专题01二次根式寒假预习核心讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题01二次根式寒假预习核心讲义 核心重点内容 1.掌握二次根式有意义的条件，明确被开方数非负、分母不为 0 的双重限制要求； 2.熟记二次根式的四条性质，能熟练完成最简二次根式的化简操作； 3.掌握二次根式的加减乘除四则运算法则，规范书写运算步骤。 核心难点内容 1.性质=∣a∣ 的灵活应用，尤其是含字母时的符号判断与分类讨论； 2.同类二次根式的准确判断与合并，避免被二次根式的非最简形式误导； 3.含字母的二次根式化简，需结合题干条件确定字母取值范围后再分步处理。 通用突破方法 1.紧扣 “双重非负性” 核心，多练习含分母的二次根式取值范围题目，强化条件意识； 2.处理性质=∣a∣ 相关题目时，通过给字母赋值（如 a=−2）代入验证，加深对符号判断的理解； 3.运算和化简坚持 “先最简，后计算” 的原则，判断同类根式前必先化简，含字母的化简题先确定取值范围再动手。 常考题型 精讲精炼 1.直接计算二次根式的值 2.求解二次根式中的参数 3.判定二次根式由意义的条件 4.运用二次根式的性质化简 5.二次根式的乘法运算 6.二次根式除法运算 7.二次根式的乘除混合运算 8.最简二次根式的判定 9.将二次根式化为最简形式 10.同类二次根式的识别 11.二次根式的加减运算 12.二次根式的混合运算 13.二次根式的分母有理化 14.已知字母的值,化简求值 15.二次根式的大小比较 16.二次根式的实际应用 强化巩固 (18题) 【知识点01.二次根式的概念】 1.定义：形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中 “  ​” 称为二次根号，a 称为被开方数。 关键词：① 根指数是 2（可省略）；② 被开方数 a 必须非负。 2.二次根式有意义的条件：被开方数 a≥0；若式子含分母，则分母不能为 0。 例： 有意义 ⇔x−2≥0⇔x≥2； 有意义 ⇔x+1≥0 且 x−3≠0⇔x≥−1 且 x3。 3. 二次根式的双重非负性 ≥0（a≥0），即二次根式本身的值是非负的，被开方数也是非负的。 常见应用：若 +=0 或 +b2=0，则 a=0 且 b=0。 【知识点02.二次根式的性质】 性质 1 表达式为 ()2=a，适用条件是 a≥0。 这条性质可逆，即 a=()2（a≥0），常用于凑平方化简。 性质 2 表达式为 =∣a∣，适用条件是 a 为任意实数。 具体化简要根据 a 的符号分类讨论：当 a>0 时，=a；当 a=0 时，=0；当 a<0 时，=−a。 这是本章的易错点，切记不要直接写成 =a，一定要先判断 a 的符号。 性质 3 表达式为 =，适用条件是 a≥0且b≥0。 该性质可以推广到多个非负数相乘的情况，比如 ​=，前提是 a,b,c 均为非负数。 性质 4 表达式为 ，适用条件是 a≥0且b>0。 注意分母不能为 0，这是和性质 3 最关键的区别。 【知识点03.最简二次根式】 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 【知识点04.二次根式的运算】 （1） 乘除运算 乘法法则： (a≥0,b≥0) 除法法则： (a≥0,b>0) 技巧：先算根号外，再算根号内；结果要化为最简二次根式。 （2） 加减运算 核心：合并同类二次根式（类比合并同类项） 1.同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.加减运算步骤： ① 化：将每个二次根式化为最简二次根式； ② 找：找出其中的同类二次根式； ③ 合：合并同类二次根式（系数相加，被开方数和根指数不变）。 【题型1.直接计算二次根式的值】 【典例】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型2.求解二次根式中的参数】 【典例】若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【跟踪专练1】若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】51 【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， ∴n的最小值为：51， 故答案为：51． 【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【题型3.判定二次根式有意义的条件】 【典例】能使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答． 【详解】解：∵要使成立， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练1】若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为），解题关键是同时满足多个限制条件，综合确定自变量的取值范围． 确定函数自变量的取值范围，需同时考虑二次根式的被开方数非负，以及分式的分母不为，据此分析条件． 【详解】解：对于： 二次根式部分：被开方数，解得； 分式部分：分母，解得． ∴自变量的取值范围是且． 故选：C． 【题型4.运用二次根式的性质化简】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简．直接化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是注意平方后的符号变化. 根据二次根式的性质，（a ≥ 0），然后考虑负号的影响，逐项判断即可. 【详解】解：A、∵ ，∴ ，A计算正确，符合题意； B、∵ ，∴ B计算错误，不符合题意； C、∵ ，∴ 不应有号，C计算错误，不符合题意； D、∵ ，∴ ，∴ ，∴ D计算错误，不符合题意； 故选：A. 【跟踪专练2】若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【分析】根据绝对值不等式确定整数 的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的 值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由 得 可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 3； 故答案为：或3． 【题型5.二次根式的乘法运算】 【典例】（   ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．解题的关键是掌握二次根式的乘法法则：（），并正确应用该法则进行计算．根据二次根式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据二次根式乘法法则， 可得． 故选：A． 【跟踪专练1】若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 【跟踪专练2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 【题型6.二次根式的除法运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练1】若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 【跟踪专练2】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 【题型7.二次根式的乘除混合运算】 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 【跟踪专练2】若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 【题型8.最简二次根式的判定】 【典例】在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 【跟踪专练1】在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 【跟踪专练2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 【题型9.将二次根式化为最简形式】 【典例】.下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 【跟踪专练1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 【题型10.同类二次根式的识别】 【典例】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同；根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】若最简二次方根式与可以合并，则 ， ，的值为 ． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 【题型11.二次根式的加减运算】 【典例】计算的结果是（　　） A．25 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【详解】解：原式， 故选：C． 【跟踪专练1】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的减法运算．先化简，再进行二次根式的减法即可． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练2】若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于 所以满足三角形的三边关系，此时周长为 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 先进行二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和化简．需要根据二次根式的运算法则逐一验证每个选项是否正确．二次根式的运算需遵循运算法则：加减法需合并同类二次根式；乘法为根号内相乘再化简；除法为根号内相除再化简．注意区分有理数和无理数的运算． 【详解】∵对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：是有理数与无理数的和，不能直接合并为，且数值不相等，∴B错误． 对于选项C：，∴C正确． 对于选项D：，∴D错误． 故选：C． 【跟踪专练2】对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，新定义运算的含义，根据新定义运算规则，分别计算和，再利用二次根式的混合运算法则计算乘积． 【详解】解：由定义，， ． 则 ． 故答案为： 【题型13.二次根式的分母有理化】 【典例】下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 【跟踪专练1】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 【跟踪专练2】已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 【题型14.已知字母的值,化简求值】 【典例】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由、的值直接代入求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值． 【跟踪专练1】若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，求代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的变形运算、代数式降次求值技巧，解题的关键是通过对已知变形平方，得到低次等式，再利用该等式将原式进行变形并整体代入即可求得结果． 由已知的表达式变形得，两边平方消去根号，推导得出；利用此等式对原式进行恰当的变形，代入化简，最终消去含的项得到结果． 【详解】解：由得， 两边平方得，即． ∴ 故答案为：10． 【题型15.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【跟踪专练2】已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型16.二次根式的实际应用】 【典例】观察下列各式： ， ， ．．． 请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 【答案】 【分析】本题考查的是规律探索，解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 【跟踪专练2.】小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系． 先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算． 【详解】解：①计算长方形的面积： ． 根据二次根式乘法性质可得：． ②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则： ， ． ∵半径， ∴． 1．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 2．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等． 【详解】解：对于选项A：，该选项不成立； 对于选项B：，， ∴左边=右边，该选项成立； 对于选项C：，， ，该选项不成立； 对于选项D：， ，该选项不成立； 故选：B． 3．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 4．已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 5．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 6．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 7．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式． 【详解】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子． 8．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【详解】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 11．已知 ，n 是 m 的小数部分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，分母有理化，先根据分母有理化化简m，然后根据无理数的估算求出n，再代入代数式计算解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 解答题 12．若，则是多少？ 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， 即， ∴， ∴． 13．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简． （1）根据二次根式的运算法则化简计算即可； （2）根据二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①②． 14．若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 15．已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘法，算术平方根，化简绝对值进行化简，然后合并即可； （）先通过完全平方公式，平方差公式进行化简，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 18．如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01二次根式寒假预习核心讲义 预习重难点 核心重点内容 1.掌握二次根式有意义的条件，明确被开方数非负、分母不为0的双重限制要求： 2.熟记二次根式的四条性质，能熟练完成最简二次根式的化简操作； 3.掌握二次根式的加减乘除四则运算法则，规范书写运算步骤。 核心难点内容 1.性质Va2=al的灵活应用，尤其是含字母时的符号判断与分类讨论： 2.同类二次根式的准确判断与合并，避免被二次根式的非最简形式误导： 3.含字母的二次根式化简，需结合题干条件确定字母取值范围后再分步处理。 通用突破方法 1.紧扣“双重非负性”核心，多练习含分母的二次根式取值范围题目，强化条件意识： 2.处理性质ya2=al相关题目时，通过给字母赋值（如a=-2)代入验证，加深对符号判 断的理解； 3.运算和化简坚持“先最简，后计算”的原则，判断同类根式前必先化简，含字母的化简 题先确定取值范围再动手。 题型梳理 1.直接计算二次根式的值 2.求解二次根式中的参数 3.判定二次根式由意义的条件 4.运用二次根式的性质化简 常考题型 5.二次根式的乘法运算 6.二次根式除法运算 精讲精炼 7.二次根式的乘除混合运算 8.最简二次根式的判定 9.将二次根式化为最简形式 10.同类二次根式的识别 11.二次根式的加减运算 12.二次根式的混合运算 13.二次根式的分母有理化 14.己知字母的值，化简求值 15.二次根式的大小比较 16.二次根式的实际应用 强化巩固 (18题) 试卷第1页，共3页 3 知识点梳理 【知识点01.二次根式的概念】 1.定义 形如Va(a≥0)的式子叫做二次根式，其中“√”称为二次根号，a称 为被开方数。 关键词：①根指数是2（可省略）；②被开方数a必须非负。 2.二次根式有意义的条件： 被开方数≥0；若式子含分母，则分母不能为0。 例：Vk-2有意义台x-2≥0台x≥2： +1 x-3 有意义 台x+1≥0且x-30台x之-1且x≠3。 3.二次根式的双重非负性 V≥0(a≥0)，即二次根式本身的值是非负的，被开方数也是非负的。 常见应用：若V+√b-0或Va+b2-0,则a0且b0。 【知识点O2.二次根式的性质】 性质1 表达式为(Wa)2=a,适用条件是a≥0。 这条性质可逆，即a=(√)2(a≥0)，常用于凑平方化简。 性质2 表达式为 ya2=|a|,适用条件是a为任意实数。 具体化简要根据a的符号分类讨论：当a>0时，Va2=a;当a=0时，Va2=0; 当a<0时，V2=-a。 性质3 表达式为Vab√ayb,适用条件是a≥0且b≥0。 该性质可以推广到多个非负数相乘的情况，比如√abc√√bVC,前提是 a,b,c均为非负数。 性质4 试卷第1页，共3页 表达式为层=号，适用条件是a≥0且b>0。 【知识点03.最简二次根式】 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数中不含分母 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 【知识点04.二次根式的运算】 (1)乘除运算 乘法法则： ab=Vab(a≥0，b≥0) 除法法则： (a≥0，b>0) (2) 加减运算 核心：合并同类二次根式（类比合并同类项） 1.同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.加减运算步骤： ①化：将每个二次根式化为最简二次根式： ②找：找出其中的同类二次根式； ③合：合并同类二次根式（系数相加，被开方数和根指数不变）。 常考题型精讲精练 【题型1.直接计算二次根式的值】 【典例】下列各式中，一定是二次根式的是() A.√ B.2 C.3 D. 【跟踪专练1】当x=-3时，二次根式√6-x的值是」 【跟踪专练2】己知2a-8+5-3b=0,则√6a-9b的值为() A.9 B.±9 C.3 D.±3 【题型2.求解二次根式中的参数】 试卷第1页，共3页 【典例】若√3m是一个整数，则正整数m的最小值是」 2b 【跟踪专练】若V。是二次根式，则，b应满足的条件是（） A.a≥0，b20B.a>0,b>0 c.b>0 D. b20 a 【跟踪专练2】若√204n是整数，则正整数n的最小值是 【题型3.判定二次根式有意义的条件】 【典例】能使√x-8成立的x的取值范围是() A.x28 B.x≤8 C.x>7 D.x<8 【跟踪专练1】若a、b为实数，且a=√b-5+√5-b+3,则a-b的值为」 【跟踪专练2】函数y=x+5的自变量x的取值范围是() (x+3)2 A B.x≥-3 C.x≥-5且 D.x2-5 【题型4.运用二次根式的性质化简】 【典例】V-5)2= 【跟踪专练1】下列计算正确的是() A.-(6)2=-6 B.(N5)2=9 16 C.(V16)2=±16 _16 -V25 =25 【跟踪专练2】若整数x满足x≤3，则能使√7-x为整数的x的值是 【题型5.二次根式的乘法运算】 【典例】V2x√2=() A.2 B.4 C.22 D.1 【跟踪专练1】若一个无理数a与√⑧的积是一个有理数，则a的值可以是 (写出 一个即可) 【跟踪专练2】己知k,m,n都是整数，若√90=k√10，√800=20√m,√180=6√n, 则下列关于k,m,n大小关系的结论，正确的是() 试卷第1页，共3页 A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 【题型6.二次根式的除法运算】 【典例】计算：-4√6÷2V3= 【跟踪专练1】若一个长方形的面积为18，其中一条边长为2√5，则相邻边长为() A.5 B.2√5 C.35 D.45 【跟踪专练2】计算，3 2V8 的结果为 【题型7.二次根式的乘除混合运算】 【典例】下列运算正确的是() A.√2+5=√5 B.42-V2=4 C.√2x√5=6 D.V12÷√6=2 【跟踪专练1】下列说法中正确的是 (填序号) ①若√5=a,则√80等于6a; ②使√12n是正整数的最小整数n是3； ③√0.5是最简二次根式： 1 ④计算3÷√3x 的结果是1. 【跟踪专练2】若一个三角形的三条边长分别是√2、√13、√17，则此三角形的面积是() A.3.5 B.3 C.2.5 D.2 【题型8.最简二次根式的判定】 【典例】在√2,0.I, ,√a2+b，,Va26中最简二次根式有一个. 【跟踪专练1】在下列代数式中： 语丽®r-r+功、s √x2+y2,最简二次根式的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【跟踪专练2】若最简二次根式√x2-2与x√2x-2是同类二次根式，则x的值为 试卷第1页，共3页 【题型9.将二次根式化为最简形式】 【典例】.下列二次根式中，能与√18合并的是() A.√2 B.√6 C.√20 D.√27 【跟踪专练1】计算√⑧√27÷18的结果是 【跟踪专练2下列式子中，化简后不能与√ab(a>0,b>0)合并的是() A. ab b 4 B. C.a'b2 D.Jab 【题型10.同类二次根式的识别】 【典例】若最简二次根式√-2a与√万可以合并，则a的值为一 【跟踪专练1】下列二次根式中，能与√5合并的是() A.6 B.√5 C.12 D.8 【跟踪专练2】若最简二次方根式7a+b与6a-b可以合并，则b=一，a=一' 5ab2+2b的值为_. 【题型11.二次根式的加减运算】 【典例】计算√45-√20的结果是() A.25 B.2√5 C.5 D.5 【跟踪专练1】化简√2-√5的结果是· 【跟踪专练2】若等腰三角形的两边长分别为√12和√50，则这个三角形的周长为() A.25+10W2 B.4V5+5V2 C.45+10N2 D.4V5+5√2或2√5+10W2 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算：V2(V2+2-2= 【跟踪专练1】下列计算正确的是O 试卷第1页，共3页 A.5√万-37=14 B.2+√2=2√2 C.√5x√6=3W2 D.√15÷√5=5 vm-√n(m≥n 【跟踪专练2】对于任意两个正数m,n,定义运算※为：m※n= 计算 √m+√n(m<n) (8※3)×(18※27)的结果为 【题型13.二次根式的分母有理化】 【典例】下列各式中，√ā+√b的有理化因式是()， A.a+b B.√a-b C.√a+b D.√a-Vb 【跟踪专练1】比较大小：5+ (填“>”、“<”或“=”)· -2 【跟踪专练2】已知a=√2023-√2022，b=√2024-√2023，c=√2025-√2024，则下列结论 正确的是() A.axbxc B.c>b>a C.bxa>c D.b>c>a 【题型14.已知字母的值，化简求值】 【典例】已知x=√2-√5，y=2+5,则x-y的值为 《跟踪专练1】若a5,，b=5中，则a+b+ab的值是人)】 2 A.2 B.4 C.5 D.7 【跟踪专练2】已知=V5+1,求代数式4x+4r-9r2-2x+10的值为 【题型15.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小：7√6_67（填“>”或<”）. 【跟踪专练1】己知m=3√2，则下列数中比m大的是() A.25 B.4 c.√17 D.2W5 【跟踪专练2】已知a= 5-1,6=3那么，b的大小关系是。b(填或者<）· 2 【题型16.二次根式的实际应用】 【典例】观察下列各式： 试卷第1页，共3页 *121- +=1+41 1+交+4 请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来」 【跟踪专练1】电流通过导线时会产生热量，电流1（单位：A)、导线电阻R(单位：2）、 通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足关系式Q=Pt.已知导线的电阻 为12,2s时间导线产生100J的热量，则电流I等于（) A.5A B.42A C.52A D.10A 【跟踪专练2.】小静设计了一个长方形，已知长方形的长为√140π，宽为√35π.她又想设 计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 5 强化巩固 1.在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码， 其单项式依次为：2a,4√2a2,6√5a3,84a,105a5..,则第n个单项式是（) A.2nvna" B.2nvn+la' C.2(n+1)na" D.2(n-1)Vna"- 2.下列等式成立的是() A得=5B居-2得 c. D.(-2W5=10 3.比较大小：-√2 -3√2（填“>”“<”或“=”） 4.已知a+b=3+√2，a-b=3-√2，求代数式2a2-2b2的值是一 5.己知x=5+1,y=V5-1,则代数式x2-xy+y2的值为 6.若作××x2n+山，啊为（) 2n-1 试卷第1页，共3页 A.40 B.50 C.60 D.70 7.化简V2-8x+16-(V4-x的结果为() A.2x-6 B.0 C.6-2x D.2x+6 8.设m为正整数且m<126-V2 n+1,则n的值为() V2 A.6 B.7 C.8 D.9 9已知a+h=-5,ab=1,则bg+a5的值为（ A.23 B.5 C.-23 D.-5 10.观察下列等式： 京+=1+片3. 11 3412 前10个等式的和是」 1 山.已知m2-,n是m的小数部分.则m-2m+n+ 解答题 12.若y=1-x+√x-1+2,则2x+y是多少？ 13.计算： 2:图可 14.若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为C,化简： Vc2-4c+4- c2-4c+16. 巨+156 15.已知a-6+62-6b+9=0,求式子10aa而-5 的值 16.计算： 05-49a (2(25-+(2+2- 试卷第1页，共3页 17.古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量论》 一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a,b,G,记p=a+b+C,那 2 么三角形的面积S=Vpp-a)(p-b)(p-c).此公式称为海伦公式。 思考运用：己知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB=7m,AC=5m,BC=8m, 你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到0.1m2,参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73， √5≈2.24)？ I8.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D. >D (1)若∠D=20°，则∠BAC的度数为· (2)求证：LBAC=2LD. (3)已知∠D=22.5°，AC=√5，求BC的值. 试卷第1页，共3页