专题02 平行线的判定与性质（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题2 平行线的判断与性质 1．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝∠C，求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠2＝∠3（　对顶角相等　 ）， ∠1＝∠2（　已知　 ）， ∴　∠1＝∠3　 （等量代换）， ∴CE ∥BD （同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠C（　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠4＝　∠D （等量代换）， ∴DF∥AC（　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　 ）． 【答案】对顶角相等；已知；∠1＝∠3；CE，BD；两直线平行，同位角相等；∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解答】解：∵∠2＝∠3（对顶角相等）， ∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠4＝∠D（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；已知；∠1＝∠3；CE，BD；两直线平行，同位角相等；∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 2．如图，直线l与直线a、b分别交于点A、B，点E在直线a上，点C和点D在直线b上，连结AC、DE．若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，则AC与DE平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1+∠5＝　180°　 （邻补角的定义）， ∴∠2＝　∠5　 （　等量代换　 ）． ∴AE ∥BD（　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠3＝　∠ACB （　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠3＝∠4（已知）， ∴　∠ACB ＝∠4（等量代换）． ∴AC∥ED（　同位角相等，两直线平行　 ）． 【答案】180°；∠5；等量代换；AE；内错角相等，两直线平行；∠ACB；两直线平行，内错角相等；∠ACB；同位角相等，两直线平行． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1+∠5＝180°（邻补角的定义）， ∴∠2＝∠5（等量代换）． ∴AE∥BD（内错角相等，两直线平行）． ∴∠3＝∠ACB（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠ACB＝∠4（等量代换）． ∴AC∥ED（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：180°；∠5；等量代换；AE；内错角相等，两直线平行；∠ACB；两直线平行，内错角相等；∠ACB；同位角相等，两直线平行． 3．完成下列的证明． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：EF∥GH． 证明：∵∠1+∠2＝180° （已知）， ∠AEG＝∠1（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠AEG+∠　∠2　 ＝180°， ∴AB∥CD（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． ∴∠AEG＝∠EGD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠3＝∠4 （已知）， ∴∠3+∠AEG＝∠4+∠　∠EGD （ 　内错角相等，两直线平行　 ）， 即∠FEG＝∠EGH ． ∴EF∥GH． 【答案】对顶角相等；∠2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EGD；内错角相等，两直线平行；∠EGH． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠AEG＝∠1（对顶角相等）， ∴∠AEG+∠2＝180°． ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠AEG＝∠EGD（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠3+∠AEG＝∠4+∠EGD（等式的性质）， 即∠FEG＝∠EGH． ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；∠2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EGD；内错角相等，两直线平行；∠EGH． 4．已知，如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知） ∴DG∥AC，（　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠2＝　∠ACD ，（　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1＝∠DCA，（等量代换） ∴EF∥CD，（　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠AFE＝∠ADC，（　两直线平行，同位角相等　 ） ∵EF⊥AB，（已知） ∴∠AEF＝90°，（　垂直定义　 ） ∴∠ADC＝90°，（等量代换） ∴CD⊥AB．（垂直定义） 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知） ∴DG∥AC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ） ∴∠2＝∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝∠DCA（等量代换） ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行） ∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等） ∵EF⊥AB（已知） ∴∠AEF＝90°（垂直定义） ∴∠ADC＝90°（等量代换） ∴CD⊥AB（垂直定义） 故答案为：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；∠ACD；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；垂直定义． 5．在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝116° （ 　等量代换　 ）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）． ∴∠AOB＝　116°　 （等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　已知　 ）， ∴a∥b （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　 ）． 