广东省云浮市黄岗实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期12月考试 九年级数学（试卷） （满分：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 过三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定 4. 某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 7. 某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 4 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的全面积为________． 13. 如图，在中，，是的内切圆，则的半径为__________． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，的面积为5，则这个反比例函数的解析式为______. 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点．CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． （1）转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点作轴，垂足为，求的面积． （3）根据所给条件，请直接写出不等式的解集． 20. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 21. 已知是的内接三角形，的平分线与相交于点，连接． （1）如图1，过点作直线，求证：是的切线； （2）如图2，点在弦上，且，求证：平分； 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 2025年秋季学期12月考试 九年级数学（试卷） （满分：120分 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】8 三、解答题（一）（本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分） 【16题答案】 【答案】（1），； （2），． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】 （1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求； （2）劣弧BC的长为 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 【19题答案】 【答案】（1），； （2）5； （3）或． 【20题答案】 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2） （3）m的值为1或 【21题答案】 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 是的切线； （2） 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴平分． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第24题14分，共27分） 【22题答案】 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【23题答案】 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $