第10章 阶段综合训练 平行线的性质与判定-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（沪科版2024 安徽专版）

阶段综合训练 平行线的性质与判定 题型① 平行线的判定 题型② 平行线的性质 1.如下图，若∠B+∠D=∠E,试猜想AB与 4.如下图，直线a∥b∥c,直角三角板的直角顶点 CD的位置关系，并说明 B 落在直线b上.若∠1=38°，求∠2的度数 理由. 2.如下图，已知∠C+∠E=∠A.试说明：AB5.(2024合肥肥西期未)如下图，是某射箭运动 ∥CD. 员射箭的一个瞬间.已知AB∥CD,AF∥ B DE,∠1=90°，∠2=110°，∠C=135°.求 ∠CBE的度数 D 3.如下图，已知点E在BD上，EA平分 ∠BEF,EC平分∠DEF (1)试说明：AE⊥CE; (2)若∠1=∠A,∠4= ∠C,试说明：AB∥CD. 6.如下图，BC∥AD,BE∥AF. (1)试说明：∠A=∠B; (2)若∠DOB=135°，求∠A的度数， 90 七年级数学HK版 题型③平行线的性质和判定的综合应用 9.跨物理学科实验证明：平面镜反射光线的 7.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B 规律是射到平面镜上的光线和被反射出的 =80° 光线与平面镜所夹的锐角相等.如图①，一 (1)求∠BAD的度数； 束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光 (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠C= 线为n,则入射光线，反射光线n与平面镜 50°.试说明：AE∥DC. a所夹的锐角相等，即∠1=∠2. (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图② 是潜望镜工作原理的示意图，AB,CD是平 行放置的两面平面镜.请解释进入潜望镜的 光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平 行的； (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系， 经过两次反射后，入射光线m与反射光线n 之间的位置关系会随之改变.若入射光线m 与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜 的夹角∠B的度数是多少？ n D 8.如下图，CD∥AB,∠DCB=70°，∠CBF= 20°，∠EFB=130°. (1)直线EF与AB有怎样的位置关系？请 图① 图③ 说明理由； (2)若∠CEF=70°，求∠ACB的度数. 下册第10章 91△示意图如图，延长VO交AB于点P 因为AB⊥EF,CD⊥EF, 所以∠EOB=∠COF=90° 因为OM平分∠EOB,ON平分∠COF, 所以∠EOM=∠FON=45 因为∠FON=∠EOP,所以∠EOM=∠EOP, 所以OM∥ON. 第3课时平行线的判定方法2,3 1.A2.AB∥CD 3.(1)ABCE内错角相等，两直线平行 (2)ACDE内错角相等，两直线平行 4.解：因为∠1=∠2，所以AB∥CD. 因为∠3=∠4，所以CD∥EF,所以AB∥EF 5.解：a∥b.理由如下： 如图，因为∠1=∠2， 所以180°-∠1=180°-∠2， 即∠5=∠6. 因为∠3=∠4， 所以∠3+∠5=∠4+∠6，所以a∥b. 6.C7.同旁内角互补，两直线平行 8.解：因为EP平分∠BEF,FP平分∠DFE, 所以∠BEF=2∠1=80°，∠DFE=2∠2=100° 所以∠BEF+∠DFE=80°+100°=180°，所以AB∥CD. 9.D10.C11.AB∥EC,AC∥ED,AE∥BD 12.解：(1)因为∠1=∠3，∠2=∠4， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）. 因为∠1+∠2=90°，所以∠1+∠3+∠2+∠4=180°. 因为∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=2×180°=360°， 所以∠D十∠B=180°，所以DE∥BC. (2)成立.理由如下： 如图，连接EC 因为∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1十∠2=90°， 所以∠3+∠4=∠1十∠2=90°， 因为∠EAC=90°，所以∠AEC+∠ACE 180°-90°=90°， 所以∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°， 即∠DEC+∠BCE=180°，所以DE∥BC, 所以(1)中的结论仍成立. 13.解：连接OC,延长AC交FH于点 D,如图. 因为∠ACB=90°，a⊥b, 所以∠ACB=∠EOF=∠FCD =90°， 所以∠OEC+∠OFC=360° ∠ACB-∠EOF=180. 因为∠MEC=180°-∠OEC,∠NFC=180°-∠OFC, 所以∠MEC+∠NFC=(180°-∠OEC)+(180°-∠OFC) =360°-（∠OEC+∠OFC)=180°. 又因为EG,FH分别平分∠MEC和∠NFC, 所以∠CBG=号∠MEC,∠CFH=号∠NFC. 所以∠CEG+∠CFH=(∠MEC+∠NFC)=号X18O =90°. 因为∠FCD=90°，所以∠CDF+∠CFH=180°-90°=90°， 所以∠CEG=∠CDF,所以EG∥FH. 10.3平行线的性质 1.C变式题55°2.C 3.解：因为AD∥BC,∠B=70°，∠C=60°， 所以∠DAE=∠B=70°，∠DAC=∠C=60°， 所以∠DAE-∠DAC=70°-60°=10°， 即∠DAE与∠CAD的度数之差为10. 4.C5.B 6.解：因为AB∥CD,EC∥FB 所以∠B+∠EGB=180°，∠EGB=∠C, 所以∠B+∠C=180°. 因为∠C=85°-x,∠B=3x十25°， 所以85°-x十3x十25°=180°，解得x=35°， 所以∠C=85°-x=85°-35°=50°. 7.D8.50 9.解：因为∠A十∠ABF=180°， 所以AE∥BF,所以∠A=∠CBF 又因为∠A=∠F, 所以∠CBF=∠F,所以AC∥DF, 所以∠C=∠D. 10.B11.C12.85°13.(1)50°(2)4x-1809 14.解：(1)因为∠2+∠BDC=180°，∠1+∠2=180°， 所以∠1=∠BDC,所以AE∥CF, 所以∠C=∠EBC. 因为∠A=∠C,所以∠A=∠EBC,所以AD∥BC. (2)因为DA平分∠BDF, 所以∠FDA=∠ADB. 因为AD∥BC,所以∠FDA=∠C,∠ADB=∠DBC. 因为∠C=∠EBC,所以∠EBC=∠DBC,所以BC平 分∠DBE. 15.解：(1)EF⊥BC.理由如下： 因为∠MEB=∠FNB, 所以ME∥FN,所以∠MEF=∠EFV. 因为∠CME+∠EFV=180°， 所以∠CME+∠MEF=180°，所以AC∥EF, 因为∠C=90°，即AC⊥BC, 所以EF⊥BC. (2)因为ME∥FN,所以∠MEB=∠FNB=54°. 因为EF平分∠MEB, 所以∠MEF=∠BEF=号∠MEN=号X54°=27 因为AC∥EF,所以∠AME=∠MEF=27°. 因为ME∥FN,所以∠EFN=∠MEF=27 因为EF⊥BC,所以∠EFB=90°， 所以∠BFN=∠EFB-∠EFN=90°-27°=63 故∠AME和∠BFV的度数分别为27°和63°. 阶段综合训练平行线的性质与判定 1.解：AB∥CD.理由如下： 如图，延长BE交CD于点F, 因为∠BED=∠B十∠D,∠BED=180 ∠DEF=∠EFD+∠D, 所以∠B=∠EFD,所以AB∥CD 2.解：如图，延长EA交CD于点H. 因为∠EHD=180°-∠EHC=∠C+十 ∠E,∠C+∠E=∠EAB, 所以∠EAB=∠EHD, 所以AB∥CD. H 3.解：(1)因为EA平分∠BEF,EC平分∠DEF, 所以∠2=∠BEF,∠3=∠DEF, 因为∠BEF+∠DEF=18O,所以∠2+∠3=合（∠BEF+ ∠DEF)=90°，所以∠AEC=90°，所以AE⊥CE. (2)由(1)可知，∠2十∠3=90°， 所以∠1+∠4=180°-（∠2+∠3）=180°-90°=90°. 因为∠1=∠A,∠4=∠C, 所以∠B+∠D=(180°-2∠1)+(180°-2∠4)=360°- 2(∠1十∠4)=360°-2×90°=180°， 所以AB∥CD. 下册参考答案 177 4.解：如图，因为a∥b, 所以∠3=∠1=38°， 所以∠4=90°-∠3=90°-38°=52°」 因为b∥c, 所以∠2=∠4=52°」 5.解：如图，延长AB交DE于点K. 因为AF∥DE,所以∠BKE+∠1=180° 因为∠1=90°，所以∠BKE=90° 因为∠2=110°，所以∠BEK=180°-∠2= 180°-110°=70°，所以∠KBE=180° ∠BKE-∠BEK=180°-∠BKE-70 180°-90°-70°=20°. 因为AB∥CD,所以∠C+∠CBK=180° 因为∠C=135°，所以∠CBK=45°， 所以∠CBE=∠CBK十∠KBE=65° 6.解：(1)因为BC∥AD,所以∠B=∠DOE 又因为BE∥AF,所以∠DOE=∠A,所以∠A=∠B. (2)因为BE∥AF,所以∠EOA+∠A=180° 因为∠EOA=∠DOB=135°， 所以∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45°， 7.解：(1)因为AD∥BC,所以∠B十∠BAD=180 因为∠B=80°，所以∠BAD=180°-∠B=180°-80°=100° (2)因为AE平分∠BAD,所以∠DAE=号∠BAD=令× 100°=50°. 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠DAE=50° 又因为∠C=50°，所以∠AEB=∠C,所以AE∥DC 8.解：(1)EF∥AB.理由如下： 因为CD∥AB,∠DCB=70°，所以∠ABC=∠DCB=70° 因为∠CBF=20°，所以∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°. 又因为∠EFB=130°， 所以∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，所以EF∥AB. (2)因为EF∥AB,CD∥AB, 所以EF∥CD,所以∠CEF+∠ECD=180 因为∠CEF=70°，所以∠ECD=110. 因为∠DCB=70°， 所以∠ACB=∠ECD-∠DCB=110°-70°=40°. 9.解：(1)因为AB∥CD,所以∠2=∠3， 因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1=∠2=∠3=∠4， 所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4， 即∠5=∠6，所以m∥n. (2)因为∠1=∠2，∠1+∠2+∠DAC=180°， 所以∠2=2(180-∠DAC). 同理可得，∠3=(180°-∠ACE). 因为m∥n,所以∠DAC+∠ACE=180°， 所以∠2+∠3=号[180°-∠DAC)+(180°-∠ACE)]= 2×360-(∠DAC+∠ACB)=180-90=90, 所以∠ABC=180°-（∠2+∠3）=90° 即两平面镜的夹角∠B的度数是90， 重难题型专练构造平行线的基本图形 1.解：过点C作CF∥AB,如图， 则∠B+∠BCF=180°，即∠BCF=180°-∠B=180°-135 =45°. 因为AB∥DE,所以CF∥DE, A 所以∠FCD+∠D=180°， 即∠FCD=180°-∠D=180°-145°=35°， 所以∠BCD=∠BCF+∠FCD=45°+35°E =80°」 2.解：∠C=∠B-∠D.理由如下： 178 七年级数学HK版 过点C作CF∥AB,如图，则∠B=∠BCF. 因为AB∥DE,所以CF∥DE, 所以∠DCF=∠D. 因为∠BCD=∠BCF-∠DCF, 所以∠BCD=∠B一∠D. 3.解：过点C作CF∥AB,如图. 因为AB∥DE,所以DE∥CF, 所以∠DCF+∠D=180°. 又因为∠D=138°， 所以∠DCF=180°-∠D=180°-138°=42 因为∠BCD=30°， 所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°. 因为AB∥CF,所以∠B=∠BCF=72 4.解：(1)过点O作OM∥AB,如图①，则∠1=∠BEO. 因为AB∥CD,所以OM∥CD,所以∠2=∠DFO, 所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO, 即∠EOF=∠BEO+∠DFO. AE B A M-0 1.>0 一D C F D 图① 图② (2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠P.理由如下： 过点O作OQ∥AB,过点P作PN∥CD,如图②. 因为AB∥CD,所以OQ∥PN∥AB∥CD, 所以∠1=∠BEO,∠2=∠3，∠4=∠PFC, 所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4， 即∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠P. 数学思想专题相交线与平行线中的思想方法 1.解：设∠a=2x,则∠D=3x,∠B=4x. 因为FC∥AB∥DE,所以∠2十∠B=180°，∠1+∠D= 180°，所以∠2=180°-∠B=180°-4x,∠1=180-∠D= 180°-3.x. 又因为∠1十∠2+∠aα=180°， 所以(180°-3x)+(180°-4x)+2x=180°，解得x=36°， 所以∠a=2x=72°，∠D=3x=108°，∠B=4x=144°. 2.120°或60 3.解：分下列两种情况讨论： ①如图①，过点F作FM∥DE. 因为DE∥BC,所以FM∥BC, …M 所以∠B+∠BFM=180°，∠D+∠DFM =180°. 因为∠B=100°，∠EDF=120°， 所以∠BFM=80°，∠DFM=60°， 图① 所以∠DFB=∠BFM+∠DFM=80°-60 =20°； ②如图②，过点F作FN∥DE 因为DE∥BC, 所以FN∥BC, 所以∠D+∠DFN=180°，∠B+∠BFN =180°. 因为∠B=100°，∠EDF=120°， 所以∠BFN=80°，∠DFV=60° 所以∠DFB=∠BFV+∠DFN=80°+60°=140°， 综上所述，∠DFB的度数是20°或140°. 4.解：(1)180 (2)如图①，过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF, 所以∠1+∠AEF=180°，∠CEF+∠3=180° 因为∠AEF+∠CEF=∠2， 所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠AEF+∠CEF+∠3=180°× 2=360°.