第八章整式乘法预习讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下学期（6大知识点+19题型解读+24强化巩固）

2025-2026学年七年级下册数学第8章 整式乘法预习讲义（苏科版）（6大知识点+19题型解读+24强化巩固） 01 思维导图 02知识速记 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 1. 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误是:将系数相乘与指数相加混淆； 2. 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 3. 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 4. 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 5. 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即（a+b+c）m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 1单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 2运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 3在混合运算时，要注意运算顺序。 知识点03多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘：． 知识点04平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a-b）=a2-ab＋ab-b2=a2-b2， （a＋b）（a-b）=a2-b2． （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 知识点05 完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 知识点06平方差和完全平方差的区别 平方差公式：（a＋b）（a-b）=a2-ab＋ab-b2=a2-b2 完全平方差公式：（a-b）2=a2-2ab＋b2． 03题型归纳 题型解读1：计算单项式乘单项式 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 变式2．计算： (1)． (2)． 题型解读2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 变式1．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 变式2．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 题型解读3单项式乘多项式及求值 例3．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 变式1．当时， ． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型解读4单项式乘多项式的应用 例4．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 变式1．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 变式2．如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 题型解读5单项式乘多项式求字母的值 例5．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 变式1．已知中不含x的二次项，则 ． 变式2．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型解读6计算多项式乘多项式 例6．计算： (1) (2) 变式1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 题型解读7多项式乘多项式---化简求值 例7．若，则p、q的值是（   ） 变式1．把多项式因式分解得，则 ， ． 变式2．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 题型解读8已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8．若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 变式1．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 变式2．先化简再求值：，其中且． 题型解读9多项式乘多项式与图形面积 例9．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 变式1．若将展开的结果中不含有x项，则a值是 ． 变式2．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 题型解读10多项式乘法中的规律性问题 例10．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 变式1．观察下列各式 ①你能否由此归纳出一般性规律： ②根据①求出： 变式2．南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)利用上面的规律计算：． 题型解读11关于整式乘法的混合运算 例11．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 变式1．当时，代数式的值为 ． 变式2．计算： (1) (2) 题型解读12运用平方差公式进行运算 例题12．计算得（　　） A． B． C． D． 变式1．任意的代数式，我们规定一种新运算：．计算 ． 变式2.观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 题型解读13平方差公式与几何图形 例题13．如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（    ） A． B． C． D． 变式1.如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 变式2．如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 题型解读14运用完全平方公式进行运算 例题14．下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 变式1．若，，则的值为 ． 变式2．先化简，再求值：，其中． 题型解读15完全平方公式变形求值 例题15．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 变式1若，则的最小值为 ． 变式2.已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 题型解读16完全平方公式在几何图形中的应用 例题16．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 变式1.如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 变式2.如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，，ab之间的一个等量关系________； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为136，点E，点F在边AB上，若，求图中阴影部分的面积． 题型解读17完全平方公式中的字母系数 例题17．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 变式1.若是一个完全平方式，则实数的值为 变式2. 所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 题型解读18完全平方式在几何图形中的应用 例题18．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 变式1．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    变式2．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 题型解读19关于乘法公式中的混合运算 例题19．，则（　　） A． B． C． D． 变式1．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 变式2.先化简，再求值： 其中 04强化巩固 一 一、单选题 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．计算： （    ） A． B． C． D． 4．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ∴，故①正确； 6．（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 二、填空题 7．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 8．若实数x满足，则 ． 9．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 10．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 11．若等式（）成立，则有理数k的值是 ． 12．如图，长方形的面积为48．分别在上，并且，那么的面积是 ． 三、解答题 13．化简： (1) (2) (3) 14．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 15．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 16．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 17．如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 18．计算图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学第8章 整式乘法预习讲义（苏科版）（6大知识点+19题型解读+24强化巩固） 01 思维导图 02知识速记 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 1. 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误是:将系数相乘与指数相加混淆； 2. 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 3. 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 4. 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 5. 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即（a+b+c）m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 1单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 2运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 3在混合运算时，要注意运算顺序。 知识点03多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘：． 知识点04平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a-b）=a2-ab＋ab-b2=a2-b2， （a＋b）（a-b）=a2-b2． （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 知识点05 完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 知识点06平方差和完全平方差的区别 平方差公式：（a＋b）（a-b）=a2-ab＋ab-b2=a2-b2 完全平方差公式：（a-b）2=a2-2ab＋b2． 03题型归纳 题型解读1计算单项式乘单项式 例1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项、单项式的乘法运算，关键是熟练掌握运算法则； 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A：，符合单项式乘法法则，计算正确； ∵ 选项B：，计算错误； ∵ 选项C：与不是同类项，不能合并，计算错误； ∵ 选项D：，计算错误； ∴ 正确答案是：A， 故选：A． 变式1．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 变式2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的法则，注意同底数幂相乘的运算法则． 题型解读2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 变式1．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 变式2．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 题型解读3单项式乘多项式及求值 例3．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 ． 右边， ∴□内应填写． 故选：A． 变式1．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，代数式求值．先将代数式展开并合并同类项，得到简化形式后，再代入数值进行计算． 【详解】解：原式   ； 当，，时， 原式． 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型解读4单项式乘多项式的应用 例4．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 变式1．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 变式2．如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)96平方米 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积． 【详解】（1）解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； （2）解：当米，米时， 房子的面积（平方米）， 答：房子的面积为96平方米． 题型解读5单项式乘多项式求字母的值 例5．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 变式1．已知中不含x的二次项，则 ． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案． 【详解】解：∵中不含x的二次项， ∴中，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 变式2．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型解读6计算多项式乘多项式 例6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【详解】（1） ． （2） ． 变式1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 变式2．嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 题型解读7多项式乘多项式---化简求值 例7．若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 通过多项式乘以多项式展开左边并比较系数，即可得到p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较系数得：，. 故选：A 变式1．把多项式因式分解得，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 先把展开成多项式，再根据多项式相等可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵多项式因式分解得， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 变式2．回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 题型解读8已知多项式乘积不含某项求字母的值 例8．若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 变式1．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 变式2．先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 题型解读9多项式乘多项式与图形面积 例9．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．若将展开的结果中不含有x项，则a值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，按照多项式乘多项式法则展开，再根据展开的结果中不含有x项即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解： ， ， ∵展开的结果中不含有x项， ∴， ∴， 故答案为：6． 变式2．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知多项式与的乘积中不含项和x项，试求m和n的值． 【答案】（1），   （2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值； （1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，然后代入a的值即可． （2）先根据整式的乘法展开合并，根据不含项的系数为求出m和n的值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵多项式与的乘积中不含项和x项， ∴， 解得． 题型解读10多项式乘法中的规律性问题 例10．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 变式1．观察下列各式 ①你能否由此归纳出一般性规律： ②根据①求出： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，解题的关键是根据给出的等式抽象概括出相应的规律：根据已有等式得到，将转化为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：①由题意，可知：； ②； 故答案为：①；②． 变式2．南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律，解题关键是通过观察杨辉三角的构造特点，总结出二项式展开式的项数、系数规律并加以应用． （1）根据杨辉三角“每个数等于上方两数之和”的规律，计算括号内的数； （2）先由杨辉三角总结出展开式的项数规律，再结合“展开式中对称位置系数相等”及“第3项系数的推导公式”，求出指定项数与系数； （3）将式子与二项式展开式形式对应，利用的展开式逆用计算结果． 【详解】（1）由“杨辉三角”可知， 每一个数是肩上的两数之和（最两侧的数除外）， 则， 所以括号内的数为6． 故答案为：6． （2）由题知， 因为展开式共有3项，展开式共有4项，展开式共有5项，…， 所以展开式共有项． 当时， 展开式共有21项． 根据“杨辉三角”中每行数的特征可知， 展开式中第19项系数与第3项系数相等． 因为展开式第3项系数为1，展开式第3项的系数为3，展开式第3项的系数为6，…， 所以展开式第3项的系数为． 当时， ， 所以展开式中第19项系数为190． 故答案为：，． （3）由题知， ， 则令，得， ， 所以． 题型解读11关于整式乘法的混合运算 例11．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 变式1．当时，代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故答案为：3． 变式2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、整式乘除混合运算、多项式乘多项式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后运用整式的乘除混合运算法则计算即可； （2）直接运用多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型解读12运用平方差公式进行运算 例题12．计算得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，正确原式乘以构造平方差公式是解题的关键． 将原式乘以，即可利用平方差公式进行求解． 【详解】解： ， 故选：B． 变式1．任意的代数式，我们规定一种新运算：．计算 ． 【答案】 【分析】本题在新定义下考查了整式的混合运算，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 按照规定的运算方法把化为，利用平方差公式和整式乘法计算整理即可． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故答案为：． 变式2.观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 题型解读13平方差公式与几何图形 例题13．如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 图（2）中阴影部分的面积为， 因此有． 故选：C． 变式1.如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． 变式2．如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 【答案】(1)小圆的直径为， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）由图易得小圆的直径为，然后根据圆的面积公式及平方差公式可进行求解； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小圆的直径为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：把代入（1）中代数式得： ． 题型解读14运用完全平方公式进行运算 例题14．下列式子：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即，对每个式子进行变形验证． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确． ∴①②③均正确， 故选：A． 变式1．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，将两个已知等式相减，可得，即得，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 变式2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘方的性质、非负数的性质、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，再根据乘方的性质、非负数的性质求得x、y的值，进而代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，即． 当时，原式． 题型解读15完全平方公式变形求值 例题15．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 变式1若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式转化为两个完全平方式与常数之和的形式，根据非负性求最小值． 【详解】解：原式 由于平方项非负，当且时，取最小值， 故答案为：． 变式2.已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ； （3），， ． 题型解读16完全平方公式在几何图形中的应用 例题16．有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，先观察图形，根据总面积不变，进行列式计算，然后分析，即可作答． 【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积 即； 方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是 故选：C． 变式1.如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 变式2.如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，，ab之间的一个等量关系________； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为136，点E，点F在边AB上，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；（2）利用（1）的结论进行解答即可； （3）设，，则，，根据，求出，再根据，求出，然后通过即可求解． 【详解】（1）图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； 故答案是：． （2），， ， ； （3）设，，则，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 题型解读17完全平方公式中的字母系数 例题17．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式应可化为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 可设为， 比较系数得：， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 变式1.若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 变式2. 所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 题型解读18完全平方式在几何图形中的应用 例题18．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解． 【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0） ∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式， ∴x为4， 故选C 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 变式1．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【答案】12 【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 变式2．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 题型解读19关于乘法公式中的混合运算 例题19．，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先将原式变形为，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 变式1．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，理解新定义并熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据新运算的规则，可得： ． 故答案为：． 变式2.先化简，再求值： 其中 【答案】， 0 【分析】本题考查了整式的化简求值， 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 04强化巩固 一 一、单选题 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂除法，有理数乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则，同底数幂除法运算法则，有理数乘方运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故 B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 3．计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 4．计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 5．关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． ①设，然后系数对应求出，，代入即可判断①；②根据多项式A与B的乘积中不含项得到，求解即可判断②；③首先求出当时，，当时，得到，进而求解即可． 【详解】解：①当B能被整除时， 设 ∴， ∴，故①正确； ②当多项式A与B的乘积中不含项时， ∴ ∴ ∴，故②正确； ③∵ ∴当时， 当时， ∴ ∴，故③正确误． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 6．（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】解：当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：B． 二、填空题 7．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 8．若实数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与多项式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 9．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 10．对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 11．若等式（）成立，则有理数k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则把展开，结合已知可得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 12．如图，长方形的面积为48．分别在上，并且，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，则，结合四边形是长方形，得，再整理得出的代数式，再运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵长方形的面积为48． ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 则，， ∵， ∴， 则 ∴ ∴的面积是， 故答案为： 三、解答题 13．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 15．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 16．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 17．如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 【答案】(1)平方米 (2)万元 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积． （1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题； （2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为： 平方米； （2）解：，， 网红打卡直播大舞台的面积为 （平方米）； 修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米， 修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）． 18．计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘 法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $