）根据，两点之间的距离，线段的中点表示的数为进行求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）先利用中点公式求出点和点表示的数，再用数轴上两点间的距离公式求解即可． 【解答】（1）解：由题意得：，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 解得：或， 当或时，； （3）解：不发生变化，； 点为的中点，点为的中点，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， ． 35.（24-25·江苏模拟）数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为___19______；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离_________（用含有的代数式表示）；_________时，、两点相遇； （2）当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 【答案】，，， 或 【解析】（1）当时，点表示的数是，点表示的数是，即可求出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意可得时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点表示的数为，进而即可求出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【解答】 （1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， 、两点在折线数轴上的和谐距离． 由题意可知，秒时点运动到点，点运动到点，秒时点运动到点， 时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点表示的数为， ，两点间的和谐距离， 两点间的和谐距离． 、都相遇时，两点表示的数相同， ， 解得． 答案为：；；；． （2）解：由知，时点运动到点，点运动到点， 当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为个单位/秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $