精品解析：山东省日照市岚山区2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级阶段性学情分析数学卷 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．将每个选项的比例式转化为等积式，然后逐一判断这些等积式是否与题目中的等式一致即可． 【详解】解：A、∵，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴，故选项D不符合题意； 故选：B． 3. 若实数满足，则关于 的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 关于 的方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 下列说法正确的有（ ） ①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦相等，所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弦长为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理及其推论，解直角三角形，圆心角、弧、弦的关系．先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据垂径定理，解直角三角形对④进行判断． 【详解】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②说法错误； ③同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③说法错误； ④如图，过点O作于C， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故在半径为4的圆中， 的圆心角所对的弦长为，所以④说法正确， 说法正确的只有1个， 故选：A． 5. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于， 两点，．若矩形的面积为8，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质． 根据反比例函数的性质和矩形的性质可得，，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即轴，轴， ∵， ∴点 的横坐标为2，点的纵坐标为1， ∵反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于， 两点， ∴点 的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】解：A、在中，，故此选项不符合题意． B、在中，，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在平行四边形 中，E是 上一点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，先利用平行四边形的性质得到，，则由得到，然后证明，再利用相似比可计算出的长． 【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 8. 如图，在等边 中，为 边上一点， 为 边上一点，且．若，，则 的边长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程．设 的边长为 ，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设 的边长为 ，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即 的边长为12， 故选：C． 9. 如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为 ，根据这个统计图可知， 应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为 ， 依题意得：， 故选： ． 10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， 在△POE和△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM=NF，PM=PN，故①正确， ∴S△PEM=S△PNF， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确， OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点和关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标特征，根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为． 12. 若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是：，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长是解题的关键． 根据圆锥的侧面积为，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13. 如图，点A，B，C，D在 上，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴ 为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，，分别切 于A，B两点，，点C是 上一点，则 的度数为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和．根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后分两种情况，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，当点 在优弧上时， ∵分别与 相切于两点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 15. 如图，二次函数的图象与 轴交于点，与 轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据开口方向、对称轴，与y轴的交点的位置即可判断①；根据二次函数的对称性和图象上点的坐标特征即可判断②；根据二次函数的对称性和增减性即可判断③；通过求得，由，即可判断④． 本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 【详解】解：①∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∴， ∵二次函数与 轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ，故①错误； ② 抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ，故②正确； ③∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，点是函数图象上的两点，且， ，故③正确， ④∵抛物线与x轴交于点， ∴，， ， ， ， ， ，故④正确 故答案为：②③④． 16. 如图，在正方形 中，，以边 为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形 为正方形，， 为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，即 ∵ ∴当三点共线时，最小，， 则：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，解一元二次方程． （1）分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并同类二次根式即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项得， 配方得，即可， 开方得， 解得，． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：______，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）；； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得 的值，用调查的人数乘以的频率可得 的值，用乘以 的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，， C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：（人） 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 19. 如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作： ①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点 为位似中心，将放大，得到，使与对应边的比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标：________； （3）请直接写出点旋转到点所经过的路线长________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作位似图形与旋转图形，求弧长； （1）根据旋转变换的条件以及位似变换的条件作出图形， （2）根据图象即可写出点坐标． （3）根据弧长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求， 【小问2详解】 解：由图象可知， 故答案为：． 【小问3详解】 解：点旋转到点所经过的路线长 故答案为：． 20. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求； （3）结合图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）； （2）1 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的性质，求正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，进而求解； （2）由一次函数解析式求 点坐标，再求 、 ，可证明 是等腰直角三角形，再利用正切函数的定义即可得解； （3）根据图象，找到的图象在的图象上方时， 的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得， ∴， ∵点的纵坐标为， 令，解得， ∴， 把、代入，得： ， 解得， ∴， 综上所述，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， 则， ∴在中，， ∴ 是等腰直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或． 21. 如图， 内接于 ， 为 的直径，于点D，将沿 所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线 翻折得到， ∴，， ∵是 的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为 的半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是 的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 22. 【问题感知】如图，点是 的边 上的一点，连接 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．若，则（不用证明）； 【问题解决】 （1）填空：①若，则 （填数字）； ②若，则 （填数字）； … （2）论证：证明①的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则 （用含n的式子表示，不用证明） 【答案】（1）①；②；（2）见解析；猜想： 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）根据【问题感知】即可得出①和②的结论； （2）过点作交 于点 ，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论； 【猜想】 结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【详解】解：（1）①若，则， 故答案为：； ②若，则， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作交 于点 ， ∴，， ∵点 是 的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【猜想】 解：∵， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 如图，已知点，，抛物线l：，直线n：． （1）当时，二次函数有最大值是1，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段 有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）或5 （2）； （3）当或时，抛物线l与线段 有公共点． 【解析】 【分析】（1）先求得顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，求得当时，二次函数有最大值是2，不符合题意，再分和两种情况讨论，然后求解即可； （2）抛物线l的最高点正好落在直线n上，即该抛物线的对称轴为，然后求解即可； （3）首先计算当抛物线经过点A，B时的m值，然后结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线l：， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， 当时，； 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，二次函数有最大值是2，不符合题意， ∴分以下两种情况讨论： 当时，取得最大值， ∴，解得， ∴； 当时，取得最大值， ∴， 解得或， ∴， 综上可知，的值为或5； 【小问2详解】 解：∵抛物线l的最高点正好落在直线n上， ∴该抛物线的对称轴为． 解得． ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． 【小问3详解】 解：设该抛物线与线段 的交点为M， 当抛物线经过点时， 由（1）可知，． 当抛物线经过点时， 可知． 解得． ∵， 即该抛物线对称轴为， 当该抛物线的对称轴位于点M右侧时，如下图， 可有． 当该抛物线的对称轴位于点M左侧时，如下图， 可有． 综上所述，当或时，抛物线l与线段 有公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，增减性，二次函数与方程、与不等式的关系，数形结合，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性学情分析数学卷 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数满足，则关于 的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 下列说法正确的有（ ） ①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③弦相等，所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弦长为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于， 两点，．若矩形的面积为8，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 6. 如图，在中，，过点 作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中，E是 上一点，若，，则 的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 8. 如图，在等边 中，为 边上一点， 为边上一点，且．若，，则 的边长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 9. 如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为 ，根据这个统计图可知， 应满足（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点和关于原点对称，则________． 12. 若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为____． 13. 如图，点A，B，C，D在 上，，，则的值为______． 14. 如图，，分别切 于A，B两点，，点C是 上一点，则的度数为________． 15. 如图，二次函数的图象与 轴交于点，与轴的交点 在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有____． 16. 如图，在正方形 中，，以边 为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，，则的最小值是________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空： ______， ______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 19. 如图，点 的坐标为，点 的坐标为，作如下操作： ①以点 为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到； ②以点 为位似中心，将放大，得到，使与对应边的比为，且点在第三象限． （1）在图中画出和； （2）请直接写出点的坐标：________； （3）请直接写出点 旋转到点所经过的路线长________． 20. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求； （3）结合图象直接写出当时，x的取值范围． 21. 如图， 内接于 ， 为 的直径，于点D，将沿 所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 【问题感知】如图，点是 的边 上的一点，连接 ，点 是 的中点，连接 并延长交于点 ．若，则（不用证明）； 【问题解决】 （1）填空：①若，则 （填数字）； ②若，则 （填数字）； … （2）论证：证明①的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则 （用含n的式子表示，不用证明） 23. 如图，已知点，，抛物线l：，直线n：． （1）当时，二次函数有最大值是1，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段 有公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $