专题01 平行线间的拐点问题（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题1 平行线间的拐点问题 类型一：“猪蹄”模型 类型二：“铅笔”模型 类型三：“鹰嘴”模型 类型四：“羊角”模型 类型五：“蛇形”模型 平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB∥CD，，，则∠DEB：∠DFB为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【答案】B 【解答】解：过点F作FG∥CD， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD∥AB（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DFG＝∠1，∠BFG＝∠2， ∴∠DFB＝∠DFG+∠BFG＝∠1+∠2， 同理可得：∠DEB＝∠CDE+∠ABE， ∵，， ∴∠1+∠2＝∠DFG+∠BFG， ∴． 则∠DEB：∠DFB为3：1， 故选：B． 2．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 【答案】D 【解答】解：如图所示： ∵a∥b， ∴∠2＝∠4， ∵∠4＝∠3+∠A， ∴∠A＝∠4﹣∠3， ∵∠1＝∠3，∠1＝43°，∠2＝103°， ∴∠A＝103°﹣43°＝60°． 故选：D． 3．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 【答案】B 【解答】解：过点E作EF∥AB，如图： ∵EF∥AB， ∴α+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝γ， ∵β＝∠AEF+∠FED＝180°﹣α+γ， ∴α+β﹣γ＝180°， 故选：B． 4．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 【答案】D 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1＝∠AEG， ∴∠GEF＝∠2﹣∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1， ∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， ∵FH∥CD， ∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， 故选：D． 5．如图，直线a∥b，等腰直角三角形ABC的直角顶点A在直线b上，点B在直线a上，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【解答】解：根据题意可知∠ABC＝45°，∠BAC＝90°， ∵∠1＝15°， ∴∠ABM＝60°， ∵a∥b， ∴∠BAN＝∠ABM＝60°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠BAN＝30°． 故选：C． 6．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CB，∠BAE＝85°，∠DCE＝125°，则∠AEC的度数是（　　） A．28° B．30° C．40° D．35° 【答案】C 【解答】解：延长DC，交AE于点M，如图所示． ∴AB∥CD， ∴∠CME＝∠BAE＝85°， ∵∠DCE＝125°， ∴∠ECM＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ECM﹣∠CME＝180°﹣55°﹣85°＝40°． 故选：C． 7．如图，AB∥CD，BE∥QF，DF∥QE，EQ和FQ交于点Q，∠ABE与∠CDF的角平分线相交于点O，若∠O＝40°，则∠EQF＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：延长BE与DF交于点M， ∵BE∥QF，DF∥QE， ∴四边形MFQE是平行四边形， ∴∠BMD＝∠EQF． 过点O作AB的平行线ON， ∴∠ABO＝∠BON， 同理可得，∠CDO＝∠DON， ∴∠ABO+∠CDO＝∠BON+∠DON＝∠BOD． 同理可得，∠BMD＝∠ABM+∠CDM． ∵BO，DO分别平分∠ABE和∠CDF， ∴∠ABM＝2∠ABO，∠CDM＝2∠ADO， ∴∠BMD＝2∠BOD＝80°， 即∠EQF＝80°． 故选：C． 8．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠BCD， ∵CD∥EF， ∴∠2+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠2， ∴∠BCE＝∠BCD+∠ECD＝∠1+180°﹣∠2， ∴∠BCE＝180°﹣∠2+∠1． 故选：D． 9．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：过C作CM∥AB， ∵AB∥DE， ∴CM∥DE， ∴∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°， ∴∠BCM+∠ECM＝30°+80°＝110°． 故选：D． 10．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确， ∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝280°， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确， 与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE， ∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确， 由题意，④不一定正确， ∴①②③正确， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线m∥n，过点A作AB⊥n于点B，AC与直线m相交于点C，测得∠1＝109°10′，则∠2的大小为 　160°50′　 ． 【答案】160°50′． 【解答】解：过点A作AD⊥AB，且点D在AB的右侧，如图所示： ∴∠BAD＝90°， ∵∠1＝109°10′， ∴∠CAD＝∠1﹣∠BAD＝109°10′﹣90°＝19°10′， ∵AB⊥n于点B，AD⊥AB， ∴AD∥直线n， 又∵直线m∥n， ∴AD∥直线m， ∴∠2+∠CAD＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠CAD＝180°﹣19°10′＝160°50′． 故答案为：160°50′． 12．如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　210°　 ． 【答案】210°． 【解答】解：过∠2顶点作直线l∥支撑平台， ∴l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°， ∵∠4+∠5＝∠2， ∴∠2+∠3＝210°． 故答案为：210°． 13．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　45°　 ． 【答案】45°． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠A＝65°， 又∵∠DFE＝∠C+∠E， ∴∠C＝∠DFE﹣∠E＝65°﹣20°＝45°． 故答案为：45°． 14．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝100°，∠B＝160°，则∠C的度数是 　120°　 ． 【答案】120° 【解答】解：如图所示，过B作BF∥AE， ∵∠A＝100°， ∴∠ABF＝∠A＝100°， 又∵∠ABC＝160°， ∴∠FBC＝160°﹣100°＝60°， ∵AE∥CD， ∴FB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠FBC＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120° 15．如图，AB∥EF，点C、D为这两条平行线之间的两个点，连接BC、CD、ED，BC⊥CD，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，∠DEF＝z°，则x、y、z之间的数量关系为 x+y﹣z＝90　 ． 【答案】x+y﹣z＝90． 【解答】解：如图所示，过点C，D分别作CG∥AB，DH∥AB， ∴AB∥CG∥DH∥EF， ∴∠ABC＝∠BCG＝x°，∠GCD＝∠CDH，∠HDE＝∠DEF＝z°， ∵∠CDH+∠HDE＝∠CDE＝y°，∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝90°﹣x°， ∴90°﹣x°+z°＝y°， ∴x°+y°﹣z°＝90°， 所以x、y、z之间的数量关系为x°+y°﹣z°＝90°， 故答案为：x+y﹣z＝90． 三．解答题（共5小题） 16．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∵∠B＝135°，∠D＝145°， ∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°， ∴∠BCD＝80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°， 如图，∵CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°， 即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 17．【问题情境】如图①，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，过点P作PM∥AB，则∠EPF＝　90°　 ； 【问题迁移】如图②，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连结PE，PF，试探究∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若∠HEA∠PEA，∠GFD∠PFD，HE的反向延长线与FG交于点G，则∠G与∠P的数量关系是　∠EPF+3∠HGF＝180°　 ． 【答案】【问题情境】90°； 【问题迁移】∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解析； 【问题拓展】∠EPF+3∠HGF＝180°． 【解答】解：【问题情境】∵AB∥CD，PM∥AB， ∴AB∥PM∥CD， ∴∠EPM＝∠AEP＝40°，∠FPM＝180°﹣∠PFD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝90°， 故答案为：90°． 【问题迁移】∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由如下： 如图，过点P作MN∥AB， ∵AB∥CD，MN∥AB， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠NPE＝∠PEA，∠NPF＝∠PFC， ∴∠EPF＝∠NPF﹣∠NPE＝∠PFC﹣∠PEA． 【问题拓展】如图，过点P作PM∥AB，过点G作GQ∥AB， ∵GQ∥AB，AB∥CD， ∴GQ∥AB∥CD， ∴∠HGQ＝∠HEA，∠FGQ＝∠GFD， ∴∠HGF＝∠HGQ+∠FGQ＝∠HEA+∠GFD， ∵，∠GFD∠PFD， ∴∠HGF∠PEA∠PFD， ∴∠PEA+∠PFD＝3∠HGF， ∵PM∥AB，AB∥CD， ∴PM∥AB∥CD， ∴∠MPF＝180°﹣∠PFD，∠MPE＝∠PEA， ∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝180°﹣∠PFD﹣∠PEA＝180°﹣3∠HGF， ∴∠EPF+3∠HGF＝180°， 故答案为：∠EPF+3∠HGF＝180°． 18．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　∠BMF＝∠MFN+∠FND ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　20　 °． 【答案】【感知探究】见解析； 【类比迁移】∠F＝∠BMF﹣∠DNF．证明见解析； 【结论应用】20． 【解答】【感知探究】证明：如图①，过点E作EF∥AB， 则∠MEF＝∠BME， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NEF＝∠DNE， ∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF， 即∠MEN＝∠BME+∠DNE； 【类比迁移】∠BMF＝∠MFN+∠FND． 证明：如图②，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN+∠FND． 故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND； 【结论应用】如图③，过C作CG∥AB， ∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵AB∥DE， ∴CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝80°， ∴∠ACD＝20°， 故答案为：20． 19．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例：如图①，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间，试说明：∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 解：过点P向右作PQ∥AB， ∴∠EPQ＝∠AEP． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD． ∴∠FPQ＝∠CFP． ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP． 可以运用以上思路方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图②，已知AB∥CD，∠D＝40°，点G在PA的延长线上，∠GAB＝60°，求∠APD的度数； （2）如图③，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，直接写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间数量关系是　∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°　 ； 【拓展应用】 （3）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线与∠PAB 的平分线所在直线交于点Q，直接写出的值　180°　 ． 【答案】（1）100°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）180°． 【解答】解：（1）如图②，过点P作PQ∥AB， ∴∠GPQ＝∠GAB＝60°， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠DPQ＝∠D＝40°， ∴∠APD＝∠GPQ+∠DPQ＝100°； （2）如图③，过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ+∠PAB＝180°， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CEP＝∠EPQ， ∵∠APE＝∠EPQ﹣∠APQ， ∴∠APE＝∠CEP﹣（180°﹣∠PAB）， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， 故答案为：∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）如图④， 由（2）得∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， 即∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴∠APE∠CEP∠PAB﹣90°， 同理由【阅读理解】可得∠EQF＝∠BAQ+∠DEQ， ∴∠APE+∠EQF∠CEP∠PAB﹣90°+∠BAQ+∠DEQ， ∵EQ平分∠PED，FA平分∠PAB， ∴∠DEQ∠PED，∠FAB∠PAB， ∴∠APE+∠EQF ∠CEP∠PAB﹣90°+180°﹣∠FAB+∠DEQ ∠CEP∠PAB﹣90°+180°∠PAB∠PED ∠CEP∠PED+90° ＝90°+90° ＝180°， 故答案为：180°． 20．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　69°　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）69°； （2）∠APC＝∠A+∠C； （3）①50°；②②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由见解答过程． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示： ∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°， ∴∠APC＝69°， 故答案为：69°； （2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C； 过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C， （3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1， ∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP， ∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1， ∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1， ∵∠MPN＝100°， ∴∠BMP1+∠DNP1∠MPN＝50°， ∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°； ②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下： 过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示： ∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α， ∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α， ∴ND平分∠P1NP， ∴设∠P1ND＝∠PND＝β， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β， ∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β， 由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β， ∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 平行线间的拐点问题 类型一：“猪蹄”模型 类型二：“铅笔”模型 类型三：“鹰嘴”模型 类型四：“羊角”模型 类型五：“蛇形”模型 平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB∥CD，，，则∠DEB：∠DFB为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 2．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 3．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 4．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 5．如图，直线a∥b，等腰直角三角形ABC的直角顶点A在直线b上，点B在直线a上，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 6．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CB，∠BAE＝85°，∠DCE＝125°，则∠AEC的度数是（　　） A．28° B．30° C．40° D．35° 7．如图，AB∥CD，BE∥QF，DF∥QE，EQ和FQ交于点Q，∠ABE与∠CDF的角平分线相交于点O，若∠O＝40°，则∠EQF＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 8．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 9．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 10．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线m∥n，过点A作AB⊥n于点B，AC与直线m相交于点C，测得∠1＝109°10′，则∠2的大小为 　 　 ． 12．如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　 　 ． 13．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD，E为平行线外一点，连接AE，CE．若∠A＝65°，∠E＝20°，则∠C的度数为　 　 ． 14．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝100°，∠B＝160°，则∠C的度数是 　 　 ． 15．如图，AB∥EF，点C、D为这两条平行线之间的两个点，连接BC、CD、ED，BC⊥CD，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，∠DEF＝z°，则x、y、z之间的数量关系为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 17．【问题情境】如图①，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，过点P作PM∥AB，则∠EPF＝　 　 ； 【问题迁移】如图②，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连结PE，PF，试探究∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若∠HEA∠PEA，∠GFD∠PFD，HE的反向延长线与FG交于点G，则∠G与∠P的数量关系是　 　 ． 18．【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上．求证：∠MEN＝∠BME+∠DNE． 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　 　 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 °． 19．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例：如图①，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间，试说明：∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 解：过点P向右作PQ∥AB， ∴∠EPQ＝∠AEP． ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD． ∴∠FPQ＝∠CFP． ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP． 可以运用以上思路方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图②，已知AB∥CD，∠D＝40°，点G在PA的延长线上，∠GAB＝60°，求∠APD的度数； （2）如图③，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，直接写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间数量关系是　 　 ； 【拓展应用】 （3）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线与∠PAB 的平分线所在直线交于点Q，直接写出的值　 　 ． 20．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $