第七章 相交线与平行线（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【解答】解：A、足球在草坪上滚动，属于旋转，故不符合题意； B、货物在传送带上移动，属于平移，故符合题意； C、小朋友在荡秋千，属于旋转，故不符合题意； D、汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故不符合题意； 故选：B． 2．下列命题中，真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 【答案】C 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、等角的补角相等，是真命题，符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 【答案】C 【解答】解：A．∠1与∠5是直线b，直线c被直线a所截得的内错角，因此选项A不符合题意， B．∠3与∠5是对顶角，因此选项B不符合题意， C．∠1与∠4不是同位角，因此选项C符合题意， D．∠1与∠2是直线b，直线c被直线a所截得的同旁内角，因此选项D不符合题意， 故选：C． 4．宇树科技UnitreeB2﹣W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解答】解：其中蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选：C． 5．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠4＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠4 【答案】D 【解答】解：A、∵∠4+∠5＝180°，∠1+∠4＝180°， ∴∠1＝∠5，由同位角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； B、∠4＝∠3，由内错角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； C、∠3+∠5＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； D、∠2＝∠4，由对顶角相等，不能判定AB∥CD，符合题意； 故选：D． 6．如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条． 故选：C． 7．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴a与c平行， 故选：B． 8．如图，将△ABC沿BC方向平移xcm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．（18+2x）cm B．（18+x）cm C．2（18﹣x）cm D．2（18+x）cm 【答案】A 【解答】解：∵平移， ∴BE＝CF＝AD＝xcm，AB＝DE，AC＝DF， ∴AB+AC+BC＝18cm， ∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝（18+2x）cm； 故选：A． 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOE，∠1＝15°，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠EOD与∠3互为余角 D．∠FOD＝110° 【答案】D 【解答】解：A、∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠2∠AOE90°＝45°，故本选项错误； B、∵∠1、∠3是对顶角， ∴∠1＝∠3，故本选项错误； C、∵∠EOD+∠1＝∠BOE＝90°， ∴∠EOD+∠3＝90°， ∴∠EOD与∠3互为余角，故本选项错误； D、∠FOD＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣15°﹣45°＝120°，故本选项正确． 故选：D． 10．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝57°，则∠1的度数是（　　） A．57° B．23° C．33° D．13° 【答案】C 【解答】解：∵EF∥HG，∠2＝57°， ∴∠2＝∠FCD＝57°， ∵∠1+∠FCD＝∠ACB＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠FCD＝90°﹣57°＝33°， 所以∠1的度数是33°， 故选：C． 11．当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线OA照射在水面MN上，折射光线为AB，若入射角为40°，折射角为25°，则∠OAB的度数为（　　） A．150° B．155° C．165° D．170° 【答案】C 【解答】解：如图，由邻补角的定义可知， 因为∠OAD+∠OAC＝180°， 所以∠OAC＝180°﹣40°＝140°， 所以∠OAB＝∠OAC+∠BAC＝140°+25°＝165°， 故选：C． 12．如图，将正方形EBGF、正方形KLMN、正方形HIJD放入长方形ABCD中，其中HP＝JC，IQ＝QM，已知长方形ABCD的周长和中间正方形的边长LM，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（　　） ①乙的周长； ②甲、乙的周长和； ③丙、丁的周长差； ④甲、乙、丙、丁的周长和． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：设AB＝a，BC＝b，LM＝c，LT＝x，LS＝y，IQ＝QM＝z，依题意， 乙的周长为：2（NQ+IQ）＝2（NQ+QM）＝2MN＝2c，故①正确，符合题意； 根据题意得出各线段的长，根据平移的性质分别求四块阴影部分的周长： HP＝JC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴丁的周长为：TG+TM+QM+QJ+JC+CG＝2（JC+CG） 2a+2c﹣2x﹣2z， 丙的周长为：， ∴丙、丁的周长差为2c+2a﹣2z﹣2x﹣（2a+2c﹣2x﹣2z）＝0，故③正确，符合题意； ②甲、乙的周长和为2x+2y+2c，不是定值，故②不正确，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁的周长和为2（a+b）+4c，故④正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14．若∠1＝36°，∠2的两边分别与∠1的两边平行，则∠2的度数为 　144°或36°　 ． 【答案】144°或36°． 【解答】解：∵∠1＝36°，∠2的两边分别与∠1的两边平行， ∴∠1+∠2＝180°或∠1＝∠2， ∴∠2＝144°或∠2＝36°， 故答案为：144°或36°． 15．如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由平移可知， S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝14， 所以阴影部分的面积与梯形ABEH的面积相等，EH＝14﹣4＝10， 则， 所以BE＝7， 所以CF＝BE＝7． 故答案为：7． 16．已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　10或50　 度． 【答案】10或50． 【解答】解：分两种情况： 当点P在AB、CD之间时，如图： 过点P作PE∥CD， ∴∠CDP＝∠EPD＝20°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠BPE＝∠BPD﹣∠EPD＝10°， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠ABP＝∠BPE＝10°； 当点P在AB、CD之外时，如图： 过点P作PE∥CD， ∴∠CDP＝∠EPD＝20°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠BPE＝∠BPD+∠EPD＝50°， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠ABP＝∠BPE＝50°； 综上所述：∠ABP的度数为10°或50°， 故答案为：10或50． 17．如图，直线AB，CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE平分∠AOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜360°）到OF．当∠AOF＝120°时，α是　82.5°或202.5°　 ． 【答案】82.5°或202.5°． 【解答】解：①当OF在∠BOC的内部时，如图， ∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC， ∴∠EOC＝37.5°， ∵∠AOF＝120°， ∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝45°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝82.5°， 即α＝82.5°； ②当OF在∠BOD的内部时，如图， ∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠AOE＝∠EOC， ∴∠AOE＝37.5°， ∵∠AOF＝120°， ∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157.5°， ∴α＝360°﹣∠EOF＝202.5°． 故答案为：82.5或202.5． 18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　68°　 ． 【答案】68° 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝56°， 由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠DEG＝112°， ∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68° 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，AB与CD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠EOD＝2∠BOD，求∠EOF的度数． 解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝　90°　 ， ∴∠EOD+　∠BOD ＝　90°　 ， 又∵∠EOD＝2∠BOD， ∴∠BOD＝　30°　 ，∠EOD＝　60°　 ， ∵OF⊥CD， ∴∠FOD＝　90°　 ， ∴∠EOF＝　90°　 ﹣　60°　 ＝　30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EOD+∠BOD＝90°， 又∵∠EOD＝2∠BOD， ∴∠BOD＝30°，∠EOD＝60°， ∵OF⊥CD， ∴∠FOD＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：90°，∠BOD，90°，30°，60°，90°，90°，60°，30°． 20．如图，在方格纸中，三角形ABC的三个顶点和点P，Q都在格点上，平移三角形ABC，使它的顶点平移后都落在格点上． （1）平移三角形ABC，使点C移动到点Q，请在图1中画出平移后的三角形A1B1Q； （2）平移三角形ABC，使点P，Q中的一点在平移后的三角形的内部，另一点在平移后的三角形的外部，请在图2中画出一种平移后的三角形A2B2C2． 【答案】见解析． 【解答】解：（1）△A1B1Q即为所求作，如图1； （2）△A2B2C2即为所求作，如图2． 21．（8分）如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D． （1）BD与CE平行吗？为什么？ （2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BD∥CE，理由如下： ∵∠1＝52°，∠2＝128°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴BD∥CE； （2）∠A＝∠F，理由如下： ∵BD∥CE， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F． 22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm． （1）求△ABC向右平移的距离AD的长； （2）求四边形AEFC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF， ∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm， ∵AE＝8cm，DB＝2cm， ∴AD＝BE＝CF3cm； （2）四边形AEFC的周长＝AE+EF+CF+AC＝8+3+3+4＝18cm． 22．（8分）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）证明见解析． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 24．（10分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB． （1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数； （2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数． 【答案】（1）∠COE＝110°；（2）∠COF＝54°． 【解答】解（1）∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°， ∵∠COF＝50°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝40°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°， ∵OE平分∠AOD， ∴， ∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝110°； （2）∵OE平分∠AOD， ∴∠EOD＝∠AOE， ∵∠BOD：∠EOD＝1：2， ∴∠BOD：∠EOD：∠AOE＝1：2：2， ∴， ∵OF⊥AB， ∴∠BOF＝90°， ∴∠COF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 25．（10分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【答案】（1）不会，理由见解析； （2）20°． 【解答】解：（1）不会，理由是： ∵∠MAC＝120°， ∴∠CAN＝60°， ∵∠NBE＝60°， ∴∠CAN＝∠NBE， ∴AC∥BE， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EF∥HG， ∵MN∥EF， ∴HG∥MN， ∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°， ∴∠CHG＝160° ∴α＝180°﹣∠CHG＝20°． 26．（12分）【感知】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．如图①，当点P在过点E和点F的直线的左侧时，求∠AEP与∠CFP的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵AB∥CD（　已知　 ）， ∴PG∥AB（　平行于同一直线的两直线互相平行　 ）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝　90°　 ． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，其它条件不变，求∠AEP与∠CFP的和． 【拓展】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．若∠EPF的角平分线所在的直线交直线CD于点Q，且点Q在点F左边，请借助图①和图③，直接写出∠AEP﹣∠PQF的度数． 【答案】【感知】两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；90°． 【探究】270°． 【拓展】135°或45°． 【解答】解：【感知】如图②， 过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）， ∴PG∥AB（平行于同一直线的两直线互相平行）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝90°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；90°． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP+∠FPG＝180°， ∵AB∥CD（已知）， ∴PG∥AB， ∴∠AEP+∠EPG＝180°， ∴∠AEP+∠CFP+∠EPG+∠FPG＝180°+180°＝360°． ∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣90°＝270°． 【拓展】当点P在过点E和点F的直线的右侧时，设直线交AB于H， ∵∠EPF＝90°，PQ平分∠EPF， ∴∠EPQ＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠AHC＝∠PQF， ∵∠EPQ＝∠AHC+∠HEP＝45°，∠HEP＝180°﹣∠AEP， ∴∠PQF+180°﹣∠AEP＝45°， ∴∠AEP﹣∠PQF＝135°； 当点P在过点E和点F的直线的左侧时，设直线CP交AB于H， ∵∠EPF＝90°，直线PQ平分∠EPF， ∴∠EPH＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠AHQ＝∠PQF， ∵∠AEP＝∠AHQ+∠EPH＝∠PQF+45°， ∴∠AEP﹣∠PQF＝45°． 综上，∠AEP﹣∠PQF的度数为135°或45°． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 2．下列命题中，真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 4．宇树科技UnitreeB2﹣W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠4＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠4 6．如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 7．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 8．如图，将△ABC沿BC方向平移xcm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．（18+2x）cm B．（18+x）cm C．2（18﹣x）cm D．2（18+x）cm 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOE，∠1＝15°，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠EOD与∠3互为余角 D．∠FOD＝110° 10．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝57°，则∠1的度数是（　　） A．57° B．23° C．33° D．13° 11．当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线OA照射在水面MN上，折射光线为AB，若入射角为40°，折射角为25°，则∠OAB的度数为（　　） A．150° B．155° C．165° D．170° 12．如图，将正方形EBGF、正方形KLMN、正方形HIJD放入长方形ABCD中，其中HP＝JC，IQ＝QM，已知长方形ABCD的周长和中间正方形的边长LM，将图中四块阴影部分记为甲、乙、丙、丁，则下列可以求出的是（　　） ①乙的周长； ②甲、乙的周长和； ③丙、丁的周长差； ④甲、乙、丙、丁的周长和． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ． 14．若∠1＝36°，∠2的两边分别与∠1的两边平行，则∠2的度数为 　 　 ． 15．如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ． 16．已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　 度． 17．如图，直线AB，CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE平分∠AOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜360°）到OF．当∠AOF＝120°时，α是　 　 ． 18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，AB与CD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠EOD＝2∠BOD，求∠EOF的度数． 解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EOD+　 　 ＝　 　 ， 又∵∠EOD＝2∠BOD， ∴∠BOD＝　 　 ，∠EOD＝　 　 ， ∵OF⊥CD， ∴∠FOD＝　 　 ， ∴∠EOF＝　 　 ﹣　 　 ＝　 　 ． 20．（8分）如图，在方格纸中，三角形ABC的三个顶点和点P，Q都在格点上，平移三角形ABC，使它的顶点平移后都落在格点上． （1）平移三角形ABC，使点C移动到点Q，请在图1中画出平移后的三角形A1B1Q； （2）平移三角形ABC，使点P，Q中的一点在平移后的三角形的内部，另一点在平移后的三角形的外部，请在图2中画出一种平移后的三角形A2B2C2． 21．（8分）如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D． （1）BD与CE平行吗？为什么？ （2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由． 22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm． （1）求△ABC向右平移的距离AD的长； （2）求四边形AEFC的周长． 23．（8分）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 24．（10分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥AB． （1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数； （2）若∠BOD：∠EOD＝1：2，求∠COF的度数． 25．（10分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 26．（12分）【感知】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．如图①，当点P在过点E和点F的直线的左侧时，求∠AEP与∠CFP的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点P作PG∥CD， ∴∠CFP＝∠FPG（　 　 ）． ∵AB∥CD（　 　 ）， ∴PG∥AB（　 　 ）． ∴∠AEP＝∠EPG． ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPG+∠FPG． ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠CFP＝　 　 ． 【探究】如图③，当点P在过点E和点F的直线的右侧时，其它条件不变，求∠AEP与∠CFP的和． 【拓展】直线AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，作∠EPF＝90°，该角的两边分别交直线AB、CD于点E、F．若∠EPF的角平分线所在的直线交直线CD于点Q，且点Q在点F左边，请借助图①和图③，直接写出∠AEP﹣∠PQF的度数． 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