【答案】（1）对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°； （2）已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【解答】（1）解：∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠2＝116° （等量代换）， ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AOB＝116°（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°； （2）证明：∵∠3＝∠4（已知）， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 6．推理填空 如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，ED∥BC．求证：∠1＝∠2． 证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝ 　①∠FGB ＝90°（ 　②垂直的定义　 ）， ∴CD∥　③FG （ 　④同位角相等，两直线平行　 ）， ∴　⑤∠2　 ＝∠3（ 　⑥两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵DE∥BC（ 　⑦已知　 ）， ∴　⑧∠1　 ＝∠3（ 　⑨两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠1＝∠2（ 　⑩等量代换　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝∠FGB＝90°（垂直的定义）， ∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵DE∥BC（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． 故答案为：①∠FGB；②垂直的定义；③FG；④同位角相等，两直线平行；⑤∠2；⑥两直线平行，同位角相等；⑦已知；⑧∠1；⑨两直线平行，内错角相等；⑩等量代换． 7．已知：如图，点D、E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°，过点A作AF∥DC，交DE延长线于点F． （1）求证：DE∥BC； （2）求∠F的度数． 【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∠DCB＝40°， ∴∠ACB＝2∠DCB＝80°， ∴DE∥BC； （2）∠F＝40°． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∠DCB＝40°， ∴∠ACB＝2∠DCB＝80°， ∴DE∥BC； （2）∵CD平分∠ACB，∠DCB＝40°， ∴∠DCE＝40°， 又∵∠AED＝80°， ∴∠CDE＝40°， ∵AF∥DC， ∴∠F＝∠CDE＝40°． 8．如图，在四边形DCEF中，A、B分别是线段EF、DF上一点，连接AD、AB．已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）线段AD、CE平行吗？为什么？ （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，求∠FAB的度数． 【答案】（1）AD∥CE，理由如下：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）58°． 【解答】解：（1）AD∥CE，理由如下： ∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）∵∠1＝64°，∠1＝∠BDC， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°， ∵∠2＝∠ADC， ∴∠2＝32°， ∵CE⊥AE ∴∠E＝90°， ∵AD∥EC， ∴∠FAD＝∠E＝90°， ∴∠FAB＝90°﹣32o＝58o． 9．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 10．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 11．如图，∠BMD＝∠ABM+∠MDC． （1）求证：AB∥CD． 小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整． 证明：如图1，过点M作MP∥AB， （2）如图2，若BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC，则∠M与∠N之间的等量关系为 　∠BMD＝2∠BND ． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）∠BMD＝2∠BND． 【解答】（1）证明：过点M作MQ∥AB， ∴∠ABM＝∠BMQ． 又∵∠BMD＝∠ABM+∠MDC，∠BMD＝∠BMQ+QMD， ∴∠MDC＝∠QMD， ∴MQ∥CD， ∴AB∥CD． （2）解：过点N作NE∥AB， ∴∠ABN＝∠BNE． 同理可得，∠CDN＝∠DNE， 又∵∠BND＝∠BNE+∠DNE， ∴∠BND＝∠ABN+∠CDN． ∵BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC， ∴∠ABM＝2∠ABN，∠MDC＝2∠CDN， ∴∠ABM+∠MDC＝2∠ABN+2∠CDN＝2∠BND． 又∵∠BMD＝∠ABM+∠MDC， ∴∠BMD＝2∠BND． 故答案为：∠BMD＝2∠BND． 12．如图①，已知AB∥CD，∠BGH＝∠EFC，点P为直线CD上一动点． （1）求证；EF∥GH； （2）作射线HM交直线CD于点M，交直线EF于点N，且∠GHM＝∠PHM，当点P运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出∠HPD，∠MFE与∠ENM之间的数量关系． 【答案】（1）延长GH交CD于点Q，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴∠BGH＝∠GQP， ∵∠BGH＝∠EFC， ∴∠GQP＝∠EFC， ∴EF∥GH； （2）补全图形如图2所示： 2∠ENM+∠HPD﹣∠FMN＝180°． 【解答】（1）证明：延长GH交CD于点Q，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴∠BGH＝∠GQP， ∵∠BGH＝∠EFC， ∴∠GQP＝∠EFC， ∴EF∥GH； （2）解：补全图形如图2所示： 设∠GHM＝∠PHM＝α，∠HMP＝∠FMN＝β， 由（1）可知：EF∥GH， ∴∠ENM+∠GHM＝180°， ∴∠ENM＝180°﹣∠GHM＝180°﹣α， ∵∠HPD是△PHM的外角， ∴∠HPD＝∠PHM+∠HMP＝α+β， ∵∠MFE是△MFN的外角， ∴∠MFE＝∠ENM+∠FMN＝180°﹣﹣α+β， ∴2∠ENM+∠HPD﹣∠FMN＝2（180°﹣α）+α+β﹣（180°﹣α+β）＝180°， ∠HPD，∠MFE与∠ENM之间的数量关系是：2∠ENM+∠HPD﹣∠FMN＝180°． 13．已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ， （1）如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请求出∠PFQ的度数． 【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由： 如图1，过点E作EH∥AB， ∴∠APE＝∠PEH， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CQE＝∠QEH， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）∠PFQ＝115°； （3）∠PFQ＝140°． 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 理由如下： 如图1，过点E作EH∥AB， ∴∠APE＝∠PEH， 由条件可知EH∥CD， ∴∠CQE＝∠QEH， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）如图2，过点E作EM∥AB， 由条件可得∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°， ∵∠BPE＝180°﹣∠APE，∠EQD＝180°﹣∠CQE， ∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝230°， ∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴，， ∴， 作NF∥AB，同理（1）可得，∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝115°； （3）如图3，过点E作EM∥CD， 设∠QEM＝α，则∠DQE＝180°﹣α， 由条件可知， ∴， 由条件可知AB∥EM， ∴∠BPE＝180°﹣∠PEM＝180°﹣（80°+α）＝100°﹣α， ∴， 作NF∥AB，同理可得，． 14．【感知】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．如图①，当点P在过点E和点F的直线的左侧时，求∠AEP与∠CFP的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵AB∥CD（　已知　 ）， ∴PG∥AB（　平行于同一直线的两直线互相平行　 ）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝　90°　 ． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，其它条件不变，求∠AEP与∠CFP的和． 【拓展】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．若∠EPF的角平分线所在的直线交直线CD于点Q，且点Q在点F左边，请借助图①和图③，直接写出∠AEP﹣∠PQF的度数． 【答案】【感知】两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；90°． 【探究】270°． 【拓展】135°或45°． 【解答】解：【感知】如图②， 过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）， ∴PG∥AB（平行于同一直线的两直线互相平行）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝90°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；90°． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP+∠FPG＝180°， ∵AB∥CD（已知）， ∴PG∥AB， ∴∠AEP+∠EPG＝180°， ∴∠AEP+∠CFP+∠EPG+∠FPG＝180°+180°＝360°． ∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣90°＝270°． 【拓展】当点P在过点E和点F的直线的右侧时，设直线交AB于H， ∵∠EPF＝90°，PQ平分∠EPF， ∴∠EPQ＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠AHC＝∠PQF， ∵∠EPQ＝∠AHC+∠HEP＝45°，∠HEP＝180°﹣∠AEP， ∴∠PQF+180°﹣∠AEP＝45°， ∴∠AEP﹣∠PQF＝135°； 当点P在过点E和点F的直线的左侧时，设直线CP交AB于H， ∵∠EPF＝90°，直线PQ平分∠EPF， ∴∠EPH＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠AHQ＝∠PQF， ∵∠AEP＝∠AHQ+∠EPH＝∠PQF+45°， ∴∠AEP﹣∠PQF＝45°． 综上，∠AEP﹣∠PQF的度数为135°或45°． 15．【感知】 （1）如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间一点，连接AB、BC．求证：∠ABC＝∠HAB+∠BCG； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作BP∥HD， ∴∠ABP＝ 　∠HAB （两直线平行，内错角相等）． ∵BP∥HD，HD∥GE， ∴BP∥GE（ 　平行于同一直线的两直线平行　 ）， ∴　∠BCG＝∠CBP ， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP， ∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG． 【类比探究】 （2）如图2，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B、F是直线HD、GE之间的点，连接AB、BC、AF、CF，CB平分∠FCG，AF平分∠BAH，设∠BCF＝α，∠BAF＝β，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间一点，连接AB、BC，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠HAB＝40°，试探究∠NBM的度数． 【答案】（1）∠HAB，平行于同一直线的两直线平行，∠BCG＝∠CBP； （2）∠B+∠F的度数为150°； （3）∠NBM的值不变，∠NBM＝20°． 【解答】（1）证明：过点B作BP∥HD， ∴∠ABP＝∠HAB（两直线平行，内错角相等）． ∵BP∥HD，HD∥GE， ∴BP∥GE（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠BCG＝∠CBP， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP， ∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG． 故答案为：∠HAB，平行于同一直线的两直线平行，∠BCG＝∠CBP； （2）解：AF平分∠BAH，CB平分∠FCG， ∴∠BCF＝∠BCG＝α，∠HAF＝∠FAB＝β， ∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，∠HAB＝2∠FAB＝2β， ∵HD∥GE， ∴由（1）可得∠F＝∠HAF+∠FCG，∠B＝∠HAB+∠BCG， ∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝2β+α+β+2α＝150°； ∴∠B+∠F的度数为150°． （3）解：∵BN平分∠ABC，CR平分∠BCG， ∴∠ABC＝2∠NBC，∠BCG＝2∠BCR， ∴BM∥CR． ∴∠BCR＝∠MBC． ∴∠BCG＝2∠MBC． ∵HD∥GE． ∴由（1）可得∠ABC＝∠HAB+∠BCG． ∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG ＝2∠NBC﹣2∠MBC ＝2（∠NBC﹣∠MBC） ＝2∠NBM． ∴∠HAB＝40° ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 平行线的判断与性质 1．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝∠C，求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠2＝∠3（　 　 ）， ∠1＝∠2（　 　 ）， ∴　 　 （等量代换）， ∴　 　 ∥　 　 （同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠C（　 　 ）， ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠4＝　 　 （等量代换）， ∴DF∥AC（　 　 ）， ∴∠A＝∠F（　 　 ）． 2．如图，直线l与直线a、b分别交于点A、B，点E在直线a上，点C和点D在直线b上，连结AC、DE．若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，则AC与DE平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1+∠5＝　 　 （邻补角的定义）， ∴∠2＝　 　 （　 　 ）． ∴　 　 ∥BD（　 　 ）． ∴∠3＝　 　 （　 　 ）． ∵∠3＝∠4（已知）， ∴　 　 ＝∠4（等量代换）． ∴AC∥ED（　 　 ）． 3．完成下列的证明． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：EF∥GH． 证明：∵∠1+∠2＝180° （已知）， ∠AEG＝∠1（ 　 　 ）， ∴∠AEG+∠　 　 ＝180°， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． ∴∠AEG＝∠EGD（ 　 　 ）． ∵∠3＝∠4 （已知）， ∴∠3+∠AEG＝∠4+∠　 　 （ 　 　 ）， 即∠FEG＝∠　 　 ． ∴EF∥GH． 4．已知，如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知） ∴DG∥AC，（　 　 ） ∴∠2＝　 　 ，（　 　 ） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1＝∠DCA，（等量代换） ∴EF∥CD，（　 　 ） ∴∠AFE＝∠ADC，（　 　 ） ∵EF⊥AB，（已知） ∴∠AEF＝90°，（　 　 ） ∴∠ADC＝90°，（等量代换） ∴CD⊥AB．（垂直定义） 5．在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　 　 ）， ∴∠2＝116° （ 　 　 ）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　 　 ）． ∴∠AOB＝　 　 （等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　 　 ）， ∴a∥b （ 　 　 ）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　 　 ）． 6．推理填空 如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，ED∥BC．求证：∠1＝∠2． 证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝ 　 　 ＝90°（ 　 　 ）， ∴CD∥　 　 （ 　 　 ）， ∴　 　 ＝∠3（ 　 　 ）， 又∵DE∥BC（ 　 　 ）， ∴　 　 ＝∠3（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）． 7．已知：如图，点D、E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°，过点A作AF∥DC，交DE延长线于点F． （1）求证：DE∥BC； （2）求∠F的度数． 8．如图，在四边形DCEF中，A、B分别是线段EF、DF上一点，连接AD、AB．已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）线段AD、CE平行吗？为什么？ （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，求∠FAB的度数． 9．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 10．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 11．如图，∠BMD＝∠ABM+∠MDC． （1）求证：AB∥CD． 小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整． 证明：如图1，过点M作MP∥AB， （2）如图2，若BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC，则∠M与∠N之间的等量关系为 　 　 ． 12．如图①，已知AB∥CD，∠BGH＝∠EFC，点P为直线CD上一动点． （1）求证；EF∥GH； （2）作射线HM交直线CD于点M，交直线EF于点N，且∠GHM＝∠PHM，当点P运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出∠HPD，∠MFE与∠ENM之间的数量关系． 13．已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ， （1）如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请求出∠PFQ的度数． 14．【感知】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．如图①，当点P在过点E和点F的直线的左侧时，求∠AEP与∠CFP的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（　 　 ）． ∵AB∥CD（　 　 ）， ∴PG∥AB（　 　 ）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝　 　 ． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，其它条件不变，求∠AEP与∠CFP的和． 【拓展】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．若∠EPF的角平分线所在的直线交直线CD于点Q，且点Q在点F左边，请借助图①和图③，直接写出∠AEP﹣∠PQF的度数． 15．【感知】 （1）如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间一点，连接AB、BC．求证：∠ABC＝∠HAB+∠BCG； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作BP∥HD， ∴∠ABP＝ 　 　 （两直线平行，内错角相等）． ∵BP∥HD，HD∥GE， ∴BP∥GE（ 　 　 ）， ∴　 　 ， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP， ∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG． 【类比探究】 （2）如图2，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B、F是直线HD、GE之间的点，连接AB、BC、AF、CF，CB平分∠FCG，AF平分∠BAH，设∠BCF＝α，∠BAF＝β，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间一点，连接AB、BC，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠HAB＝40°，试探究∠NBM的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $