精品解析：重庆市巴南区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年下期阶段性检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某地两周的气温（单位：）数据为9，10，11，12，13，14，16，16，18，21，21，23，24，25，这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 12 C. D. 13 3. 一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 6. 我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 7. 如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 64 B. 67 C. 70 D. 72 9. 如图，点为正方形上一点，，连接，点为点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接，过点作于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的多项式，其中为正整数，，，…，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有个； ③当时，若，则符合条件的所有整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 12. 某中学为选拔参加区运动会的男子100米短跑项目的运动员，需对甲、乙、丙、丁四名男子短跑运动员进行测试，已知四人10次100米短跑成绩的平均数相同，方差分别为：，，，，则四人中成绩最稳定的是________． 13. 若，且为整数，则_______． 14. 已知，则________． 15. 如图，在平行四边形中，，，．点，分别是边，的中点，连接，，则的长为________；取，的中点，分别记为点，，连接，则的长为________． 16. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：平分， ． 平分， ∴ ． ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，． ，． ，． ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（长度用表示，单位为毫米，分为四组：A：；B：；C：；D：；下面给出部分信息： 剂量组中长度在B区间的数据为：10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中长度的数据为：6，7，7，7，8，12，12，12，13，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由：（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替工人分拣，甲、乙两种型号的机器人的单价分别为5万元/台和3万元/台．已知一台甲种型号的机器人比一台乙种型号的机器人每小时多分拣200件快递；一台甲种型号的机器人工作2小时，一台乙种型号的机器人工作3小时，共完成了4400件快递的分拣． （1）求甲、乙两种型号机器人每小时分拣快递的数量； （2）若该公司计划购买两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件．要使购买机器人的费用最低，应该购买甲、乙两种型号机器人各多少台？ 22. 如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，四边形是某公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的北偏东方向，相距900米，点在点的东北方向，也在点的正东方向，点在点的南偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求，之间的距离（结果保留根号）； （2）若小明沿跑步，小江沿散步，两人同时出发，已知小明跑步的速度为150米/分钟，小江步行的速度为60米/分钟．则小明出发多久后，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍．（结果保留小数点后一位） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； （3）如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在矩形中，点是直线上一个动点，连接． （1）如图1，若平分，，，连接，求的面积； （2）如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． （3）如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期阶段性检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，C，D表示是的函数，不符合题意； 选项B的图象，给一个x值，y可能有2个值与之对应，不能表示y是x的函数，故B符合题意． 2. 某地两周的气温（单位：）数据为9，10，11，12，13，14，16，16，18，21，21，23，24，25，这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 12 C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，先确认数据已按顺序排列，计算第一四分位数的位置，再根据计算规则求出对应数值即可． 【详解】已知数据已经从小到大排列，数据总个数，则前7个数据的中位数是第一四分位数， 即第个数据是第一四分位数，为． 3. 一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将代入一次函数解析式，即可求出对应的y值，得到交点坐标． 【详解】解：将代入得：， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是． 4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，四个角相等的四边形每个内角都为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴A正确； 对角线互相平分的四边形才是平行四边形，∴B错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是菱形，∴D错误． 6. 我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的海伦—秦九韶公式，代入三角形三边长计算即可得到面积，也可结合等腰三角形性质和勾股定理求解． 【详解】解：等腰三角形三边长为 , , ， ， ， 即该等腰三角形的面积为12． 7. 如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 8. 石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 64 B. 67 C. 70 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值，归纳出第n个图形的小棒数量公式，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒，， 第③个图案用了27根小棒，， …… 以此类推，第n个图形需要小木棒的根数是， 所以第⑧个图形需要小木棒的根数是． 9. 如图，点为正方形上一点，，连接，点为点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接，过点作于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，推出，设，求得，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再求得，再利用同高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为点关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 若关于的多项式，其中为正整数，，，…，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有个； ③当时，若，则符合条件的所有整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别对三个说法用赋值法求系数和，分类计数计算符合条件的整式个数，逐一判断即可． 【详解】解：①令， ，， 偶次项系数和，故①正确； ②当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个，故②正确； ③分类计数得： 当时，或或或，共个符合条件的整式； 当时，或或或或，共个符合条件的整式； 当时，或，共个符合条件的整式； 当时，最小系数和为，无符合条件的整式； 总个数为，故③正确； 综上，三个说法都正确，正确的个数为， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度， 根据平移规律可得所得图象的函数表达式为． 12. 某中学为选拔参加区运动会的男子100米短跑项目的运动员，需对甲、乙、丙、丁四名男子短跑运动员进行测试，已知四人10次100米短跑成绩的平均数相同，方差分别为：，，，，则四人中成绩最稳定的是________． 【答案】甲 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 因此甲的方差最小，甲的成绩最稳定． 13. 若，且为整数，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，利用二次根式的估值方法进行计算即可．熟练掌握二次根式的估值计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，分式的求值，利用平方根的含义解方程，利用关系式是解题的关键． 根据，把已知条件代入可得结果． 【详解】解：， 又， ， ． 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，，，．点，分别是边，的中点，连接，，则的长为________；取，的中点，分别记为点，，连接，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，连接交于点，连接，过点作于点，根据平行四边形的性质可推出，进而得到，求出的长，再根据勾股定理可求出的长，根据平行四边形的性质得到，，，推出，，证明得到，，进而得到的值，然后根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出的值，最后再根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点，连接，过点作于点，    在平行四边形中，，，， ， ， ， 又， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 点是的中点，是的中点， ，， ， ，， ，点是的中点， ，， ∴，， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：，． 16. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“双数”的定义，先确定最大的“双数”，再代入计算，再设四位数的千位数字为，百位数字为，根据定义表示出，和，结合条件求的最大值． 【详解】解：是最大的“双数”，“双数”的千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为， 最大的“双数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ； 设的千位数字和百位数字分别为，， 是“双数”， 的十位数字和个位数字分别为，， ， 的逆序数， ， ， 为整数， 是完全平方数， 是的倍数， 由题意得，，，，， ，， ， 最大值为，即， ，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ， 解得， 此时， 的最大值为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：平分， ． 平分， ∴ ． ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，． ，． ，． ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）解：所求图形如图所示； （2）；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义和平行四边形的性质得出，，得出，，根据平行四边形的性质得到，进而，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ． 平分， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，，． ，． ，． ，． ． ． ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子即可得到最终结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式 ． 20. 【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（长度用表示，单位为毫米，分为四组：A：；B：；C：；D：；下面给出部分信息： 剂量组中长度在B区间的数据为：10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中长度的数据为：6，7，7，7，8，12，12，12，13，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由：（写出一条理由即可） （3）若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】（1）12，13，15 （2）剂量更适合豚鼠牙齿的生长．理由：剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（）大于剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（）． （3）估计大概有675只豚鼠需要加大剂量投喂． 【解析】 【分析】（1）计算剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，再根据中位数的定义可得a；根据众数的定义可得b；根据剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于1，可得m； （2）比较平均数的大小即可； （3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在A区间所占的比例，再相加即可． 【小问1详解】 解：（只），， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度在B区间的有9只，A区间有（只），D区间有（只），C区间有（只）， ∴剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第10只和第11只的牙齿长度分别为B区间的第4个和第5个数据， ∴中位数， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为13， ∴众数， ，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（只）． ∴估计大概有675只豚鼠需要加大剂量投喂． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替工人分拣，甲、乙两种型号的机器人的单价分别为5万元/台和3万元/台．已知一台甲种型号的机器人比一台乙种型号的机器人每小时多分拣200件快递；一台甲种型号的机器人工作2小时，一台乙种型号的机器人工作3小时，共完成了4400件快递的分拣． （1）求甲、乙两种型号机器人每小时分拣快递的数量； （2）若该公司计划购买两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件．要使购买机器人的费用最低，应该购买甲、乙两种型号机器人各多少台？ 【答案】（1）甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 【解析】 【分析】（1）设未知数表示甲、乙两种机器人每小时的分拣量，根据给定总分拣量的条件列一元一次方程，求解即可得到结果； （2）设购买甲种机器人的数量，根据总分拣量的要求得到自变量的取值范围，再写出总费用关于购买数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出费用最低时的购买方案． 【小问1详解】 解：设乙种型号机器人每小时分拣件快递，则甲种型号机器人每小时分拣件快递． 根据题意得， 解得． 则（件）． 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； 【小问2详解】 解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元． 根据题意得， 解得． 总费用． ， 随的增大而增大． 又为非负整数，且， 取最小值时，最小． 此时（台）． 答：要使购买费用最低，应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 22. 如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）解：函数的图象如图所示； 由图象可得，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出．分两种情况：点P在上时；点P在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）求出两个函数图象交点坐标，结合函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴在中，． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 综上所述，关于的函数表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 解方程组，得． 当时， 解方程组，得． ∴函数与函数的图象交点为，， 由图象可得，时的取值范围为． 23. 如图，四边形是某公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的北偏东方向，相距900米，点在点的东北方向，也在点的正东方向，点在点的南偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求，之间的距离（结果保留根号）； （2）若小明沿跑步，小江沿散步，两人同时出发，已知小明跑步的速度为150米/分钟，小江步行的速度为60米/分钟．则小明出发多久后，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）分钟 【解析】 【分析】（1）过点B作于点M，由题意求出，，从而得到米，证明得到米，根据勾股定理求出即可解答； （2）根据各个方位角与角的和差得到，得出是等边三角形，求得米．设两人出发x分钟，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍，据此列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点M，则， 由题意可得，，，米， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：，之间的距离为米． 【小问2详解】 解：由（1）得，米， ∴在中，（米）， ∴（米）． 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴米． 设两人出发x分钟， 则小江到点的距离为米，小明到点的距离为米， 当小江到点的距离是小明到点的距离的两倍时， ， 解得， 答：小明出发分钟时，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； （3）如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入函数，求出点E的坐标，再将点E的坐标代入直线，求解即可； （2）先求出点A，B，C，D的坐标，得到的长，根据求出的面积，设，其中，根据表示出的面积，根据列出方程，求出点P的坐标．作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）由点A，C，D的坐标可得出，都是等腰直角三角形，因此．过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接，证明，得到，因此点Q是直线与直线的交点，待定系数法求出直线的解析式，联立直线与直线解析式，求出点Q的坐标．另外当点Q与点E重合时，也满足条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线过点E，点E的横坐标为， 把代入函数，得， ． ∵直线过点， ， ， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． 对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． ∵，， ． ∴． 点在射线上， 设，其中， ∴． ， ，解得 ∴． ∵，， ∴点、点关于轴对称． ∵直线过点且垂直于轴， 直线． 作点关于直线的对称点， 连接， ∵点A与点C关于x轴对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴， 即的最小值为的长． 的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q是直线与直线的交点． ∵，轴，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组，得， ∴． 当点Q与点E重合时，即，满足． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 25. 在矩形中，点是直线上一个动点，连接． （1）如图1，若平分，，，连接，求的面积； （2）如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． （3）如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）6 （2）证明：如图：过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质、等腰三角形的判定与性质可得，即；再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图：过A作交于M点，证明可得，，再根据旋转的性质、三角形外角的性质、等角对等边以及等量代换可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）如图：取的中点F，连接，即，过Q作垂直于直线于G，即，证明可得，如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上，易得当共线时，有最小值；再求得直线的解析式为，易得；如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到，求得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵矩形，，， ∴， 如图：取的中点F，连接，即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 如图：过Q作垂直于直线于G，即， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上， ，作C关于直线l的对称点，连接交直线l于，连接， ∴ ∴当共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， 如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到， 同理可证：∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $