2026年中考数学一轮复习知识点训练营——根的判别式及其应用

2026年中考数学一轮复习知识点训练营——根的判别式及其应用 一、选择题 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 二、填空题 6．已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为　 　． 7．若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第　 　象限． 8．若一元二次方程的根的判别式的值为8，则　 　． 9．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 　 　．（只需填写序号） 10．对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　． 三、解答题 11．关于x的一元二次方程 （1）当时，求这个方程的根； （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根． 12．若方程没有实数根，试判定方程的根的情况． 13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 14．已知关于x的方程x2+ax+16=0， （1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值 （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根 15．已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 该方程是一元二次方程， ， 的取值范围是且，故D正确． 故选D． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案. 2．【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式 3．【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限， ∴， 当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程， ∵b2-4ac=4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根； 当a=0时， 方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，. 因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。 故答案为： 1或2 . 【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。 4．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m， ∴ ∵m﹣2n＝3 ∴△=9-4=5>0 因此有两个不相等的实数根 故答案为：C. 【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3 代入即可. 6．【答案】或 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论 【解析】【解答】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y， ∴， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为；或． 【分析】分类讨论：①当腰长为4时，②当底边长为4时，再求出方程的根，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系判断是否能构成三角形，最后利用三角形的周长公式求解即可. 7．【答案】一 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0， 解得：m＜﹣1． ∵一次函数y＝（m+1）x+m﹣1中，k＝m+1＜0，b＝m﹣1＜0， ∴该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【分析】根据一元二次方程无实根，则判别式，解不等式可得 m＜﹣1 ，再根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案. 8．【答案】2 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据判别式建立方程，解方程即可求出答案. 9．【答案】①②④ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；真命题与假命题 【解析】【解答】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 【分析】根据题意得，代入方程得到根的判别式，判断①；根据根于系数的关系得到，判断②；根据，求出方程的判别式：判断③；把x=r代入得，把x=代入化简判断④． 10．【答案】 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：， ， ， 关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据新定义的运算法则，得到方程，即可得到，求出k值即可． 11．【答案】（1） （2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 12．【答案】方程有2个或1个实数根 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 13．【答案】（1），且； （2），． 【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 14．【答案】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根， ∴a2－4×1×16=0， 解得a=8或﹣8； （2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2， ∴22+2a+16=0，解得a=﹣10； 此时方程为x2﹣10x+16=0， 解得x1=2，x2=8； ∴a=﹣10，方程的另一个根为8． 故答案为：（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可； （2）将x=2代入 x2+ax+16=0，求出a的值可得x2﹣10x+16=0，再利用十字相乘法求解一元二次方程即可. 15．【答案】（1）解：∵平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且， ∴， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， ∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：， ∴， 解得：， ，即菱形的边长为4， ∴当时，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质 【解析】【分析】（1）将代入原方程并解之即可； （2）根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列出关于的一元二次方程并解之即可得出的值，将其代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． （1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5， ∴把代入，得 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $