精品解析：青海省格尔木市2025-2026学年九年级上学期期末教学质量评估数学试卷

2025年秋季学期九年级教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. “水中捞月”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“水中捞月”这个事件是不可能事件， 故选：B． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4. 如图,是弦，半径于点D．若，则的长是(　　) A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得出弦的一半长度，再结合勾股定理计算线段长度． 连接，由垂径定理得，再在中，用勾股定理求． 【详解】解：连接， 是半径， ，． 在中，由勾股定理得，对应选项A． 故选：A． 5. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 6. 一定在同一个圆上的是（ ） A. 平行四边形的四个顶点 B. 矩形的四个顶点 C. 菱形的四个顶点 D. 梯形的四个顶点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，平行四边形、矩形、菱形及梯形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 圆内接四边形的对角互补，而菱形、平行四边形及梯形都不一定满足，而矩形的四个顶点一定共圆，进而可得答案． 【详解】解：对于A，平行四边形对角相等但不一定互补，故平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意； 对于B，矩形的两条对角线互相平分且相等，故矩形的四个顶点一定共圆（即在同一个圆上），符合题意； 对于C，菱形对角相等但不一定互补，故菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意； 对于D，梯形不一定对角互补，故梯形四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题．（每题3分，共24分） 9. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 学习了概率相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.624 0.618 0.620 随着试验次数的增加，估计“针尖朝上”的概率接近于________（精确到0.01）． 【答案】0.62 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”概率约为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 抛物线的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴该抛物线开口向下， ∴该抛物线在顶点处取得最大值， 由顶点公式，顶点的横坐标， 将代入，得， 故最大值为2． 故答案为：2． 13. 已知关于x的方程的两个根分别为，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系，即二次方程两根之和等于，结合已知根求解即可． 【详解】解：对于方程，有，， 根据根与系数的关系，得， 已知，代入得，解得， 故答案为． 14. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，的直角三角形的性质和勾股定理，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理求出长，即可得到点C的坐标． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 16. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，先计算点A和点B的纵坐标表达式，再根据b的取值范围判断和与1的大小关系，最后比较和的大小． 【详解】解：∵点，在抛物线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题．（本大题9个小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：，． 18. 如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 【答案】等边三角形，见解析 【解析】 【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC形状． 【详解】解：△ABC是等边三角形．证明如下： 由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°． ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°． 19. 在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：如图，和即为所求： 20. 2025年8月15日至22日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．数学老师要求同学们利用周末时间去以下三个基地展开研学活动． A.门合纪念馆； B.原子城纪念馆； C.红军沟纪念馆． 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地C的概率为________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小丽选择相同基地的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有三个基地开展研学活动，且每个基地被选择的概率相同， ∴小明选择基地C的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由图知，共9种等可能情况，其中小明和小丽选择相同基地的结果有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率． 21. 如图，在等腰中，，，将绕点C逆时针方向旋转得到， 连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先求解，，结合旋转的性质可得，，，再证明，，从而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵由旋转可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 22. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，求的长（结果保留）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式（，其中为弧长，为圆心角度数，为半径）是解题的关键．先利用弧长公式求出大圆半径，再结合裙长得到小圆半径，最后再次用弧长公式求出的长度． 【详解】解：的长度为米，， ， （米）， （米）， （米）． 23. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可； （2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可. 【详解】解：（1）连接OD， ∵DF和半圆相切， ∴OD⊥DF， ∴∠BDF+∠ADO=90°， ∵∠ADO=∠OAD， ∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°， ∴∠OAD+∠B=90°， ∴∠BDF=∠B， ∴BF=DF； （2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD， ∵， ∴BF=DF=2， ∵，，∠C=90°， ∴AB=， ∴cos∠B==， ∴，解得：BG==DG， ∴AD=AB-BD=， 过点O作OH⊥AD于H， ∴AH=DH=AD=， ∵cos∠BAC=， ∴AO=， 即半圆O的半径长为. 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 24. 12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）60元 （2）当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：销售单价应定为60元． 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为w元， 由题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大，最大为（元）， 答：当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 25. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大值为6 （3）M的坐标是或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线的解析式即可求解； （2）求出直线的解析式是，设点，则，可得，当时，有最大值为6； （3）设，先求,，，分三种情况讨论：①当时；②当时，； ③当时，分别求出t即可， 【小问1详解】 解：把，代入抛物线的解析式得： 解得：， ∴； 【小问2详解】 过点 作轴交与点E 当 时， ， ∴ ， 设点，直线的解析式是， 把，代入得， 解得： ， ∴直线的解析式是， ∵轴交于E， ∴， ∴ ∵= ∴当时，有最大值为6， 【小问3详解】 存在点M，使得为直角三角形，理由如下： 抛物线的对称轴是直线 ，设， ∵， ∴,， 当 时， 则有 ∴， 解得： ∴； ②当时， 则， ∴， ∴解得： ∴； ③当时， 则，， ∴， 整理得： 解得： ∴方程无解 ∴综上所述，M的坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，两点间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. “水中捞月”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 以上都不是 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 如图,是的弦，半径于点D．若，则的长是(　　) A. 3 B. 2 C. 6 D. 5. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 一定在同一个圆上的是（ ） A. 平行四边形的四个顶点 B. 矩形的四个顶点 C. 菱形的四个顶点 D. 梯形的四个顶点 7. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在水分、养料等条件一定情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 二、填空题．（每题3分，共24分） 9. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为______． 10. 学习了概率相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.624 0.618 0.620 随着试验次数的增加，估计“针尖朝上”的概率接近于________（精确到0.01）． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 抛物线的最大值为________． 13. 已知关于x的方程的两个根分别为，其中，则________． 14. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为直径，若，，则点C的坐标为________． 16. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 三、解答题．（本大题9个小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，是上四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 19. 在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 20. 2025年8月15日至22日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．数学老师要求同学们利用周末时间去以下三个基地展开研学活动． A门合纪念馆； B.原子城纪念馆； C.红军沟纪念馆． 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地C的概率为________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 21. 如图，在等腰中，，，将绕点C逆时针方向旋转得到， 连接．求证：四边形是平行四边形． 22. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，求的长（结果保留）． 23. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 24. 12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 25. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求此抛物线解析式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $