精品解析：湖南省怀化市七县八校2025-2026学年上学期“新课标新中考”调研监测 八年级 数学

2025年下学期“新课标新中考”调研监测 八年级 数学 （满分：120分 考试时量：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 代数式 ，，，，，中，属于分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B、C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 【详解】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是从左边到右边为整式乘法，不合题意； B．是从左边到右边为因式分解，满足题意； C．，故该选项不合题意； D．，故该选项不合题意． 故选：B． 4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A. 2m B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， ， ∴， 在中， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 5. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根和平方根，算术平方根为非负数，平方根有两个值，需注意区分，先计算出的值，再求这个值的平方根即可． 【详解】解：， 又4 的平方根是 ， 的平方根是 ， 故选A． 6. 如图，是的角平分线，，交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义， 先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 在中，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 7. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，根据同底数幂的除法，幂的乘方的法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 9. 若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为0的值）．通过通分将原方程转化为整式方程，分析不同a值对应的解是否为增根或方程是否矛盾． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得． 展开整理为． 解得 ()． 分析无解条件： 当： 方程变为，即， 矛盾，方程无解． 当：解为． 若此解使分母为0（即或），则原方程无解． 若， 则． 解得． 若， 则． 解得． 综上，a可取②③④． 应选项：B． 10. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断①；由不一定等于，即可判断②；由对称的性质得，根据全等三角形的性质即可判断③；如图，过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断④；综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故②错误， ∵与关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 同理可得：， 由轴对称性质可知：， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①③④． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键； 使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【详解】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 12. 在中，，，为边上一点，．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形；作于点，则点是的中点，在外作，则，作，，从而证明，结合全等三角形的性质及解直角三角形，可得出答案． 【详解】解：作于点，则点是的中点， 在外作，则， 作，，则（角平分线的性质）， 在和中，， ， 所以． 又因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 13. 已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是___________．（用含代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为． 15. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算；通过观察表达式结构，设，将原表达式用表示，利用整式乘法展开并合并同类项，从而简化计算． 【详解】解：设，， ∴原式 ． ∴原式． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加正确的辅助线，构造全等三角形解决问题． 在的下方作等边，证明得，当时，的值最小，求值即可． 【详解】解：如图，在的下方作等边， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵T是定点，是定值， ∴点Q在射线上运动， 当时，的值最小， 最小值为， 故答案：1． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含乘方的实数混合运算，负指数幂，立方根，算术平方根，分式化简，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则． （1）先算乘方、绝对值、立方根和算术平方根，再算加减即可； （2）先对各项因式分解，约分，去括号，再约分，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，将分式方程先转化为整式方程，解整式方程求出方程的解，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，将分式方程先转化为整式方程，解整式方程求出方程的解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 即， 解得， 经检验，是原分式方程解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得， 解得：． 检验：代入． 是增根，原方程无解． 19. 如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【小问1详解】 证明：平分， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 会同一中初一、初二共1320名学生需租用客车到堡子“稻梦小镇”参加研学活动，某汽车租赁公司提供、两种适配客车，其中每辆型客车比每辆型客车的乘客座位数多10%． （1）若每辆客车均坐满，则单独租用型客车比单独租用型客车的数量少3辆，求每辆型客车和每辆型客车的乘客座位数； （2）由于其他原因，现只有若干学生去参加研学活动，学校决定租用型客车，要求每辆汽车乘坐的学生人数相等（可以坐不满），如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分到各辆汽车上，求有多少学生去参加研学活动． 【答案】（1）每辆型客车的乘客座位数为44人，每辆型客车的乘客座位数为40人 （2）有961名学生去参加研学活动 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和列代数式解决坐车问题． （1）设每辆型客车的乘客座位数为，依据“单独租用型客车比单独租用型客车的数量少3辆” 列方程求解即可； （2）设有辆型客车，则学生有人，依据“如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分到各辆汽车上”求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆型客车的乘客座位数为，则每辆型客车的乘客座位数为 由题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴（人）， 所以每辆型客车的乘客座位数为44人，每辆型客车的乘客座位数为40人． 【小问2详解】 解： 设有辆型客车，则学生有人， 由题意可知与都是正整数， 则， 即或， 当时，每辆型客车乘坐学生61人，而每辆型客车的乘客座位数为40人， 不满足题意； 当时，每辆型客车乘坐学生31人，此时， 所以学生人数为（人）． 答：有961名学生去参加研学活动． 21. 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 【答案】（1）是 （2）； （3） 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴是整式的一个因式； 【小问2详解】 当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 22. 如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． （1）证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】（1）证明见解析，点C到铁路的距离为； （2）会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【小问1详解】 证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 23. 如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． （1）_____．（用含α的式子表示）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在M点运动过程中，值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）等腰三角形，理由见解析 （3）是； 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出； （2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可； （3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问3详解】 解：作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 24. （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，在△中，，边有两点、，使得，，求证： （3）在（2）的条件下，若，求出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，利用证明即可； （2）先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明，即可得到，，然后根据勾股定理的逆定理求出，求出，然后作于点M，设 ，根据勾股定理表示出和证明即可； （3）根据（2）的解答得到，求出x的值，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴， 又 ， ∴． （2）证明：∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， 作于点M，设 ， ∵ ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴ ， ∴； （3）由（2）可知， ∴解得，即， 在中，， ∴， 由勾股定理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期“新课标新中考”调研监测 八年级 数学 （满分：120分 考试时量：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 代数式 ，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列计算正确是（ ） A B. C. D. 3. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ） A. 2m B. C. D. 5. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，，交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④ D. ①②④ 10. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 12. 在中，，，为边上一点，．则的值为______． 13. 已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 14. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是___________．（用含代数式表示） 15. 计算的结果为______． 16. 如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值___________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） ； （2） 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，于点，，平分交于点延长线交于点．求证： （1）； （2）； （3）． 20. 会同一中初一、初二共1320名学生需租用客车到堡子“稻梦小镇”参加研学活动，某汽车租赁公司提供、两种适配客车，其中每辆型客车比每辆型客车的乘客座位数多10%． （1）若每辆客车均坐满，则单独租用型客车比单独租用型客车的数量少3辆，求每辆型客车和每辆型客车的乘客座位数； （2）由于其他原因，现只有若干学生去参加研学活动，学校决定租用型客车，要求每辆汽车乘坐的学生人数相等（可以坐不满），如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分到各辆汽车上，求有多少学生去参加研学活动． 21. 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 22. 如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． （1）证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 23. 如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． （1）_____．（用含α的式子表示）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 24. （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，在△中，，边有两点、，使得，，求证： （3）在（2）的条件下，若，求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $