重庆市九龙坡区2025-2026学年九年级上学期期末自编模拟数学试题（一）

2025—— 2026学年教育质量全面监测（中学）九年级（上） 数学试题（模拟一） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面， 都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是() %-S D 2.下列事件是必然事件的是() A.没有水分，种子发芽了 B.任意画一个三角形，其内角和是180° C.买一张彩票，一定会中奖 D,经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3.已知二次函数y=x2-3x+1,当x=2时，y的值为() A.-1 B.-3 C.3 D.11 4.已知反比例函数y=5-2(x<0中，y随x增大而增大，则a的取值范围为（) A.a<0 B.a>2 5 C.ass 2 D.deg 5.已知a<-1,点(a-1,),(a,y2),(a+1,y)都在函数y=3x2+2的图象上，则() 九年级数学试题第1页共8页 A.y<y2<y3 B.y<v3<y2 C.2<y<y3 D.y3<y2<M 6.已知反比例函数y=C(a≠0)的图象如图所示，则函数y=ax2-a的大致图象为() 0 7.某超市一月份的营业额为200万元，己知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月 比上一个月的增长率都相同，均为x,则由题意列方程应为() A.2001+x)2=1000 B.200+200.2x=1000 C.200+200.3x=1000 D.2001+1+x)+1+x)]=1000 8.如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6,分别以AB,AC,BC为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积是() A.’-96 B.9元-9√5 C.6π-6W3 D.10m-6N5 2 3 9.如图，在正方形ABCD中，M,N分别为CD,BC边上的点，且AM⊥DN,AM与DW 交于点P,连接AN,Q为AN中点，连接P,若AB=15,DM=7,则P9的长为() D M C P N O A A.7 B.17 2 C.9 D. 3 九年级数学试题第2页共8页 10.己知整式M:ax”+an-x”1+ax+a。,其中a,a-1,a,4为整数，a≠0，n为 正整数，且a+4-+…+a+a+n=4,下列说法： ①不存在任何一个n,使得满足条件的整式M为二次三项式： ②若a.≥a-1+a-2+…+4+4,则满足条件的整式M之和为2x2-3x-5; ③满足条件的整式M共有22个；其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接 填在答题卡中对应的横线上。 11.己知2是关于x的方程x2+m-3a=0的根，则a的值为 12.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转100°，得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上， 则∠CAD的度数为 E B 13.如图，O是坐标原点，点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，AB1x轴于点8，若 △AOB的面积为5，则k的值为一 YA B 14.有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是 左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套， 恰好配成大小相同一套的概率是 15.图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转 方式.图2中，发球机从中线OB的端点O的正上方0.25m处的A点发球，乒乓球呈抛物线 在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M,其高度为0.45m,以O为 九年级数学试题第3页共8页 原点，OB,OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.记图2中球的落点为点E, 则OE的长为 m 图1 图2 16.若二次函数y=x2-3x+m-5与x轴有两个不同交点，且关于y的分式方程 4=3的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是 y-22- 17.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B和对角线交点F均在OO上，OO与BC相切于 点B,边AD经过圆心O且交OO于点E,若半径OA=√2，则线段AB=,线段 DE= E B l8.我们规定，一个四位正整数M=abCd,若满足a+c=b+d,则称这个四位数为“和同 数”.例如：四位数3652，因为3+5=6+2，所以3652是“和同数”.按照这个规定，最小的 “和同数是 ·一个“和同数”M=abca,将其千位数字与百位数字调换位置，十位数 字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数M=b,记F(M)=M-M 891, GM)=M+M,若2PM)+5h+7被3除余2，且GM0被7整除，则满足条件的正整数 11 a+b M的和是 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助 线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19.解方程 (1)用配方法解方程：x2+4x-2=0 (2)用公式法解方程：2x2-x=6 九年级数学试题第4页共8页 20.百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包'AI聊天机 器人（以下简称B款）·有关人员开展了A,B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验， 并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等 级：不满意x<70,比较满意70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90)，下面给出了部 分信息： 抽取的对A款设备 的评分扇形统计图 比较满意 ao 满意 ,不满意 10% 非常满意 抽取的对A款A聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84,86,86,87,88,89 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98,98,98,98,99,100: 抽取的对A,B款AI聊天机器人的评分统计表 设 平均 中位 衣 “非常满意”所占百分 备 数 数 数 比 A 88 6 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= b= ，C= (2)根据以上数据，你认为哪款A虹聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即 可)： (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进 行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 九年级数学试题第5页共8页 21.如图，己知点A,B,C在OO上，E是BA延长线上一点，请用尺规完成基本作图： 作出∠EAC的角平分线AD交OO于点D,连接BD,CD,猜想线段BD与CD的数量关系， 并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：，四边形ABCD为OO内接四边形， .∠BAD+①=180°， ,∠BAD+∠EAD=180°， .②， ,'AD平分∠CAE, B .③， ∴∠BCD=∠CAD, 又，·④（同弧所对的圆周角相等）， ∠BCD=∠CBD, .BD=CD. 22.某商店销售A、B两种款式的水杯.己知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年 九月份A款水杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量是A 款水杯的1.2倍. (1)求A、B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对A款水杯进行降价促销：已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款 水杯的进价比A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只： B款水杯售价和销量都和九月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款 水杯降低了多少元？ 23.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E是BC的中点，动点P从A出发，以每秒1个 单位长度的速度沿折线A→D→C运动，同时动点Q从E出发，以每秒0.5个单位长度的速 度沿折线E→C→D运动，当P、Q两点相遇时，立即停止运动.设运动时间为x秒 九年级数学试题第6页共8页 (0<x<6),△PBQ的面积为y,线段AD的长与点Q的运动路程之比为y2· 9 8 7 6 Q 5 E 1 32 1 B 0123456789 图1 图2 (1)请直接写出，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y,y,的图象，并写出函数y的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当乃>2时x的取值范围.（近似值保留小数点后一位，误差 不超过0.2) 24.已知一次函数片=分+2与反比例函数y-生k≠0)的图象交于4亿刚.9两点，交y 1 轴于点C. 备用图 (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标： ®减直接写出不等式号+2的解架。 (3)若点A关于原点的对称点为A',求△AAB的面积： (4)点P在y轴上，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P,则点P的坐标为 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-(x-)+k与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C(0,5),抛物线的对称轴为直线x=2. 九年级数学试题第？页共8页 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交BC于点，点 D,E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE=2,连接DN,AE.当N=4 时，求点N的坐标及AE-DW的最大值： (3)在(2)的条件下，将点M沿射线BC方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线 对称轴上的一动点.若∠QBA=∠PMO-45°，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并 写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程. 26.在△ABC中，AB=AC,将线段AB绕点B逆时针旋转一定角度至线段BD,连接CD, 过点A作AE⊥BC交BC于点E. D D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=45°，∠ABD=135°，且AB=√2，连接DE,求线段DE的长度； (2)如图2，若∠ABD=120°，在CD上取点F,若∠FBC=30°，求证：DF=FC; (3)如图3，若∠ABC=60°，∠ABD=150°，AB=2,点P在射线DB上，点Q在射线BA上， 且DP=BQ,连接CP,CQ,当CP+CQ最小时，直接写出此时点E到CP的距离的平方 九年级数学试题第8页共8页模拟（一）答题卡 注意事项 姓名： 班级： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填 准考 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 证号 准考证号、座位号及科类名称。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综 合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 贴条形码区 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 6cm×3cm 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 (正面朝上，切勿贴出方框) 破。 填涂 正确填涂 错误填涂 /×O 0● 样例 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 ▣ 一、选择题 1 [AD 5A▣B□CD 9A□B□CD□ 2A□B□C□D 6A□B□CD 10A▣B□C□D 3AB□CD 7AB□C回D 4AB□C☐D□ 8A□B□C□D 二、填空题 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题 19.解方程： (1)x2+4x-2=0 (2)2x2-x=6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20 (1)a=,b=,c=: (2) (3) 21. ① ② ③ ④ E B O. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22 23.(1) K9876 4 32 O123456789x 图1 图2 (2)函数的性质为： (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25. 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26. D B A 图1 D E y 图2 D A 图3《模拟一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C 0 B C 1.B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意： B.是中心对称图形，故此选项符合题意： C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B. 2.B 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的是必然事件，一定不会发生 的是不可能事件，可能发生也可能不发生的随机事件，进行判断即可. 【详解】解：A、没有水分，种子发芽了是不可能事件，不符合题意： B、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，符合题意； C、买一张彩票，一定会中奖是随机事件，不符合题意： D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意： 故选B. 3.A 【分析】本题考查了二次函数的值，将x=2代入二次函数解析式计算即可. 【详解】解：将x=2代入函数y=x2-3x+1中： y=x2-3.x+1=22-3×2+1=4-6+1=-1, 故选：A. 4.C 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数k的符号与函数在象限内增减性的关系 是解题关键. 当k<0时，在x<0的范围内，y随x增大而增大，由此建立不等式求解. 【详解】解：：反比例函数y=S-20在x<0时，y随x增大而增大， .系数5-2a<0, .5<2a,即a>2 5 故选：C. 5.D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的抛物线，可以得到函数图象 的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到y、y2、y的大小关系，从而 可以解答本题. 【详解】解：，抛物线y=3x2+2, ∴.该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大. a<-1, ..a-1<a<a+1<0, ∴.y3<y2<y, 故选：D 6.A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象 与系数的关系是解题关键」 根据反比例函数图象可得α>0，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与y轴 交点，确定函数图象即可. 【详解】解：“反比例函数y=C(a≠0)的图象位于第一、三象限， .a>0, .函数y=c2-α的图象开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：A. 7.D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用.第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相 同为x,分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程. 【详解】解：：一月份营业额为200万元，每月增长率为x, 二月份营业额为200(1+x)万元， 三月份营业额为200(1+x)万元， 第一季度总营业额为200+200(1+x)+200(1+x)2=2001+1+x)+(1+x)2]=1000, 方程为2001+1+x)+1+x)]=1000 故选：D 8.A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质及扇形的面积公 式，能将阴影部分的面积转化为求扇形面积和等边三角形面积是解本题的关键. 设D、E、F分别是△ABC各边中点，因为AB=AC=BC=6,所以DE=DF=EF=3, ∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，S偏形Dsr=S偏形DF=S偏形sD,又S阴影=3S扇形DEr-3SD8r+S.DEr, 求解即可. 【详解】解：如图，设D、E、F分别是△ABC各边中点， .AB=AC=BC=6, DE-DF-EF-IBC-TAC-1AB-3, 1 1 2 .∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°， ·S偏形DEr=S扇形EDF=S偏形ED, :S扇形DEr三 60元.323元 3602 √5DE25x329V5 4 4 4 ∴.S阴影=3S偏形Dgr-3SDEr+SDgF 93 =3×3π-2× 2 4 - 9.9V5 22 故选：A. 9.B 【分析】根据题意得∠APD=∠MPD=∠APN=90°，由正方形性质得 AB=BC=CD=DA=15,∠ADC=∠BCD=∠B=90°，然后通过同角的余角相等得 ∠DAM=∠CDN,进而证得△MAD≌△NDC(ASA),根据全等三角形的性质得到 DM=CN=7,通过勾股定理求出AN,最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 即可 【详解】解：：AM⊥DW ∴.∠APD=∠MPD=∠APN=90° :四边形ABCD是正方形 .AB=BC=CD=DA=15,∠ADC=∠BCD=∠B=90°， ∴.∠DAM+∠AMD=90°，∠ADP+∠CDN=90°，∠CDN+∠CND=90°， ∠AMD+∠CDN=90° ∴.∠DAM=∠CDN 在△MAD和△NDC中， ∠DAM=∠CDW AD-CD ∠MAD=∠NDC .AMAD≌△NDC(ASA) .DM=CN=7 .NB=BC-CN=15-7=8 .AW=√152+82=17 :2为AN的中点 -4w-, 故选：B. 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直 角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 10.C 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析 给定条件是解题的关键， 根据给定的条件逐条分析判断即可. 【详解】解：根据题意，a+a-++a+a+n=4,且n为正整数，a,≠0， 说法①，若为二次式，则n=2,则M:a2x2+ax+a, ∴lal+a+a+2=4, 即la+lal+la,l=2, a。,a-1,.a,a为整数，an≠0，n为正整数， .42=±2,41=0,4=0；或42=±1,4=±1,4=0；或42=±1,4=0，a=±1， ∴.M:4,x2+4x+a只有两项或一项， 故不存在任何一个n,使得满足条件的整式M为二次三项式， 故①说法正确： 说法②：当n=1时和n=2时，整式M的最高次为2， 当n=3时，a+a+a+a=4-3=1, ∴.a=1,a,=0,a=0,a=0, 43≥4。=0， .4=3, .整式M为：x3, .满足4。≥a41+4-2++4+4的整式之和必有x3出现，故②说法错误： 说法③：由上述分析可知，当n=1时，可能的整式M为：x+2,x-2,-x+2,-x-2, 2x+1,2x-1,-2x+1,-2x-1,3x,-3x共10个： 当n=2时，可能的整式M为：x2+x,x2-x,-x2+x,-x2-x,x2+1,x2-1,-x2+1, -x2-1,2x2,-2x2共10个： 当n=3,可能的整式M为：x,-x3共2个， .满足条件的整式M的个数有10+10+2=22个 故③说法正确： 正确的个数为2个， 故选：C 11.4 【分析】将x=2代入x2+ar-3a=0得，22+2a-3a=0,计算求解即可. 【详解】解：将x=2代入x2+am-3a=0得，22+2a-3a=0,解得，a=4, 故答案为：4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根.解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的定义， 12.80°/80度 【分析】此题考查了旋转的性质，等边对等角，首先由旋转的性质得到∠ABE=100°， AB=EB,∠CAB=∠E,然后求出∠BAE=40°，∠CAB=∠E=40°，进而求解即可. 【详解】解：，将△ABC绕点B逆时针旋转1O0°，得到△EBD, .∠ABE=100°，AB=EB,∠CAB=∠E, ∠BAB=B-号80-∠AB8)-40, ..∠CAB=∠E=40°， ∴.∠CAD=∠CAB+∠BAD=80°. 故答案为：80°. 13.-10 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，熟记反比例函数k的几何意义是解决问题的关 键。 设4(u川，由题意可得S08AB=方” 1 n=5,得到m=-10,从而由反比例函数 图象与性质得到k=m=-10. 【详解】解：设A(,n), ABLx轴于点B, :OB=-m,AB=n, 则SAo8= 0B.4B--1 2, △AOB的面积为5， n=5,则m=-10, 2 :点A(m,m在反比例函数y=(x<0)的图象上， .k=w2=-10, 故答案为：-10. 4 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键， 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 A D左 A炜 A左，A站 B左，A C左，A D东，A E左，A站 B右 A左，B右 B东，B右 C左，B右 D东，B右 E左，B右 C右 A,C右 B左，C右 C左，C右 D左，C右 E左，C右 D右 A左，D右 B左，D右 C左，D D左，D右 E左，D 卫右 A左，E右 B左，E右 C左，E右 D左，E右 E左，E右 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为： 51 255· 故答案为： 15.2.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值 的方法是关键。 根据题意，A(0,0.25),顶点坐标M(1,0.45),设二次函数解析式为y=a(x-1)2+0.45,运 用待定系数法可得二次函数解析式为y=-0.2(x-1)+0.45,根据函数值得到自变量的值， 由此即可求解. 【详解】解：根据题意，A(0,0.25),顶点坐标M(1,0.45), ∴.设二次函数解析式为y=a(x-1)2+0.45,把点A(0,0.25)代入得，a+0.45=0.25, 解得，a=-0.2, .二次函数解析式为y=0.2(x-1)2+0.45, 当y=0时，-0.2(x-1)2+0.45=0, 解得，x=0.5(不符合题意，舍去)，x2=2.5, ∴.OE=2.5m, 故答案为：2.5. 16.-14 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及分式方程的解法，熟练掌握二次函数的图象 与性质及分式方程的解法是解题的关键：由二次函数与x轴有两个不同交点可得判别式大于 零，求出m的取值范围；解分式方程得到y的表达式，根据解为非负整数且分母不为零得 到m的条件，综合可得符合条件的整数m值，最后求积即可. 【详解】解：二次函数y=xX2-3x+m-5与x轴有两个不同交点，则判别式 A=(3)-41x(列=29-4加>0，解得m<9，即m≤7(m为整数)， 解分式方程”，十，4=3，注意到2-y=-0-2),方程化为Ⅲ4=3， y-2'2-y v-2 解得y=+2 ，且y≠2（即u≠4）， 由于分式方程的解y为非负整数，故20且为整数，得m之-2且m+2为3的倍数， 结合≤7且m≠4，满足条件的整数m为-2,1,7， ∴.所有满足条件的整数m值之积为(-2)×1×7=-14： 故答案为-14 17. 2 √6-√2 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质等知识点，掌握圆的切线垂直于 经过切点的半径是解题的关键.如图：连接OB、OF,根据切线的性质得到OB⊥BC,根据 平行四边形的性质得到AD∥BC、BF=FD,得到OB⊥AD,根据勾股定理求出AB,再根 据直角三角形斜边上的中线的性质求出BD,最后根据勾股定理计算即可. 【详解】解：如图：连接OB、OF, E D B ,OO与BC相切于点B, .OB L BC, :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC、BF=FD, ∴.OB⊥AD .AB=OA'+OB'= 2+(2=2, 在Rt△BOD中，BF=FD, .BD=20F=2V5, 0D=VBD-o8=V22-=√6. .DE=OD-OB=√6-√2 故答案为：2，√6-√2. 18. 1001 2497 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识.根据“和 同数”的定义即可求出最小的“和同数”；由M=abca=l000a+l00b+10c+d, M=badc-100b+10a+10d+c,结合和同数的定义可得FM0=M-1M=a-b, 891 G(M)=M+M=100a+10b+c+d,进而得到2PM)+s6+7-2+b+7,可知+7能被 11 a+b atb atb 3整除，设+7=3(k为整数)， atb 则673k,结合GM0=100a+10b+c+d能被7整除，1≤a≤9,0≤b≤9，即可求解 【详解】解：要使正整数M=abcd最小，则a=l,c=0, .a+c=b+d, .d=a+c-b=1+0-b=1-b, 0≤b≤9,0≤d≤9， .b=0,d=1, .最小的“和同数”是1001： M=abcd=1000a+100b+10c+d,M=bad=1000b+100a+10d+c, ∴.M-M=(1000a+100b+10c+d)-(1000b+100a+10d+c)=900(a-b)+9(c-d), F(M)-M-M900(a-b)+9(c-d)_100 a-b)e-d) 891 891 99 又：a+c=b+d,即c-d=b-a, rm=10a-b)+c-d).99a-b)a-b, 99 99 :M+M'=(1000a+100b+10c+d)+(1000b+100a+10d+c)=11(100a+100b+c+d):. GM)）-4+M-100a+10b+c+d. 11 :FM=a-b,2FM)+5b+7被3除余2， a+b :2FM+5b+72(a-)+5b+7 ,b+7 =2+ a+b a+b a+b 即名乙能被3整除 设b47 3k(k为整数)， a+b 7-3ka 整理得b= 3k-1, :G(M)=100a+100b+c+d能被7整除，1≤a≤9,0≤b≤9， 当k=1时，b=7-30 2 当a=1时，b=2,此时c=b+d-a=2+d-1=1+d, G(M=100×1+100×2+d+1+d=301+2d,且301能被7整除， .2d能被7整除， .d=0或d=7, 当d=0时，c=1, .M=1210: 当d=7时，c=8, .M=1287: 当k=2时，b=7-6a 5 当a=2时，b=-1(不符合题意，舍去)； 模拟（一）答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 20 (1) ______，______，______； (2) (3) 21． ① ② ③ ④ 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25． 24． 26． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 《模拟一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D A D A B C 1．B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽了是不可能事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C、买一张彩票，一定会中奖是随机事件，不符合题意； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； 故选B． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与函数在象限内增减性的关系是解题关键． 当时，在的范围内，随增大而增大，由此建立不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在时，随增大而增大， ∴系数， ∴，即． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质及扇形的面积公式，能将阴影部分的面积转化为求扇形面积和等边三角形面积是解本题的关键． 设、、分别是各边中点，因为，所以，，，又，求解即可． 【详解】解：如图，设、、分别是各边中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．B 【分析】根据题意得，由正方形性质得，，然后通过同角的余角相等得，进而证得，根据全等三角形的性质得到，通过勾股定理求出，最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解： 四边形是正方形 ，， ，，， 在和中， 为的中点 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．C 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． 根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，且为正整数，， 说法①，若为二次式，则，则， ∴， 即， ∵，，…，为整数，，为正整数， ∴；或；或， ∴只有两项或一项， 故不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式， 故①说法正确； 说法②：当时和时，整式的最高次为2， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴整式为： ， ∴满足的整式之和必有出现，故②说法错误； 说法③：由上述分析可知，当时，可能的整式为：，，，，，，，，，共10个； 当时，可能的整式为：，，，，，，，，，共10个； 当，可能的整式为：，共2个， ∴满足条件的整式的个数有个 故③说法正确； ∴正确的个数为2个， 故选：C． 11．4 【分析】将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，，解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的定义． 12．/80度 【分析】此题考查了旋转的性质，等边对等角，首先由旋转的性质得到，，，然后求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，熟记反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 设，由题意可得，得到，从而由反比例函数图象与性质得到． 【详解】解：设， 轴于点， ， 则， 的面积为， ，则， 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 15．2.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． 根据题意，，顶点坐标，设二次函数解析式为，运用待定系数法可得二次函数解析式为，根据函数值得到自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，顶点坐标， ∴设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及分式方程的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质及分式方程的解法是解题的关键；由二次函数与x轴有两个不同交点可得判别式大于零，求出m的取值范围；解分式方程得到y的表达式，根据解为非负整数且分母不为零得到m的条件，综合可得符合条件的整数m值，最后求积即可． 【详解】解：二次函数与轴有两个不同交点，则判别式，解得，即（为整数）， 解分式方程，注意到，方程化为， 解得，且（即）， 由于分式方程的解为非负整数，故且为整数，得且为3的倍数， 结合且，满足条件的整数为， ∴所有满足条件的整数值之积为； 故答案为． 17． 2 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．如图：连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 18． 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．根据“和同数”的定义即可求出最小的“和同数”；由，，结合“和同数”的定义可得，，进而得到，可知能被整除，设（为整数）， 则，结合能被整除，，，即可求解． 【详解】解：要使正整数最小，则，， ， ， ，， ，， 最小的“和同数”是； ，， ， ， 又，即， ， ， ，被除余， ， 即能被整除， 设（为整数）， 整理得， 能被整除，，， 当时，， 当时，，此时，，且能被整除， 能被整除， 或， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 满足条件的正整数有、， 则满足条件的正整数的和是， 故答案为：，． 19．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握指定解法是解答本题的关键． （1）方程移项、配方、开方即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）将方程变形为一般形式，求出的值，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 这里， ， ∴， ∴，． 20．(1)15，，98 (2)款，理由见解析 (3)69人 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；． （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案． 【详解】（1）A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”“比较满意”共有（人）， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88，89， 中位数为，故， B款数据中，98出现4次，次数最多， B款众数为98，故， 故答案为：15，，98； （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）， 答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人． 21．作图见解析，，，，． 【分析】先作出作出的角平分线，然后通过圆周角定理得，又，则，再由圆周角定理得，再利用弧、弦、圆心角的关系即可求解． 【详解】解：作图如图， 证明：∵四边形为内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 22．(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 23．(1)， (2)图象见解析，的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． (3) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可； （2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可； （3）先求出和的交点，再根据图象求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为， 当时，， 当时，， ∴， ∵，的运动路程为， ∴． （2）解：函数，的图象如图所示， 如图，的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， 当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， ∴由图可知，当时，的取值范围约． 24．(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，从而可得答案； （3）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （4）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：根据图象的解集为：或； （3）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （4）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 故答案为：． 25．(1) (2)；的最大值为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，求出，即可列方程求解，求得；将点B向上平移2个单位得到点H，连接，，可证明，即得当点D在的延长线上时， 取最大值，求出最值即可； （3）先证明，再根据三角函数列方程求解，即得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， （）， ， ， 解得（舍去），， ， 将点B向上平移2个单位得到点H，连结，， 则，，， 四边形是平行四边形， ， 当点D在的延长线上时， 取最大值，最大值是的长， 此时，即最大值是； （3）解：或．理由如下： 过点M作，交x轴于点S， ，， ， ， ， ， ， ， 延长交x轴于点T， 则轴， ， ， ， ， 解得， 或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合性问题，二次函数与线段的综合性问题，用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 26．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意知，，，，由，可得，由旋转的性质可知，，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图1，延长到，使，作交的延长线于，证明，则，由旋转的性质可知，，，如图1，连接，，证明是等边三角形，则，，，由，可求，则，，如图，连接，证明，则，进而结论得证； （3）如图2，作，使，连接，证明，则，，当三点共线时，最小，为，如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置，则，如图2，作绕顺时针旋转到，延长交于，则，，，，可得，此时即为最小时的点，由，可得，，，如图2，作于，设，则，，，，由，可求，则，，如图2，连接，作，则，即，可求，根据点E到的距离的平方为，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）证明：如图1，延长到，使，作交的延长线于， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 如图1，连接，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图2，作，并截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置， ∴， ∴， 如图3，作绕顺时针旋转到，延长交于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时即为最小时的点， ∵， ∴，， ∴， 如图3，作于， 设，则，，，， ∴， 解得，， ∴，， 如图2，连接，作于点， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点E到的距离的平方为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，分母有理化等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，分母有理化是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年教育质量全面监测(中学)九年级(上) 数学试题（模拟一） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．下列事件是必然事件的是（　 ） A．没有水分，种子发芽了 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．买一张彩票，一定会中奖 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 4．已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知，点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 9．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 10．已知整式，其中，，…，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有22个；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．已知2是关于x的方程的根，则a的值为 ． 12．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为 ． 13．如图，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为 ． 14．有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 15．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为 m． 16．若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是 ． 17．如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段 ，线段 ． 18．我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是 ．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是 ． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．解方程 (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： 20．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 21．如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴ ①  ， ∵， ∴ ② ， ∵平分， ∴ ③ ， ∴， 又∵ ④ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 22．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 23．在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 24．已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标： (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点关于原点的对称点为，求的面积； (4)点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当时，求点N的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将点M沿射线方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 26．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作交于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离的平方. 九年级数学试题第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $