精品解析：山东省枣庄市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考卷（12月份）

2025-2026九年级第三次阶段性教学质量诊断 数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 时间：2025年12月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出坐标，代入函数解析式即可求出k． 【详解】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，3）， 将（1，3）代入反比例函数， 可得：k=1×3=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键． 2. 如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 先证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3. 角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 4. 如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k． 【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）． ∵S△AOB＝S△BOC， ∴AB＝BC． ∵△AOB的面积为1， ∴OA•OB＝1， ∴OA＝， ∵CD∥OB，AB＝BC， ∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a， ∴C（，2a）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C， ∴k＝×2a＝4． 故选D． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键． 5. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， 可知AE=DC=150，EC=AD=1.5， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 6. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可． 【详解】解：∵，a＝－1＜0， ∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下， ∴（3，），（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3<5， ∴>， 根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值． 【详解】解：如图，连接．则，． 都是正方形的对角线， ． ∴，． ，是直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（ ） A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6 【答案】C 【解析】 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 9. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答． 【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0， ∴a﹤0，b﹥0， 由反比例函数图象知：c﹥0， ∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴， 对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征． 故选：B· 【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键· 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 12. △ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是_____． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 则，， 故，， 则，即的形状是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 13. 已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断比例系数的正负，再根据反比例的性质，确定a的不等式，并解不等式便可． 【详解】解：∵y＝中，k=1＞0， ∴在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小， ∵a-1＜a+1，＞， ∴点A，B不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上． ∴a-1＜0，且a+1＞0， ∴-1＜a＜1， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是根据反比例函数的性质列出a的不等式． 14. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故此选项正确； ②当x=－1时，y=a－b+c＜0，故a+c＜b，错误； ③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x==1，即b=﹣2a，代入得9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确； ④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确． 故③④正确． 故答案为①③④． 16. 如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，，若的面积为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，则的坐标为，，由点D在反比例函数的图象上，可得，继而根据进行求解即可得. 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为，则的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，抛物线与直线交于点和点 （1）求和的值 （2）求点的坐标，并结合图像写出不等式的解集 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）根据图像可知直线在抛物线下方的两段区间是或者；因此得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线经过点 ∴将代入解得： 解得： ∴将代入解得： ∴ ∴， 【小问2详解】 解：∵根据图像可知抛物线与直线有两个交点， ∴ ∴解得：， ∴ ∴ ∵图像可知直线在抛物线下方的范围是：或者 ∴不等式的解集:或者 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点；函数与方程；函数与不等式等方面的知识点，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． 19. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）能，理由： 设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）略 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。 20. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． 由题意得，由题意知．则．由P，O，C三点在同一条直线上，可得．则．设，则，由勾股定理得，，可求，则．根据，计算求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． 由题意，可得． ∴． ∵P，O，C三点在同一条直线上， ∴． ∴． 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． ∴． 答：的长约为． 21. 九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 【答案】（1）1， 补全图象如图所示： （2）①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查反比例的图象和性质． （1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可； （2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质； （3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案； （4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当时，即，解得， 故点A、B的坐标分别为、，则， 则； 故答案为：1； 【小问4详解】 解：当时，联立得， 整理得， 解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与交于点E， 则、，， ∴， 故答案为：． 22. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答． 【详解】（1）∵与满足一次函数关系. ∴设与的函数表达式为 . 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数表达式为. （2）由题意，得. ∴与之间的函数表达式为. （3）. ∵，∴抛物线开口向下. 由题可知：， ∴当时，有最大值，元. 答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； 【小问2详解】 解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级第三次阶段性教学质量诊断 数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 时间：2025年12月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ） A. 3 B. C. -3 D. 2. 如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 3. 角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 6. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（ ） A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6 9. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 12. △ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC的形状是_____． 13. 已知反比例函数y＝的图象过点A（a-1，y1），B（a+1，），若＞，则a的取值范围为__________ 14. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_____． 16. 如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，，若的面积为3，则的值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，抛物线与直线交于点和点 （1）求和的值 （2）求点的坐标，并结合图像写出不等式的解集 19. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 20. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 21. 九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 22. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $