精品解析：四川省宜宾市第二中学校2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题

宜宾市二中2025年秋期八年级第二次定时作业数学试卷 （考试时间：120分钟，总分150分） 一．选择题（本大题共12个小题，每题4分，共48分） 1. 在，，，，这四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是整数，属于有理数； 、是分数，属于有理数； 、是有限小数，属于有理数； 、，是无限不循环小数，属于无理数； 故选：． 2. 下列计算正确是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的运算，积的乘方，掌握好相关知识是关键． 根据整式的加法和乘法运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A：，但右边为，故A错误； B：，但右边为，故B错误； C：，但右边为，故C错误； D：，右边为，故D正确． 故选：D． 3. 下列说法错误的是（ ）． A. 是4的平方根 B. 的算术平方根是 C. 的算术平方根是 D. 7是的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 4. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的几何推导，解题关键是正确理解题意． 分别表示出两个图形的阴影部分的面积，通过面积相等得到等式，即可得出选项． 【详解】解 ：由图①得：阴影部分面积， 由图②得：阴影部分面积， 即有． 故选：． 6. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）． A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题证明与举反例，掌握好相关知识是关键． 反例需满足条件 但 ，逐个判断即可． 【详解】解：命题“若，则”是假命题的反例需满足条件 但 ． 对于A，，且，满足题意，故A正确； 对于B，，但，不满足题意，故B错误； 对于C，，，不满足题意，故C错误； 对于D，，，不满足题意，故D错误． 故选：A． 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 设实数满足，若，则的值为（ ） A B. 14 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 9. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A. 5cm B. 4cm C. D. 15cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较． 【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和．连接，相交于点，与相交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG=CG．设OG=PG=CG=x，则EG=2x，FG=x，由勾股定理得出BC2=（4+2）x2，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH=45°，∠FGH=90°， ∵OG=GP， ∴∠GOP=∠OPG=67.5°， ∴∠PBG=22.5°， 又∵∠DBC=45°， ∴∠GBC=22.5°， ∴∠PBG=∠GBC， ∵∠BGP=∠BGC=90°，BG=BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG=CG． 设OG=PG=CG=x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG=2x，FG=x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF=CG=x， ∴BG=x+x， ∴BC2=BG2+CG2=x2(+1)2+x2=(4+2)x2， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 11. （n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n． 【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20， 当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21， 当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22， ••• 当n=9时，展开式的项系数和为=29=512， 故选：C． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 12. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：，故①错误； 平分， 到，的距离相等， ，故②正确； ，平分， 垂直平分 (三线合一)，故③正确； 与外角的平分线相交于点， 点到，的距离相等，点到，的距离相等， 点到，的距离相等， 点也位于的平分线上， ， 又， ， ，即，故④正确； 由④得， ， 平分，， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，②③④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 15. 某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养，放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼．则估算放入的鱼共_____条． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查利用样本估计总体，解分式方程，掌握好相关的计算公式是解题关键． 通过样本中鲤鱼的比例估算整体比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设放入的鱼共x条，则放入后总鱼数为条，总鲤鱼数为条． 根据样本比例等于整体比例，得方程：， 两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得，． 经检验，是原方程的解． 故答案为：100． 16. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得 ，即得，然后将代入到代数式 中的高次项降幂，进而即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，于点D．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据，得到，在中，勾股定理求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 18. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有____．（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及性质，三角形面积的计算方法，掌握角平分线的定义及性质，数形结合思想是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：在中，若，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，， ∴， ∵ ，故③正确； ∵， ∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等， 如图所示，作外角的角平分线，交于点， ∴由角平分线的性质定理可得， 同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等， ∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 三．解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． （3）计算：． （4）计算：． 【答案】 （1）4． （2）． （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项即可； （4）将乘以值为1的，再多次利用平方差公式计算即可； 本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，平方差公式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，6 【解析】 【分析】先用完全平方公式和平方差公式展开计算括号里的式子，再计算多项式除以单项式化简，然后代入具体数值计算即可；本题主要考查了化简求值，整式的四则混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ，时， 原式 ． 21. 如图，四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质得，由垂直得，进而由判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 我校对八年级学生的学习态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生； （2）通过计算达到级的有多少人？并补全条形图． （3）根据抽样调查结果，请你估计我市近名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标指的是学习兴趣达到级和级）? 【答案】（1）名 （2）人，补图见解析 （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题关键． （1）用级的人数除以其百分比即可求解； （2）用调查的学生人数减去级和级的人数可求出级的人数，进而补全条形图即可； （3）用乘以学习态度达标的人数占比即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴此次抽样调查中，共调查了名学生； 【小问2详解】 解：∵ ∴达到级的有人， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我市近名八年级学生中大约有名学生学习态度达标． 23. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】（1）见解析 （2）新路比原路少千米 （3）见解析， 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； 【小问2详解】 设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 25. 【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，且．若，则的值为_____； 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中米，，平分交于点．现分别在、上各取一点、，且满足，计划沿、修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 【答案】（1）6；（2）25；（3）140000元 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的与性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，则可求出的周长为，即可求解； （3）根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，以C为顶点，在下方作，在上截取，连接，则，，，可得是等边三角形，则，证明，得出，则，故当A、Q、E共线时，取最小值为，然后根据每米的造价乘以轨道的长度即可求出总费用． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； （2）∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴，， ∴的周长为， 又， ∴周长为25； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 以C为顶点，在下方作，在上截取，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、Q、E共线时，取最小值为， ∴修建这两条轨道总费用的最小值为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2025年秋期八年级第二次定时作业数学试卷 （考试时间：120分钟，总分150分） 一．选择题（本大题共12个小题，每题4分，共48分） 1. 在，，，，这四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ）． A. 是4平方根 B. 的算术平方根是 C. 的算术平方根是 D. 7是的算术平方根 4. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（ ） A. B. C D. 6. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）． A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 设实数满足，若，则的值为（ ） A. B. 14 C. D. 6 9. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A. 5cm B. 4cm C. D. 15cm 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和．连接，相交于点，与相交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. （n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： … 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 12. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 的平方根是_______． 14. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 15. 某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养，放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼．则估算放入的鱼共_____条． 16. 若，则的值为______． 17. 如图，在中，，于点D．若，，则的长为__________． 18. 如图，在中，和平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有3个．正确的有____．（只填写序号） 三．解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）因式分解：． （3）计算：． （4）计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 我校对八年级学生的学习态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生； （2）通过计算达到级的有多少人？并补全条形图． （3）根据抽样调查结果，请你估计我市近名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标指的是学习兴趣达到级和级）? 23. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 25. 问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，且．若，则的值为_____； 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中米，，平分交于点．现分别在、上各取一点、，且满足，计划沿、修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $