精品解析：甘肃省 天水市 麦积区2025--2026学年上学期九年级数学期末考试卷

2025—2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷（二） 九年级数学 一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 4. 若m，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 6 C. D. 4 7. 古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A. B. C. D. 8. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 35米 9. 如图，平行四边形中，是的中点，和交于点，若的面积为2，则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 若，则＝_______． 13. 若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ________． 14. 如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件______．（只要写出一种合适的条件） 15. 如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______． 16. 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8，则第2017个图形的周长为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：x2﹣4x﹣7=0． 19. 计算：． 20. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 21. 如图，在中，，，垂直平分线段． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求证：． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． （1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； （2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 24. 如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 25. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 26. 2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 27. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷（二） 九年级数学 一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握：若一个正数x的平方等于a，则这个正数x为a的算术平方根． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意， 故选：D． 3. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 4. 若m，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出m+n和mn的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得 m+n=-1，mn=-1， ∴=-1-2=-3． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 5. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵一粒米等可能落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为. 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， 只有选项B符合要求， 故选：B． 7. 古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为x尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 8. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 35米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡比问题，设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米，由题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：斜坡的坡度为， 设此时小车离水平面的垂直高度为米，则水平前进了米， 由题意得：， 解得：， 此时该小车离水平面的垂直高度为25米， 故选：A． 9. 如图，平行四边形中，是的中点，和交于点，若的面积为2，则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出、，进而可得出，根据相似三角形的性质可求出和的值，由三角形的面积可得出，再根据平行四边形的性质结合，即可求出四边形的面积． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ，． 是的中点， ， ， ，， ，， ． 四边形为平行四边形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及相似三角形的性质求出和的面积是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 若，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 13. 若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件______．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 15. 如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得的长，再直接利用勾股定理得出的长． 【详解】解：∵点是斜边的中点，， ∴． ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键． 16. 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8，则第2017个图形的周长为_________． 【答案】6053 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察、找到规律是解题的关键． 由题意可得第1个图形的周长为5，第2个图形的周长为8，第3个图形的周长为11，由此可找到规律：后面每一个图形都比前一个图形周长多3，据此解答即可． 【详解】解：∵第1个图形的周长为， 第2个图形的周长为， 第3个图形的周长为， … ∴第2017个图形的周长为． 故答案为：6053． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简各二次根式，然后进行乘除运算，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：x2﹣4x﹣7=0． 【答案】x1=2+，x2=2﹣． 【解析】 【分析】移项后配方得出x2-4x+4=7+4，推出（x-2）2=11，开方后得出方程x-2=±，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：x2﹣4x=7 配方得：x2﹣4x+4=7+4 即（x﹣2）2=11 开方得：x﹣2=± ∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x-2）2=11，题目比较典型，难度适中． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 20. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点C顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图，即为所求．点的坐标为. 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，垂直平分线段． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含度角的直角三角形的性质． （1）根据垂直平分线的性质得，，即可得出答案． （2）由（1）可知，是等边三角形，求出即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，是等边三角形， 在中， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】（1） 故点即为所作； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． 【小问1详解】 解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． （1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； （2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同， 若随机抽取一张卡片，则上面写有“立春”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片、、，画树状图如下： 由树状图可知：共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种， 两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为． 24. 如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 【答案】（1） 证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； 【小问2详解】 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 26. 2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）每个毛绒玩具售价应定为45元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数及一元二次方程的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． 27. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 【答案】（1） （2） ①结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② （3）， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）①利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②由①可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握好常考的全等三角形与相似三角形的模型是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $