4.6 两条平行线间的距离-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（湘教版2024）

4.6两条平行线间的距离 香图提园 1.公垂线及公垂线段：与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的 线段，叫作这两条平行直线的公垂线段。 2.公垂线段的性质：两条平行线的所有公垂线段都相等 3.两条平行线间的距离：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 课内基础练 知识点③求两条平行线间的距离 知识点① 公垂线段及其性质 5.(2024邵东期末)如图，已知点A在直线a 1.如图，地面上有一样长的电线 上，C,B两点在直线b上，且a∥b,∠ABC 杆AB,CD分别与地面垂直， 是个钝角.若AB=5,则a,b两直线的距离 小明想知道两根电线杆顶端 可以是 ( 第1题图 A,C之间的距离.他没有梯子，于是就测量了底 A.8 B.6 C.5 D.4 端BD之间的距离，他认为B,D之间的距离等 于A,C之间的距离，你认为对吗？ (填“对”或“不对”)，依据是 第5题图 第6题图 2.如下图，AD∥BC,AB∥DC,请你分别画出 6.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,AD∥BC.若AB= AD与BC,AB与CD的一条公垂线段. 3cm,AD=4cm,则AB与CD之间的距离为 ( A.3 cm B.4 cm C.3cm或4cm D.不确定 7.(2024株洲攸县期末)如图，4 ∥b,点P在直线a上，点A, B,C都在直线b上，PA⊥ AC,且PA=2cm,PB= 第7题图 知识点②两条平行线间的距离的定义 3cm,PC=4cm,则直线a,b间的距离为 3.如图，已知直线m∥n,则下列能表示直线 cm. m,n之间距离的是 ( 8.(教材变式)如下图，直线a∥b∥c,AB⊥a, A.线段AB的长 B.线段AC的长 ABLb,a与b的距离是10cm,b与c的距离 C.线段AD的长 D.线段DE的长 是4cm.求a与c的距离. B C D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB,EF⊥AB,垂 足分别为D,F,则EF与CD之间的距离是 的长 70 七年级数学J版 色课外拓展练 14.如右图，将四边形ABCD 9.如图，点P,M分别在直线AB,CD上，且 放在一组间距相等的平行 AB∥CD,点P到CD的距离为5cm,则点 线中.已知BD=6cm,四 B M到AB的距离 ( 边形ABCD的面积为 A.大于5cm B.小于5cm 24cm2,求相邻两条平行线间的距离. C.等于5cm D.不能确定 AP —B C方一D 第9题图 第10题图 10.如图，AD∥BC,BC=6,且△ABC的面积 为12，则点C到AD的距离为 易错点忘记分类讨论而致错 15.如下图，已知∠A=∠B=90°，AD=3,AB 11.已知AB,CD,EF是同一平面内三条互 =2,DE⊥BC,垂足为E,△DEC的面积是 相平行的直线，且AB与CD的距离是 1.求BC的长. 8cm,CD与EF的距离是2cm,则AB 与EF的距离是 cm. 12.如图，直线a∥b,点A,B位于直线a上，点C, D位于直线b上，且AB:CD=1：2.若 △ABC的面积为6，则△BCD的面积为 核心素养练 第12题图 16.几何直观如下图，AD=BC=7cm,AD∥ 13.如下图，AB∥CD,E,F为AB上的两点， BC,AC=21cm,BE⊥AC于点E,且BE= M,N为CD上的两点，连接EM,FN,且 5cm.求平行线AD与BC之间的距离. EM⊥CD,则EM与FN有怎样的大小关 系？请说明理由 一B CN M D 下册第4章(2)因为AB∥EF, 所以∠ADE=∠DAB,∠CEF=∠CAB, 所以2∠ADE=∠CEF. 12.解：(1)DE∥AC.理由如下： 因为AB∥GE,所以∠1=∠DEG 因为∠1=∠2，所以∠DEG=∠2，所以DE∥AC (2)∠B=∠G.理由如下： 因为AB∥GE,所以∠B=∠GEC. 因为AG∥BC,所以∠G=∠GEC,所以∠B=∠G. 13.解：(1)因为EF∥BC,所以∠ADF=∠ABC. 因为BM平分∠ABC,DN平分∠ADF, 所以∠ABM=号∠ABC.∠ADN=∠ADF 所以∠ABM=∠ADN,所以DN∥BM, 所以∠M+∠N=180°. (2)∠M=∠N.理由如下： 因为EF∥BC,所以∠EDB=∠ABC. 因为BM平分∠ABC,DN平分∠EDB, 所以∠ABM=∠ABC,∠BDN=∠EDB, 所以∠ABM=∠BDN,所以DN∥BM,所以∠M=∠N. 4.5垂线 第1课时垂线 1.B变式题B2.C变式题140° 3.解：因为AOLBO,C0LDO, 所以∠AOB=∠COD=90°. 因为∠BOC=121°， 所以∠AOC=∠BOC-∠AOB=121°-90°=31°， 所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-31°=59°. 4.C5.C6.BC⊥AB 7.解：因为EF⊥CD,GH⊥CD, 所以EF∥GH,所以∠1=∠3 因为∠2=∠3，所以∠1=∠2. 8.B9.B10.60°11.90°12.80°或100° 13.解：因为DG⊥BC,AC⊥BC, 所以DG∥AC,所以∠2=∠3. 因为∠1=∠2，所以∠1=∠3， 所以EF∥DC,所以∠AEF=∠ADC. 因为EF⊥AB,所以∠AEF=90°， 所以∠ADC=90°，所以CD⊥AB. 14.解：AB⊥BC.理由如下： 由折叠的性质可知，∠ABD=∠ABD,∠EBC= ∠EBC.因为∠ABD+∠ABD'+∠EBC+∠EBC =180°，所以2∠ABD+2∠EBC=180°， 所以∠ABD'+∠E'BC=90°， 即∠ABC=90°，所以AB⊥BC. 15.解：(1)∠E0F=25°. (2)∠E0F=90°-1。 2. 第2课时垂线段与点到直线的距离 1.C 2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3.C4.A5.A 6.解：朱贤先到达体育馆.因为从朱贤家到体育馆的路程 是垂线段，路程最短。 174 七年级数学XJ版 7.D8.4.866.49.510.A11.C12.C13.4 14.解：因为FG⊥BC,DE∥BC,所以FG⊥DE. 因为AG⊥DE,所以点A,F,G在同一直线上. 又因为AF=AG+FG=2+3=5(cm), 所以点A到BC的距离为5cm. 15.解：(1)如图，过点M作ME⊥AB于点E,过点N作 NF⊥AB于点F. M 当汽车行驶到点E处时，对学校M的影响最大；当汽 车行驶到点F处时，对学校N的影响最大. (2)当汽车由点A向点E行驶时，对两所学校的影响 逐渐增大；当汽车由点F向点B行驶时，对两所学校 的影响逐渐减小；当汽车由点E向点F行驶时，对学 校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大. 4.6 两条平行线间的距离 1.对两条平行线的所有公垂线段都相等 2.解：如图，AE是AD与BC的公垂线段，AF是AB与 CD的公垂线段（画法不唯一）. 3.B4.FD5.D6.B7.2 8.解：因为直线a∥b∥c,AB⊥a,AB⊥b,所以AB⊥c. 因为a与b的距离是10cm,b与c的距离是4cm, 所以AB=10cm,BC=4cm, 所以AC=AB-BC=6cm,所以a与c的距离是6cm. 9.C10.411.10或612.12 13.解：FN>EM.理由如下： 如图，过点F作FP⊥CD于点P, 则FP=EM 因为FN>FP,所以FN>EM. CNM P D 14.解：如图，过点A作AE⊥BD于 点E,过点C作CF⊥BD于点F, 则S边形AcD=S△ABD十S△BCD= BD:AE+BD·CP- C E zBD·4CF=24cm. 因为BD=6cm, 所以CF=2cm, 即相邻两条平行线间的距离为2cm. 15.解：因为∠A=∠B=90°，所以AD∥BC 又因为DE⊥BC,AB⊥BC, 所以AB∥DE,DE=AB=2,所以BE=AD=3. 因为SaEc=1,即，DE·EC=1, 所以EC=1,所以BC=BE+EC=4, 16.解：如图，连接AB,CD,过点C作CFA ⊥AD,交AD的延长线于点F. 因为AD∥BC,AD=BC,所以S△G =S△kcD· 因为Sm=AC·BE=×21X5 -195(cm),所以Sam=号AD.CF=号×7CF= 2 1g5cm,所以CF=15cm, 所以平行线AD与BC之间的距离为l5cm. 解题方法专题平行线中作辅助线的方法 1.解：连接BC,如图 A B 因为AB∥CD, 所以∠ABC=∠BCD. 又因为∠ABF=∠DCE, 所以∠ABC-∠ABF=∠BCD ∠DCE,即∠FBC=∠ECB, 所以BF∥CE, 所以∠F=∠E 2.解：如图，延长AE交l2于点B. 因为41∥l2, 所以∠ABC=∠1=70°. 因为∠a=∠B, 所以AE∥DC, 所以∠2=∠ABC=70°. 3.解：AB∥GF.理由如下： 如图，过点C作CK∥GF,分别延 长GF,CD交于点H, 所以∠H+∠2+∠BCK=180° H 因为CD∥EF,所以∠H=∠1， 所以∠1+∠2+∠BCK=180°. 又因为∠1+∠2=∠ABC, 所以∠ABC+∠BCK=180°， 所以AB∥CK,所以AB∥GF. 4.解：延长AM交CD于点E,延长AP交DC的延长线 于点F,如图 因为AB∥CD,所以∠BAE+ ∠AED=180°. 因为∠AMD+∠DME=180°， ∠MED+∠MDE+∠DME= 180°，所以∠AMD=∠MED+ ∠MDE=150°，所以180°-∠BAM+∠MDE=150°， 所以∠BAM-∠MDE=30°.因为∠NDM= 号∠NDC,所以∠MDE=号∠NDC 1 又因为∠BAM=号∠BAP,所以号∠BAP 号∠NDC=30,所以∠BAP-∠NDC=45 因为AB∥CD,所以∠BAP+∠AFC=180°. 因为CP∥DN,所以∠PCF=∠NDC.同上可知， ∠APC=∠AFC+∠PCF=180°-∠BAP+∠NDC =180°-（∠BAP-∠NDC)=180°-45°=135°. 5.解：(1)如图①，过点E作EK∥AB,则∠ABE+ ∠BEK=180°， 所以∠BEK=180°-∠ABE=50°. 因为∠CEF=90°， 所以∠CEK=90°-∠BEK=40°. 因为AB∥CD,EK∥AB, 所以EK∥CD,所以∠C=∠CEK=40°. 图① 图② (2)∠ABE-∠C=60°.理由如下： 如图②，过点E作EL∥AB,则∠ABE+∠BEL=180°， 所以∠BEL=180°-∠ABE. 因为AB∥CD,EL∥AB, 所以EL∥CD,所以∠C=∠CEL. 因为∠CEF=∠BEL+∠CEL=120°，即180°- ∠ABE+∠C=120°， 所以∠ABE-∠C=180°-120°=60°. 6.解：如图，过点E作EM∥AB,过点A F作FN∥CD,则∠BEM=∠B= M 30°，∠D+∠NFD=180°，所以 ∠BEF=∠BEM+∠MEF=∠B+ W-------- ∠MEF=30°+∠MEF, ∠EFD=∠EFN+∠NFD=∠EFN+(I8O°-∠D) =∠EFN+(180°-120)=∠EFN+60°. 因为AB∥CD,EM∥AB,FN∥CD, 所以EM∥FN,所以∠MEF=∠EFN, 所以∠EFD-∠BEF=30° 7.解：(1)180°360°540° 4 如图①，过点A2作HA2∥MA1. H-....---A2 因为MA∥NA,所以MA:∥HA2∥ NA3,所以∠MAA2+∠AAH= A3 图① 180°，∠HA2A3+∠A2AN=180°， 所以∠MA1A2+∠A1A2H+∠HAA3+∠A2AN= 360°，即∠A1十∠A1AA+∠A=360°. (2)180(n-1)° (3)由上述结论可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°， 所以∠ABE+∠CDE=360°-∠E=360°-m°. 因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABF-∠ABE,∠CDF-2∠CDE, 如图②，过点F作FG∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥FG∥CD, 所以∠BFG=∠ABF,∠DFG=∠CDF, 所以∠BFG+∠DFG=∠ABF+ B A ∠CDF-?∠ABE+号∠CDE= 2(∠ABE+∠CDE)=180°- 图② 1 2m,即∠BFD=180-zm: 数学思想专题相交线与平行线中的 思想方法 1.A2.C 3.解：如图，过点F作FM∥CD C D 因为AB∥CD,所以FM∥AB∥CD, 所以∠DEF+∠EFM=180,G ---------------M ∠MFA+∠BAG=180°. A B 因为∠BAG=150°， 所以∠MFA=30°. 下册参考答案 175