专题01 二次根式的混合运算与化简求值（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题01 二次根式的混合运算与化简求值 题型一：二次根式的混合运算 题型二：二次根式与乘法公式 题型三：二次根式与分式 题型四：二次根式的分母有理化及双重根号化简 1．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）9+2． 【解答】解：（1）原式2 ＝42 ＝4； （2）原式＝18﹣3﹣（1﹣25） ＝18﹣3﹣6+2 ＝9+2． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）； （3）4； （4）． 【解答】解：（1）原式0； （2）原式； （3）原式 ＝4； （4）原式 ． 3．计算： （1）； （2）|2|； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）3． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ； （3） ； （4） ＝8﹣3﹣2 ＝3． 4．计算： （1）． （2）． （3）（1）0． （4）． 【答案】（1）4； （2）0； （3）3； （4）6﹣2． 【解答】解：（1） ＝23 ＝4； （2） ＝4﹣4 ＝0； （3）（1）0 ＝31 ＝32 ＝3； （4） ＝3﹣22+5﹣4 ＝6﹣2． 5．计算 （1）； （2）（其中a＞0，b＞0）； （3）（其中a＞0，b＞0）； （4）（其中m≥0，n≥0，m≠n）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）2m﹣2n． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ＝2（m﹣n） ＝2m﹣2n． 6．求当，时，下列代数式的值． ①x2﹣y2； ②． 【答案】①24； ②． 【解答】解：当，时，x+y＝12，x﹣y＝2，xy＝33， ①x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝12×2 ＝24； ② ． 7．已知：，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2+ab+b2． 【答案】（1）8；（2）17． 【解答】解：∵，， ∴a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×28； （2）∵，， ∴a+b＝4，ab＝﹣1， ∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝42﹣（﹣1）＝16+1＝17． 8．已知，，求： （1）x+y和xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【答案】（1），xy＝2； （2）14． 【解答】解：（1）由条件可知： ，， ∴，xy＝2． （2）∵x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy，且由（1）得：，xy＝2， ∴， ∴x2+3xy+y2＝14． 9．已知，求下列各式的值． （1）； （2）x2﹣3xy+y2． 【答案】（1）； （2）11． 【解答】解：（1）x2，y2， x+y＝224， x﹣y＝222， ∴原式； （2）x2﹣3xy+y2＝（x﹣y）2﹣xy， xy＝（2）（2）＝1，x﹣y＝﹣2， 代入，得原式＝（﹣2）2﹣1＝11． 10．已知，，求下列代数式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣4xy+y2． 【答案】（1）4； （2）0． 【解答】解：（1）x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝（1）×（1）×（） ＝2 ＝4； （2）x2﹣4xy+y2 ＝（x﹣y）2﹣2xy ＝（）2﹣2×（1）×（1） ＝4﹣4 ＝0． 11．已知的小数部分为a，的小数部分为b． 先化简，再求值：． 【答案】﹣ab，． 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为8，小数部分为； 的整数部分为1，小数部分为， ∵原式 ＝﹣ab， ∴原式． 12．已知，，求的值． 【答案】． 【解答】解： ， 当，时，原式． 13．先化简，再求值：，其中a＝3，． 【答案】0． 【解答】解： （） ＝0； ∴当a＝3时，原式＝0． 14．已知y，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y， ∴x0且x≥0， 解得：x， 代入得：y＝8， ∴ 2• 2 2 ． 15．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：a4＝　　 ＝　　 ＝　　 ； （2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a2024． 【答案】（1），，； （2）44． 【解答】解：（1）a4， 故答案为：，，； （2）原式 1 ＝45﹣1 ＝44． 16．观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：a6　 ； （2）请写出第n个等式：an　 ； （3）求a1+a2+a3+…+a60的值． 【答案】（1）a6； （2）an； （3）5． 【解答】解：（1）观察，如a2的下标2，与中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得a6， 故答案为：a6； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式 an， 故答案为：an； （3）a1+a2+a3+…+a60 ... ＝5． 17．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得　　 ，分母有理化得　　 ． （2）利用上述方法，化简． 【答案】（1），； （2）27． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：，． （2） ＝3×（10﹣1） ＝27． 18．数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）原式 ＝11﹣1 ＝10． 19．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；． ．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简： 　　 ； 　　 ； 　　 ； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即： ， 所以． 解答问题： （3）填空： 　　 ， 　　 ； 【答案】（1）； （2）9； （3），． 【解答】解：（1）； ； ， 故答案为：；；； （2） 1... ＝﹣1 ＝﹣1+10 ＝9； （3）， ， 故答案为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次根式的混合运算与化简求值 题型归纳 题型一：二次根式的混合运算 题型二：二次根式与乘法公式 题型三：二次根式与分式 题型四：二次根式的分母有理化及双重根号化简 题型专练 1.计算： (1)48÷3-×V12+v24: (2)3+33E-同）-(1-同2， 2.计算： (1)6×2-V27+V18÷6: (2)2-3+V27; 3)⑧x+(5-, (48--3+(反-)2， 3.计算： (1)2W5+312-48: (2)4-3盾+2-V5: 3)V48÷V2-V月×12+V54: (4(22-322+5-(2. O⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 冲答‘4身章车诞凶样装源曾肆吗当Q巴 0<90<”中)品是÷(qE个？-)×号(8) (0<90<D中f)是-ε号+晋9-曾卧ez() -+2=-×卦-0 点1‘S (亿-++-))。(-D×孙-÷3+卧-8() \÷-8N×() |©--L2+/(I) 煮1b 邈系一每并丁 山03·yXXZ'MMM 举干·@锉右型 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -n_ 匹-2mn+n (4) mn n-m m+（其中m≥0，n≥0，m≠n). 6.求当x=6+V3,y=6-V3时，下列代数式的值. ①x2-y2; ②昏+v假 7.已知：a=2+5,b=2-5,分别求下列代数式的值： (1)a2-b2; (2)a2+ab+b2. 8.已知x=3+1,y=V3-1,求： (1)x+y和y的值； (2)求x2+3xy4y2的值. 9.已知x=y=2有，求下列各式的值。 1)号； (2)x2-3y+y2. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.已知x=V3+1,y=V3-1,求下列代数式的值： (1)x2y+y2; (2)x2-4y+y2. 11.已知5+V11的小数部分为a,5-√11的小数部分为b. ar2Vab+b 先化简，再求值： a-b b-Vab÷ b+√ab 我2Ψ+2”_2亚 12.已知x=反+1，y=巨-1，求k十 ”的值 a b a2Vab+b 13.先化简，再求值：后污一后-6，其中a=3,b=专 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.已知y=k-+V停-x+8,求-2 语·（法+m 15.细心观察下列等式： 第-个等式：日=2-】 5-② 第二个等式：a2=3+5=3+23- =5-巨 2-5) 第三个等式：a= 465e-有2-5 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：a4= (2)利用以上规律计算：a1+a2+a3++a2024: 16.观察下列等式： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 号， 1=5- 2买：3=分 2 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式： (2)请写出第n个等式： (3)求a1+a2+a3++a60的值. 17.阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到 整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新 结论的重要方法.例如(V2+1V2-1)=1,(N6+V3V后-V3=3,观察它们的结果，积不含根 号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法 （2+2)2 可以这样解：如方=2方 (2-2N2+2 =3+22像这样通过分子、分母同 乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化. 解决问题： (1)将后分母有理化得】 V6-E分母有理化得 3 3 3 3 (2)利用上述方法，化简+++…+ V99+W100· ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写 的一道题，先阅读，再回答问题。 (1)小青编的题： 观察下列等式： 1 5-1 5-1 卉=5+5- 2Γ； 5-5 5-5 5=5+5-5 直接写出以下算式的结果： 5+23 (2)小明编的题： 由二次根式的乘法可知： (3+1=4+25.(5+=8+25.(N+6)=a+b+2ab(a20,b20: 再根据平方根的定义可知V4+25=5+1·8+2=5+5. Va+b+2Wab=Va+6(a≥0，b20. 直接写出以下算式的结果：V7+43= (3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： (5++5+7+5+5万++)×V12+2W正. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运第时，我们有时会碰上如后，厚， 2 25-1) +1=( 1 5+13-1(3-12 一样的式子，分母中含有根号，其 实我们运可以格天注一萝化商：言=器=普，婚=隔=零， 2 25-1 5卉=5+5-可 -型=-1 （5-2 1x6-⑤ 6店= (W6+56-⑤同 =V6-5 以上这种化简的过程叫分母有理化。 解答问题： ()化简：言 1 √五+N-1 (2》利用上面所提供的解法，诗化简：方十万万十后十…十际丽十5o 1 材料二：形如√m+2W的化简，只要我们找到两个正数a,b,使a+b=m,ab=n,使得 +(⑤°=m,×6=a,那么便有：m±2=G±6)°=点±6(>b 例如：化简√7+4W3. 解：首先把V7+43化为7+2√12，这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12，即： V④+(W3=7,4×5=2, 所以w7+45-7+2=+同=2+5】 解答问题： (3)填空： V4+2V5= ,V3-22= ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8