第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版八年级下册

第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、2+3＝5，原计算错误，不符合题意； B、3，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式．不能合并，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、|x|，不是最简二次根式，不符合题意； D、3，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 【答案】D 【解答】解：由题意可知：， ∴x≥﹣2且x≠0， 故选：D． 4．若最简二次根式与能合并，则a的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣9 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即：1﹣3a＝7， ∴﹣3a＝7﹣1，即﹣3a＝6， 解得：a＝﹣2． 故选：D． 5．若，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．15 【答案】B 【解答】解：∵， ∴， ∴x＝3， 故选：B． 6．若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【答案】D 【解答】解：若， 则a﹣5≤0， 解得a≤5， 故选：D． 7．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【答案】B 【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0， ∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a， 故选：B． 8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【解答】解：b（1），a＝1， ∴a与b互为相反数． 故选：A． 9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为：， ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 10．已知，则值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0， ∴a＞0， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B．1 C．b D．（）2＝﹣ab 【答案】B 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0． ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵1， ∴B的结论正确； ∵b， ∴C的结论不正确； ∵ab， ∴D的结论不正确， 故选：B． 12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：x≥1且x≠2； ②存在实数x，使得N2﹣M2＝1； ③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意可知x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 所以①正确； 由N2﹣M2＝1，得1， 解得x＝2． 经检验，x＝2不是原方程的根， ∴原方程无解， ∴不存在． 所以②不正确； 根据题意，得N2+M21， ∵M2+N2是一个整数， ∴（x﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝2， 解得x＝3或x＝1或x＝2或x＝2， ∵x为无理数，且x﹣1≥0， ∴x＝2， 所以③不正确； 所以正确的有1个． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．写出的一个有理化因式 　　 ． 【答案】 【解答】解：的有理化因式是． 故答案为：． 14．如果成立，那么a的取值范围是　1＜a≤3　 ． 【答案】1＜a≤3． 【解答】解：如果果成立， 由题意可得：， 故1＜a≤3， ∴a的取值范围是1＜a≤3， 故答案为：1＜a≤3． 15．已知1≤a≤2，化简　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0， ∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2| ＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1． 故答案为：1． 16．已知，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0且2﹣x≥0， 解得x＝2． ∴． 则 ，， ∴， ∴（x+y）2025（x﹣y）2026＝[（x+y）（x﹣y）]2025（x﹣y） ， 故答案为：． 17．已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　2026　 ． 【答案】2026． 【解答】解：由题可知， a﹣2026≥0， 解得a≥2026， ∵， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026， 故选：2026． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形ABCD和正方形EFGH），已知：，，S四边形MCIE＝25，则大正方形的边长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设大正方形的边长为x， ∵，， ∴，， ∴S四边形MCIE＝25， ∴， ， ， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1） ． （2） ＝﹣1． 20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径r（m）之间满足r，其中R是地球半径，R≈6.4×106m． （1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（8.76） （2）设广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】（1）87600m； （2）． 【解答】解：（1）代入h＝600m和R≈6.4×106m到可得： ， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为87600m； （2）∵广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 21．（8分）定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且a≥0． （1）求（5★1）（5☆1）的值； （2）化简（2★n）（2☆n）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝（1）（） ＝5﹣1 ＝4； （2）原式＝（n）（n） ＝2﹣n2． 22．（8分）已知a，b． （1）求a2b+ab2的值； （2）求a2﹣ab+b2的值． 【答案】（1）4； （2）13． 【解答】解：（1）∵a，b， ∴， ， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝1×4 ＝4； （2）由（1）可知：ab＝1，a+b＝4， ∴a2﹣ab+b2 ＝（a+b）2﹣3ab ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13． 23．（10分）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 【答案】（1）﹣1； （2）4c． 【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1， 则， 所以x， 则y＞1． 所以|x﹣1| ＝|x﹣1|﹣|x﹣1| ＝﹣1． （2）因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， 所以 ＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）| ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b ＝4c． 24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得　　 ，分母有理化得　　 ． （2）利用上述方法，化简． 【答案】（1），； （2）27． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：，． （2） ＝3×（10﹣1） ＝27． 25．（10分）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝m2+5n2 ；y＝　2mn ； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空：　1　 ； ②化简：． 【答案】（1）m2+5n2，2mn； （2）x＝7或x＝13； （3）①；②． 【解答】解：（1）， ∴x＝m2+5n2，y＝2mn； 故答案为：m2+5n2，2mn； （2）， ∴x＝m2+3n2，4＝2mn， ∴mn＝2， ∵m，n均为正整数， ∴当m＝1时，n＝2， 此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13； 当m＝2时，n＝1； 此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7； ∴x＝7或x＝13； （3）①； 故答案为：1； ② ． 26．（10分）【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0． 由以上信息可知： 如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为　﹣2　 ，n的值为　3　 ； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求a与c的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值． 【答案】【基础应用】﹣2；3； 【进阶拓展】a与c的等量关系为2a+c＝0； 【实际应用】bc＝2． 【解答】解：【基础应用】 由题意，∵，且（m+2）x+n﹣3＝0， ∴（m+2）（1）+n﹣3＝0， ∴（m+2）m﹣2+n﹣3＝0， ∴（m+2）m+n﹣5＝0． ∵m，n为有理数， ∴m+2＝0，且﹣m+n﹣5＝0． ∴m＝﹣2，n＝3． 故答案为：﹣2；3； 【进阶拓展】 由题意，∵， ∴aa+bb+c＝0． ∴a+b+c+（a﹣b）0． ∵a，b，c均为有理数， ∴a+b+c＝0，且a﹣b＝0． ∴a＝b，则2a+c＝0． 答：a与c的等量关系为2a+c＝0； 【实际应用】 由题意，∵一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为分米， ∴（2）2+a2＝（b+c）2． ∴9+4a2＝5b2+c+2bc． ∴9+a2+45b2+c+2bc． ∵a，b，c均为有理数， ∴2bc＝4． ∴bc＝2． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 4．若最简二次根式与能合并，则a的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣9 D．﹣2 5．若，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．15 6．若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 7．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　） A． B． C． D． 10．已知，则值为（　　） A． B． C． D． 11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B．1 C．b D．（）2＝﹣ab 12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：x≥1且x≠2； ②存在实数x，使得N2﹣M2＝1； ③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．写出的一个有理化因式 　 　 ． 14．如果成立，那么a的取值范围是　 　 ． 15．已知1≤a≤2，化简　 　 ． 16．已知，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为　 　 ． 17．已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　 　 ． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形ABCD和正方形EFGH），已知：，，S四边形MCIE＝25，则大正方形的边长为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算题 （1）； （2）． 20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径r（m）之间满足r，其中R是地球半径，R≈6.4×106m． （1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（8.76） （2）设广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 21．（8分）定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且a≥0． （1）求（5★1）（5☆1）的值； （2）化简（2★n）（2☆n）． 22．（8分）已知a，b． （1）求a2b+ab2的值； （2）求a2﹣ab+b2的值． 23．（10分）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得　 　 ，分母有理化得　 　 ． （2）利用上述方法，化简． 25．（10分）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝　 　 ；y＝　 　 ； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空：　 　 ； ②化简：． 26．（10分）【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0． 由以上信息可知： 如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为　 　 ，n的值为　 　 ； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求a与c的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $