第7章 解题方法专题 平行线中的作轴助线的方法-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（人教版2024）

解题方法专题 平行线中的作辅助线的方法 题型① 基本图形“了” 6.(2024吉安吉州区期中)【问题背景】观察小 1.如图，AB∥EF,CD⊥EF于点D.若∠B 猪的猪蹄，从中可以抽象出如图①所示的 40°，则∠BCD的度数为 ( 图形. A.140° B.130° C.120 D.110° A- 40>B 图① 图② 【问题探究】(1)如图①，AB∥CD,E为AB, cOO 第1题图 第2题图 CD之间一点，连接AE,CE.判断∠AEC与 2.如图所示的是一款手推车的侧面示意图，其 ∠A,∠C之间的数量关系，并说明理由； 中AB∥CD.若∠1=30°，∠2=70°，则∠3 【灵活应用】(2)如图②，直线AB∥CD.若 的度数为 ( ∠E=∠B=60°，∠F=85°，求∠D的度数. A.150° B.140° C.130° D.120° 3.如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置 在两条平行线上.若∠1=45°，则∠2的度数 为 A.15 B.25 C.35° D.45° B 1 ○60 2 第3题图 第4题图 4.如图，四边形ABCO是长方形，D是BC边 上的一个动点（点D与点B,C不重合），则 ∠BAD+∠DOC的值为 ) ∠ADO A.1 B号 题型② 基本图形“>” 7.如图，AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C C.2 D.无法确定 5.如图，AB∥CD,∠BOC=100°，BE,CF分别 平分∠ABO,∠OCD,则∠2-∠1= 第7题图 第8题图 8.如图，直线a∥b,点M,N分别在直线a,b 上，P为两平行线间一点，连接PM,PN,则 第5题图 ∠1+∠2+∠3= 下册第七章 9.北京冬奥会的国家跳台滑4B 12.如下图，直线 EF∥GH， 点A在 EF ，AC 雪中心场馆(雪如意)坐落 交GH于点 B. 若 $$\angle F A C = 7 2 ^ { \circ } ， \angle C = 5 8 ^ { \circ } ，$$ E 在河北省的张家口市，其 C D 点D在 GH 上，求 ∠BDC 的度数 侧面可近似看作如右图所示的图形.若AB A -F $$\parallel C D ， \angle B A E = 5 6 ^ { \circ } ， \angle E C D = 1 5 0 ^ { \circ } ，$$ ，求 G- ∠AEC 的度数. B D C 13.几何直观如图， ，AB∥CD，E 是AB，CD之 外的任意一点 A B A- C- D D E E 图 ① 图② 10.(教材变式)如右图，一条公 N (1)如图 ①，∠BED ∠B，∠D 的数量关 路修到湖边时，需弯绕道 A C 系是 ； B 而过.如果第一次向右拐 (2)如图②，探究 ∠CDE 与 ∠B，∠BED 的 $$7 5 ^ { \circ } ，$$ 第二次拐弯形成的拐角 $$\angle B = 1 3 5 ^ { \circ } ，$$ 第 数量关系，并说明理由. 三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯前的 道路平行，那么第三次是如何拐弯的? 题型④其他综合图形 14.如下图所示，已知 CD//EF，∠1+∠2= ∠ABC， ，试判断AB与GF的位置关系，并 说明理由. C D 2 2 $$\overrightarrow { B }$$ -A 题型③基本图形“” >E 1 11.(2024上饶广信区期末)某同 A 学在研究传统文化“抖空竹” E C B 时，把它抽象成数学问题.如 D 图所示， AB∥CD， 若 ∠BAE 第11题图 $$= 8 7 ^ { \circ } ， \angle D C E = 1 2 1 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠E 的度数是 . 18 七年级数学RJ版阶段综合训练平行线的判定和性质 $$1 . A \quad 2 . C \quad 3 . C \quad 4 . B$$ 变式题 C5.DE//AH $$6 . 1 4 0 ^ { \circ } 7 . 5 0 ^ { \circ } 8 . 2 0 ^ { \circ }$$ 9. .解： ∵DE 平分 ∠ADC，∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠ADE，∴AD∥BC， $$\therefore \angle A + \angle B = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A = 1 0 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B = 8 0 ^ { \circ } .$$ 10 0.解： ：(1)∵AD∥BC， $$\therefore \angle B + \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle B = 8 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - 8 0 ^ { \circ } = 1 0 0 ^ { \circ } .$$ (2)∵AE 平分 $$\angle B A D ， \angle B A D = 1 0 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle D A E = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D = 5 0 ^ { \circ } .$$ ∵AD∥BC， $$\therefore \angle A E B = \angle D A E = 5 0 ^ { \circ } .$$ 又 $$\because \angle B C D = 5 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠AEB=∠BCD，∴AE∥DC. 11.解： (1) 由题图 ② 可知 ，∠BNM=∠AND. ∵∠AOE=∠BNM， ∴∠AOE=∠AND， ∴OE//DM. (2)∵AB 与 CD 都平行于EF， ∴AB∥CD， $$\therefore \angle B O D = \angle O D C = 3 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A O F + \angle B O D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A O F = 1 5 0 ^ { \circ } .$$ ∵OE 平分 ∠AOF， $$\therefore \angle E O F = \frac { 1 } { 2 } \angle A O F = 7 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B O E = \angle B O D + \angle E O F = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ ∵OE∥DM， $$\therefore \angle A N M = \angle B O E = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ 12.解 ：(1)∵AE 平分 ∠BAC，∴∠1=∠2. ∵∠2=∠3，∴∠1=∠3， ∴AB∥CD. $$\left( 2 \right) \because \angle A F E - \angle 2 = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A F E = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } .$$ $$\because A B \parallel C D ， \therefore \angle A F E = \angle F E D = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } .$$ ∵EF 平分 ∠AED， $$\therefore \angle A E D = 2 \angle F E D = 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle 3 + \angle A E D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle 3 + 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ ∵∠3=∠2， $$\therefore \angle 2 + 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 $$\angle 2 = 4 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A F E = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } = 7 0 ^ { \circ } .$$ 故 ∠AFE 的度数为 $$7 0 ^ { \circ } .$$ 7.3 定义、命题、定理 1.A 2.如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等 3.B 4.解：(答案不唯一)题设：②③ 结论： ① 证明 ∵AB∥DE，∴∠B=∠COD. 又 ∵BC∥EF，∴∠E=∠COD， ∴∠B=∠E. 162 七年级数学RJ版 7.4 平移 1.C 2.D 3.B 4.A 5.40 6.24 7.560 8.解：(1)由平移的性质，得 AB//DE， $$\therefore \angle B A D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B A C + \angle 1 + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle 1 = 4 0 ^ { \circ } ， \angle 2 = 8 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } .$$ (2)∠BAD=∠BED. 证明： 由平移的性质，得 AB//DE，AD∥BE， $$\therefore \angle B A D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ， \angle B E D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠BAD=∠BED. 9.解：(1)三角形 $$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 如图所示. (2)线段AC 在变换到线段 $$A _ { 1 } C _ { 1 }$$ 的过程中扫过区域的 面积为 4×2+3×2=14. B A B $$A _ { 1 }$$ $$C _ { 1 }$$ 解题方法专题平行线中的作辅助线的方法 $$1 . B 2 . B \quad 3 . A \quad 4 . A \quad 5 . 5 0 ^ { \circ }$$ 6.解： (1)∠AEC=∠A+∠C. 理由如下：过点 E 作 EF∥AB， ，如 A 图 ①. E ∵AB∥CD， F ∴AB∥CD∥EF， C D ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF. 图① ∵∠AEC=∠AEF+∠CEF， ∴∠AEC=∠A+∠C. (2) 过点 F F 作 FH∥AB， ，如图② ^{∘} H F ∵AB∥CD， A -B ∴AB∥CD∥HF， E $$\therefore \angle B + \angle H F B = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ D $$\therefore \angle 1 = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle E F B = 1 8 0 ^ { \circ } -$$ 图② $$6 0 ^ { \circ } - 8 5 ^ { \circ } = 3 5 ^ { \circ } .$$ 由 (1)， 得 ∠E=∠1+∠D， $$\therefore \angle D = \angle E - \angle 1 = 6 0 ^ { \circ } - 3 5 ^ { \circ } = 2 5 ^ { \circ } .$$ $$7 . 5 4 0 ^ { \circ } 8 . 3 6 0 ^ { \circ }$$ 9. 解：如图，过点 E 作 EF∥AB， A AB $$\therefore \angle B A E + \angle A E F = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E F = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B A E = 1 8 0 ^ { \circ }$$ E $$- 5 6 ^ { \circ } = 1 2 4 ^ { \circ } .$$ C D ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD， $$\therefore \angle F E C + \angle E C D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle F E C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle E C D = 1 8 0 ^ { \circ } - 1 5 0 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E C = \angle A E F + \angle F E C = 1 2 4 ^ { \circ } + 3 0 ^ { \circ } = 1 5 4 ^ { \circ } ，$$ 10.解：如图，过点 B 作 BM∥OA， ，延 N 长 BC 至点 A $$\overrightarrow { M } ；$$ ∵BM∥OA，OA∥CN， B ∴BM∥CN. $$0 ^ { \circ }$$ 由第一次向右拐 $$7 5 ^ { \circ } ，$$ ，得 $$\angle A = 1 8 0 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ ∵BM∥OA， $$\therefore \angle A B M = \angle A = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A B C = 1 3 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle M B C = \angle A B C - \angle A B M = 3 0 ^ { \circ } .$$ 又 $$\because B M \parallel C N ， \therefore \angle N C P = \angle M B C = 3 0 ^ { \circ } .$$ 故第三次向左拐 $$3 0 ^ { \circ } .$$ $$1 1 . 3 4 ^ { \circ }$$ 12. .解 $$\because E F \parallel G H ， \angle F A C = 7 2 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle D B C = \angle F A C = 7 2 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle C = 5 8 ^ { \circ } ， \therefore \angle B D C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle D B C - \angle C = 1 8 0 ^ { \circ }$$ $$- 7 2 ^ { \circ } - 5 8 ^ { \circ } = 5 0 ^ { \circ } .$$ 13.解： ：(1)∠B=∠BED+∠D (2)∠CDE=∠B+∠BED. 理由：如图，过点 E 作 EF∥AB. B ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD， $$\therefore \angle B + \angle B E F = 1 8 0 ^ { \circ } ， \angle C D E + C$$ D $$\angle D E F = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ .. $$\overrightarrow { E }$$ 又 ∵∠DEF=∠BEF-∠BED ∴∠CDE+∠BEF-∠BED=∠B+∠BEF， ，即 ∠CDE=∠B+∠BED. 14.解： ：AB∥GF. 理由如下： C 如图，过点 作 CK∥GF， ，延 2 D 2 B -A 长 GF，CD 交于点 H. ∵CK∥GF， $$\therefore \angle H + \angle 2 + \angle B C K ^ { H }$$ F -G $$= 1 8 0 ^ { \circ } .$$ ∵CD∥EF，∴∠H=∠1. 又 ∵∠1+∠2=∠ABC， $$\therefore \angle A B C + \angle B C K = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ∴AB//CK. ∵GF∥CK，∴AB//GF. 思想方法专题相交线与平行线中的思想方法 1.B 2.解： (1) 设 ∠1=x， ，则 ∠2=2x，∠3=3x. ∵AB∥CD， $$\therefore \angle 2 + \angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ 即 $$2 x + 3 x = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，解得 $$x = 3 6 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle 1 = 3 6 ^ { \circ } ， \angle 2 = 7 2 ^ { \circ } .$$ (2) 证明： $$\because \angle 1 = 3 6 ^ { \circ } ， \angle 2 = 7 2 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A B E = 1 8 0 ^ { \circ } - \left( \angle 1 + \angle 2 \right) = 1 8 0 ^ { \circ } - \left( 3 6 ^ { \circ } + 7 2 ^ { \circ } \right) =$$ $$7 2 ^ { \circ } ， \therefore \angle 2 = \angle A B E = 7 2 ^ { \circ } ，$$ ，即 BA 平分 ∠EBF. 3.解： ∵OE⊥AB， $$\therefore \angle A O E = \angle B O E = 9 0 ^ { \circ } .$$ 设 ∠COE=2x， ，则 ∠AOC=5x. ∵∠AOC-∠COE=∠AOE， $$\therefore 5 x - 2 x = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 解得 $$x = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle C O E = 6 0 ^ { \circ } ， \angle A O C = 1 5 0 ^ { \circ } .$$ ∵OF 平分 ∠AOC， $$\therefore \angle A O F = 7 5 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A O D = \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C O E = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle D O F = \angle A O D + \angle A O F = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ $$4 . \frac { 1 1 0 } { 3 }$$ $$\frac { 0 } { 3 } \pi$$ 或 $$9 0 \quad 5 . 6 0 ^ { \circ }$$ 或 $$1 2 0 ^ { \circ }$$ $$6 . 3 0 ^ { \circ }$$ 或 $$4 5 ^ { \circ }$$ 或 $$1 2 0 ^ { \circ }$$ $$7 . 6 1 ^ { \circ }$$ 或 $$1 1 9 ^ { \circ } 8 . 5$$ 或95 9.解：点 F 可在直线ED的上方或下方，如图所示，过点 F作 FG∥BC. A G D E D E F B B 图② ∵DE∥BC，∴FG∥DE∥BC， $$\therefore \angle D + \angle D F G = 1 8 0 ^ { \circ } ， \angle B + \angle B F G = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ 又 $$\because \angle A B C = 1 0 0 ^ { \circ } ， \angle E D F = 1 2 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B F G = 8 0 ^ { \circ } ， \angle D F G = 6 0 ^ { \circ } .$$ 当点 F 在直线 ED 的上方时，如图 ①，∠DFB=∠BFG $$- \angle D F G = 2 0 ^ { \circ } ；$$ 当点 F 在直线 ED 的下方时，如图 ②，∠DFB=∠BFG $$+ \angle D F G = 1 4 0 ^ { \circ } .$$ 综上所述 ∠DFB 的度数为 $$2 0 ^ { \circ }$$ 或 $$1 4 0 ^ { \circ } .$$ 10.B11.C 12.证明 $$\because A D \bot B C ， E F \bot B C ， \therefore \angle 1 = \angle 2 = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴AD∥FE，∴∠4=∠5，∠3=∠F. 又 ∵AD 平分 ∠BAC，∴∠3=∠4，∴∠F=∠5. 13.解： (1) 证明 ∵AB∥CD， $$\therefore \angle B D C + \angle B = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ ∵∠A=∠BDC， $$\therefore \angle A + \angle B = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ∴AE∥BD. (2) 如图，过点 E 作 EG∥AB， A B 则 $$\angle A + \angle A E G = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ E .. G $$\because \angle B D C = \angle A = 1 4 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E G = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A = 4 0 ^ { \circ } .$$ ∵AB∥CD，AB∥EG， C D F ∴CD∥EG， $$\therefore \angle F E G = \angle F = 2 2 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E F = \angle A E G + \angle F E G = 6 2 ^ { \circ } .$$ ∵EF 是 ∠AEC 的平分线， $$\therefore \angle C E F = \angle A E F = 6 2 ^ { \circ } .$$ 章末对点导练 $$1 . B 2 . C 3 . 1 3 0 ^ { \circ }$$ 4.D5. 内错角相等，两直线平行 $$6 . D 7 . 7 5 ^ { \circ } 8 . 1 0 0 ^ { \circ }$$ 9.解： ：(1)∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD. $$\because \angle 2 + \angle E G F + \angle E G D = 1 8 0 ^ { \circ } ， \angle 2 = \angle 1 ，$$ $$\therefore \angle 1 + 6 0 ^ { \circ } + \angle 1 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，解得 $$\angle 1 = 6 0 ^ { \circ } .$$ $$\left( 2 \right) \angle A E F + \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } .$$ 理由：如图，过点 F 作 FP∥AB. A E B ∵CD∥AB， P ∴FP∥AB∥CD， $$\therefore \angle A E F = \angle E F P ， \angle F G C _ { C } = \frac { D } { C G }$$ G D =∠GFP， ∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG. $$\because \angle E F G = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A E F + \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } .$$ $$1 0 . D 1 1 . A \quad 1 2 . D \quad 1 3 . 1 1$$ 14.证明： ∵∠C=∠1， ∴BE∥CF，∴∠CFD=∠EGD. $$\because B E \bot F D ， \therefore \angle E G D = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle C F D = 9 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle 2 + \angle D = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle 2 + \angle C F D + \angle D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ 即 $$\angle A F D + \angle D = 1 8 0 ^ { \circ } ， \therefore A B \parallel C D .$$ 下册参考答案 163