精品解析：陕西省榆林市靖边县2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题

2025−2026学年度第一学期期末学情调研评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个相似三角形的面积比是，则它们对应高的比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 15 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 6. 如图，已知，直线，分别交这三条直线于点A，B，C和D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 7. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④；⑤对于任意的实数m，总有．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆________．（填“上，外或内”） 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 11. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 12. 如图，经过原点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是________． 13. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为________． 14. 已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，中，，，，求． 18. 如图，已知矩形，请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，在边上．（保留作图痕迹．不写作法） 19. 如图，已知二次函数． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 20. 榆林市的非物质文化遗产手工艺品种类丰富，体现了深厚的文化底蕴和独特的艺术价值．以下是四张手工艺品的图片（不透明），这些图片除正面内容不同外，其余完全相同．将它们背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小雅从这四张图片中随机抽取一张，恰好是“．三边柳编”概率是________； （2）为宣传非物质文化遗产，小宇先从这四张图片中任意抽取一张，不放回，将剩下的洗匀后，小浩再从中任意抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人恰好抽到“．靖边剪纸”和“．子洲面花”的概率． 21. 榆林山地苹果具有色泽艳丽，脆甜多汁，耐储藏等特点．金秋收获季，李叔叔承包的苹果园喜获丰收，他雇用的工人们平均每天摘的苹果y（吨/天）与摘完这片果园所需时间x（天）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．请你求出这个反比例函数的表达式；当工人们每天摘苹果吨时，摘完这片果园的苹果要多少天？ 22. 凌霄塔是榆林古城“南塔北台中古城”格局的核心地标．小轩和几位同学准备利用所学的知识测量凌霄塔的高度．测量方法如下：小轩在点D处直立一根2米的标杆（），且发现A，E，C三点共线，经测量的长度为，．已知，，并且B，D，C三点在一条水平线上．请你根据以上信息，求出凌霄塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 23. 已知二次函数（b，c为常数）图象经过，两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 24. 如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 25. 如图是一座拱桥的横截面示意图，其呈抛物线形状．已知该桥的跨度，桥墩露出水面的高度，在距点O水平距离为的地点，拱桥距离水面的高度最大为．以横截水面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线表达式； （2）已知游船露出水面的高度是，为了游船安全，要在水面上的D，E两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从D，E两点之间安全通过，则点D距离桥墩的距离至少为多少米？ 26. 动手操作 （1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用 （2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，． ①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第一学期期末学情调研评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记这些值是解题的关键．根据特殊角的正切值，，即可求解. 【详解】解：∵，且 ， ∴． 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，充分发挥空间想象力是关键． 按照几何体的特征进行判断即可． 【详解】解：从上往下看，该几何体的俯视图是一个矩形，中间凹进去部分为三条线段． 故选：C． 3. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 已知两个相似三角形的面积比是，则它们对应高的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，相似三角形高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故选：D． 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约． 故选：C． 6. 如图，已知，直线，分别交这三条直线于点A，B，C和D，E，F．若，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出．在直角中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵点F是的中点， ∴是直角斜边上的中线， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 8. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④；⑤对于任意的实数m，总有．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式． 根据函数图象得到，，根据对称轴得到，，即可判断①、③；根据二次函数与x轴有两个交点结合根的判别式可判断②；由函数图象可判断④、⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵二次函数交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即，，③正确； ∴，①正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程根的判别式， 即，②错误； 由函数图象可知，当时，，④错误； 当时，， 由函数图象可知，当时，y值最小，此时， 即， ∴，⑤正确； 则正确的是①③⑤． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆________．（填“上，外或内”） 【答案】 内 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离，且， ∴点内． 故答案为：内． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 11. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线开口向下，对称轴为，通过比较各点与对称轴的距离确定y值大小关系． 【详解】解：由解析式得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，经过原点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．作轴交y轴于点C，由和垂径定理，可得，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【详解】解：如图，作轴交y轴于点C， ，轴， ，， ， 由图可知，点B在y轴的负半轴上，则点B的纵坐标是． 故答案为：． 13. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求反比例函数解析式． 连接，交于E，根据正方形的性质得到，，根据k的几何意义求出，根据反比例函数图象经过第二象限得到，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：如图，连接，交于E， ∵正方形 ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 14. 已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【答案】 8 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先将各特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得． 17. 如图，在中，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．先利用求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，进而可以求出的余弦值． 【详解】解：∵， 即， 又∵， ∴， 解得， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 18. 如图，已知矩形，请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，在边上．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的垂直平分线即可解答． 【详解】解：如图，四边形即为所求， 【点睛】本题考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图． 19. 如图，已知二次函数． （1）先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 （2）指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）表见解析，图见解析； （2）图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： 【小问2详解】 解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 20. 榆林市的非物质文化遗产手工艺品种类丰富，体现了深厚的文化底蕴和独特的艺术价值．以下是四张手工艺品的图片（不透明），这些图片除正面内容不同外，其余完全相同．将它们背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小雅从这四张图片中随机抽取一张，恰好是“．三边柳编”的概率是________； （2）为宣传非物质文化遗产，小宇先从这四张图片中任意抽取一张，不放回，将剩下的洗匀后，小浩再从中任意抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人恰好抽到“．靖边剪纸”和“．子洲面花”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率；解题的关键是明确概率的计算公式(概率一所求情况数与总情况数之比，并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． ()确定总情况数为，选中“三边柳编”的情况数为，根据概率公式计算即可； ()通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“．靖边剪纸”和“．子洲面花”的结果数，再结合概率公式求解. 【小问1详解】 解：总共有幅图，随机选择一幅，选中“．三边柳编”情况只有种． 根据概率公式，所求概率为 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中“．靖边剪纸”和“．子洲面花”的结果数为 ∴两人恰好选中“．靖边剪纸”和“．子洲面花”的概率． 21. 榆林山地苹果具有色泽艳丽，脆甜多汁，耐储藏等特点．金秋收获季，李叔叔承包的苹果园喜获丰收，他雇用的工人们平均每天摘的苹果y（吨/天）与摘完这片果园所需时间x（天）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．请你求出这个反比例函数的表达式；当工人们每天摘苹果吨时，摘完这片果园的苹果要多少天？ 【答案】，摘完这片果园的苹果要天． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用． 根据待定系数法求出反比例函数解析式，把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【详解】解：设与的函数解析式为， 依题意得：， 即 ∴与的函数解析式为， 把代入得：. 即摘完这片果园的苹果要天． 22. 凌霄塔是榆林古城“南塔北台中古城”格局的核心地标．小轩和几位同学准备利用所学的知识测量凌霄塔的高度．测量方法如下：小轩在点D处直立一根2米的标杆（），且发现A，E，C三点共线，经测量的长度为，．已知，，并且B，D，C三点在一条水平线上．请你根据以上信息，求出凌霄塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查相似测高与三角函数测高综合，涉及三角形相似的判定与性质、解直角三角形等知识，根据题意得到，得到，再解直角三角形，由正切函数得到，联立方程组求解即可得到答案，熟练掌握相似测高与三角函数测高的题型解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ． 又， ， ， ． 在中，， ， ， 解得米， （米）， 答：凌霄塔的高度约为米． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 小问1详解】 解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 24. 如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． （1）求所对的圆心角的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． 【小问2详解】 证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 25. 如图是一座拱桥的横截面示意图，其呈抛物线形状．已知该桥的跨度，桥墩露出水面的高度，在距点O水平距离为的地点，拱桥距离水面的高度最大为．以横截水面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知游船露出水面的高度是，为了游船安全，要在水面上的D，E两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从D，E两点之间安全通过，则点D距离桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】（1） （2）点D距离桥墩的距离至少为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意并运用数形结合是解题关键． （1）根据题意，设，将代入表达式，求出a的值； （2）令，计算出此时x的值，即为点D、E的横坐标，进一步算出的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线过点，其顶点为， 设抛物线表达式为， 将代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 化简，得， 解得，，， ∴至少为． 答：点D距离桥墩的距离至少为米． 26. 动手操作 （1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用 （2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，． ①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形、菱形的性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判定等知识，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）由折叠可知：，设，则，，可得，进而推出是等腰直角三角形； （2）①过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，可得是以为底，顶角为的等腰三角形； ②当最小时三角形面积最小，则当时，三角形面积最小，再利用含30°直角三角形性质解三角形，即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠可知：； 连接，如图， 由折叠可知，，， 设，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）①如图；过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点N作于点G，设, 则,， ∵，即， 解得：, 则， ∴当a最小时，面积最小， ∴当时，有最小，进而面积最小， ∵，， ∴， ∴（m）， ∴， 则（）， ∴的面积存在最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $