精品解析：广东省云浮市黄岗实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期12月考试 九年级数学（试卷） （满分：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 过三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是在一定条件下，必然会发生的事件.依据定义判断即可． 【详解】A.打开电视机，可能正在播放新闻或其他节目，所以不是必然事件； B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯,也可能遇到绿灯，所以不是必然事件； C. 过三点画一个圆，如果这三点在一条直线上，就不能画圆，所以不是必然事件； D. 任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件． 故选：D 【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件． 3. 已知直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由的直径为，得出圆的半径是，圆心O到直线l的距离为，即，得出，即可得出直线l与的位置关系是相切． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：C． 4. 某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程即可． 【详解】解：∵ 从2024年到2026年，经过2年，每年成本下降率为x， ∴， 故选：B． 5. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据题意，运用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ， ∴， 解得，， 故选：B． 6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 7. 某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法以及概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用列表法求出所有等可能的结果，再从表中找出两位同学选择同一个书院进行讲解的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一个书院进行讲解的结果有种， 两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为， 故选：B． 8. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， 要使有最小值，则需满足取最小值即可， ∴当时，有最小值5， ∴的最小值为； 故选D． 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时， 又 ∴ ∴，故③错误 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误， ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的全面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积为，其中是母线长，是圆锥的底面半径是解题的关键． 根据圆锥的全面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的全面积为， 故答案为：． 13. 如图，中，．则的内切圆半径_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设、、与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图， 在中，， 根据勾股定理. 四边形中，，， ∴四边形是正方形.. 由切线长定理，得：，，； ∴； ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，的面积为5，则这个反比例函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义找出是解题的关键． 连接，设反比例函数的解析式为，根据和同底等高，利用反比例函数系数k的几何意义结合的面积为5即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定k值，此题得解． 【详解】解：连接，如图所示． 设反比例函数的解析式为 轴，点P在x轴上， ∴和同底等高， ， 解得：， 反比例函数在第二象限有图象， ， 反比例函数的解析式为 故答案为： 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点．CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接CE，可得∠CED=∠CEA=90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接CE， ∴∠CED=∠CEA=90°， ∴点E在以AC为直径的⊙Q上， ∵AC=10， ∴QC=QE=5， 当点Q、E、B共线时BE最小， ∵BC=12， ∴QB= =13， ∴BE=QB-QE=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法求解可得． 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原方程可变形为：， 则或 解得：，； 【小问2详解】 解：移项，得， 整理，得， 解得，． 17. 如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． （1）转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表或画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先画出树状图，一共有12种等可能的结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种，再运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4， ∴转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图，如图所示： 则一共有12种等可能结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种， ∴A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）劣弧BC的长为 【解析】 【分析】（1）先找到圆心，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可； （2）先证△AOC是边长为2的等边三角形，可得∠A=60°，再求∠BOC=120°，将它们代入弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求； （2）连接OC， ∵AB=4 ，AC＝2 ∴OA＝OC＝2，， ∴OA＝OC＝AC， ∴△OAC等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， ∴劣弧BC的长为． 【点睛】本题考查作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握作直角三角形的外接圆，线段垂直平分线，等边三角形判定与性质，圆周角定理，弧长公式是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点作轴，垂足为，求的面积． （3）根据所给条件，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）5； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，确定参数，将点B坐标代入反比例函数解析式，得参数，将两点坐标代入一次函数解析式，得方程组求解确定一次解析式； （2）由图，以为底求面积，的面积； （3）图象法求解，观察函数图象，在第一、三象限内，直线位于双曲线上方（含交点）时自变量取值范围为解集． 【小问1详解】 解：由题意知，，得， ∴ ∴ ∴ 点上，则 ，解得 ∴． 【小问2详解】 解：如图，的面积． 【小问3详解】 解：由知， 解集为或． 【点睛】本题考查函数解析式与点坐标，待定系数法确定函数解析式，图象法解一元一次不等式，掌握数形结合思想，理解图象与方程、不等式的联系是解题的关键． 20. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是“黄金方程”，理由见解析 （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 21. 已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接． （1）如图1，过点作直线，求证：是的切线； （2）如图2，点在弦上，且，求证：平分； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定； （1）连接，根据题意得到，然后得到，然后利用垂径定理得到，即可得证； （2）首先由等边对等角得到，然后利用圆周角定理得到，然后利用角的和差，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 是的切线； 【小问2详解】 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴平分． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3）见解析． 【解析】 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期12月考试 九年级数学（试卷） （满分：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 过三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定 4. 某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 7. 某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 4 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的全面积为________． 13. 如图，中，．则的内切圆半径_______． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，的面积为5，则这个反比例函数的解析式为______. 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点．CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． （1）转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点作轴，垂足为，求的面积． （3）根据所给条件，请直接写出不等式的解集． 20. 定义：如果关于一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 21. 已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接． （1）如图1，过点作直线，求证：是切线； （2）如图2，点在弦上，且，求证：平分； 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $