第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级下册

第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0 C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知x、y为实数，且，求的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．13 7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　） A．（22）a2 B．a2 C．a2 D．（3﹣2）a2 8．使式子成立的条件是（　　） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 9．已知a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5 10．已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　） A．6 B．24 C．42 D．96 11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 12．观察下列计算：•（1）＝（1）（1）＝1， （）（1）＝[（1）+（）]（1）＝2， （）（1）＝[（1）+（）+（）]（1）＝3， … 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： （）（1）的值为（　　） A．2008 B．2010 C．2011 D．2009 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 14．化简　 　 ． 15．若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是　 　 ． 16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y2．例如：9◎3232，则6◎8＝　 　 ． 17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为　 　 ． 18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m′，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（8分）已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 21．（8分）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 22．（8分）一个三角形的三边长分别为、、 （1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， （1）求x+y，xy的值； （2）求x2+y2﹣xy的值． 24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与（a＞0，b＞0）的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果a≥b，那么；反之，如果，那么a≥b． 【知识应用】 （1）阅读下面的解题过程，并填空： ∵（）2＝　 　 ，（）2＝　 　 ， ∴（）2　 　 （）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） ∵，， ∴　 　 ．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） 【猜想证明】 （2）判断与（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明． 25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B． （1）原长方形纸片的长为　 　 cm，宽为　 　 cm； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 【答案】C 【解答】解：若是二次根式，则a≥0， 所以a的值不能是﹣2， 故选：C． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意； B、±a，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 3．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0 C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1 【答案】C 【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0， 即m≥﹣1，且m≠1， ∴m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1， 故选：C． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：2， ∵最简二次根式与可以合并， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3， ∴． 故选：A． 5．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：∵2，且是整数； ∴2是整数，即5n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为5． 故选：D． 6．已知x、y为实数，且，求的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：x﹣9≥0，9﹣x≥0， 解得：x＝9， ∴y＝0﹣0+4＝4， ∴， 故选：C． 7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　） A．（22）a2 B．a2 C．a2 D．（3﹣2）a2 【答案】A 【解答】解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x， 依题意得x+2x＝a，则x， ∴正八边形的面积＝a2﹣4（22）a2． 故选：A． 8．使式子成立的条件是（　　） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 【答案】B 【解答】解：由题意得：， 解得：a＞5． 故选：B． 9．已知a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5 【答案】A 【解答】解：b，a， 故选：A． 10．已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【解答】解：由已知得a﹣3，b﹣3， 两式平方，整理得a2﹣6a＝﹣7，b2﹣6b＝﹣7， 原式＝[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13] ＝[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13] ＝6．故选A． 11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： ∴S1， 故选：A． 12．观察下列计算：•（1）＝（1）（1）＝1， （）（1）＝[（1）+（）]（1）＝2， （）（1）＝[（1）+（）+（）]（1）＝3， … 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： （）（1）的值为（　　） A．2008 B．2010 C．2011 D．2009 【答案】D 【解答】解：由题意得：（）（1）＝2009． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．比较大小：　＞　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【解答】解：原式 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞． 14．化简　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 15．若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得， 解得：， ∴a＝4． ∴， ∴b+2＝0， ∴b＝﹣2， ∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6， ∴6的算术平方根是，即a﹣b的算术平方根是． 故答案为：． 16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y2．例如：9◎3232，则6◎8＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵x◎y2， ∴6◎8 2 ＝34 ， 故答案为：． 17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为　﹣3a ． 【答案】﹣3a． 【解答】解：根据题意可知，， 则，a+b＜0，，， 原式＝﹣a﹣（a+b）a+（b）＝﹣3a． 故答案为：﹣3a． 18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m′，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为　9316　 ． 【答案】9316． 【解答】解：由题意知，m＝1000a+100b+10c+d，m'＝1000c+100d+10a+b， ∴F（m）10a+b﹣10c﹣d＝20a+2b﹣109 ∴F（m）+4a+10b+1＝20a+2b﹣109+4a+10b+1＝24a+12b﹣108＝12（2a+b﹣9）， ∴2， ∵为整数， ∴2a+b﹣9＝3或2a+b﹣9＝12， 由题意知，当a值最大时，m的值最大， 当2a+b﹣9＝3时，最大的a值为5，此时b＝2，m的最大值为5257； 当2a+b﹣9＝12时，最大的a值为9，此时b＝3，m的最大值为9316； ∵5257＜9316， ∴满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316， 故答案为：9316． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）2﹣4； （3）﹣6； （4）42． 【解答】解：（1） ＝2 ； （2） 2 ＝2﹣4； （3） ＝﹣1﹣223﹣2 ＝﹣6； （4）． ＝13﹣6﹣（8﹣41） ＝7﹣8+41 ＝42． 20．（8分）已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴a的值是0，b的值是2； （2）2． 21．（8分）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】，． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ， 当a，b＝2时， 原式． 22．（8分）一个三角形的三边长分别为、、 （1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）周长 ， （2）当x＝20时，周长， （或当x时，周长等） 23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ① ② ③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知， （1）求x+y，xy的值； （2）求x2+y2﹣xy的值． 【答案】（1）；xy＝1； （2）9． 【解答】解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得： ， ， ∴， ∴， （2）原式＝（x+y）2﹣3xy ＝12﹣3 ＝9． 24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与（a＞0，b＞0）的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果a≥b，那么；反之，如果，那么a≥b． 【知识应用】 （1）阅读下面的解题过程，并填空： ∵（）2＝　5　 ，（）2＝　5　 ， ∴（）2　＞　 （）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） ∵，， ∴　＞　 ．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） 【猜想证明】 （2）判断与（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明． 【答案】（1）5+2，5，＞，＞；（2）， 证明：∵a＞0，b＞0，，， ∵，， ∵20， ∴， ∴． 【解答】解：（1）∵（）2＝2+23＝5+2，（）2＝2+3＝5， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：55，＞，＞；（2）， 证明：∵a＞0，b＞0，， ∵，， ∵20， ∴， ∴． 25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B． （1）原长方形纸片的长为　7　 cm，宽为　4　 cm； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】（1），； （2）6cm2； （3）不能，理由： ∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片． 【解答】解：（1）依题意，正方形纸片A的边长为； 正方形纸片B的边长为， ∴， 原长方形纸片的长为cm，宽为cm． 故答案为：7，4； （2）∵长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）不能截出，理由如下： ∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片． 26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 【答案】（1）1；（2）2；（3）22． 【解答】解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（）2+（）2＝6，， ∴1． （2）∵． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（）2+（）2＝13，， ∴2． （3）BC． ∵， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，， ∴BC22． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $