8.3 第2课时 平方差公式-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（沪科版2024 安徽专版）

第2课时 复恩梳理 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于 之b 色课内基础闯关 知识点个平方差公式 1.下列式子中，不能用平方差公式运算的是 A.(-x-y)(-x+y)B.(-x+y)(x-y) C.(y+x)(x-y)D.(y-x)(x+y) 2.(2024上海)计算：(a+b)(b-a)= 3计算： (1)(-2b-6)(2b-6); (2)(x-3y+2)(x+3y+2): (3)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y); (4)(x-2)2-3(1-x)(x+1). 知识点②平方差公式的几何背景 4.(2024宿州砀山月考)如图，将分割的正方形 阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证 第4题图 平方差公式 这两个数的平方差，用字母表示为(a+b)(a一b)=a2 A.a2-62=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab-b2 5.仔细观察图①、图②，回答下列问题： 图① 图② 第5题图 (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)； (2)若将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方 形（如图②），则它的宽是 ,长是 ,面积是 (3)比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得 到的乘法公式是 (用含a,b的等式表示). 知识点③平方差公式的拓展运算 6.将202×198变形正确的是 A.2002-22 B.2022-22 C.2002+2×200+22D.2002-2×200+22 7.(2024宿州萧县月考)已知a十b=3,a-b= 1,则a2一b2的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.8 变式题本质相同：逆向思维 (2024凉山)已知a2-b=12,且a-b= 一2，则a十b= 8.用简便方法计算：2024×2026-2025. 41 下册第8章 已课外拓展提高 9.(2024宿州泗县月考)若(x十y十1)(x十y一 1)=8,则x+y的值为 A.3 B.±3C.-3 D.±5 10.若a2-b2=4,则(a十b)2(a一b)2的值是 () A.24B.16 C.8 D.4 11.若a2-b=16,(a十b)2=8,则ab的值为 () A-号B C.-6D.6 12.利用乘法公式计算： (1)(2a+1)2-(1-2a)2; (2)(a+1)2(a-1)2(a2+1)2. 13.先化简，再求值： (1)(a+b)(a-b)+(a十b)2-a(2a+b),其 中a=号b=: 3 2(e+(e-(x2+y)-, 其中|x=|y=1. “42 七年级数学HK版 综合能力提升 14.运算能力小明遇到下面一个问题：计算(2 +1)(22+1)(2+1).经过观察，小明发现 如果将原式进行恰当地变形后可以出现特 殊的结构，进而可以应用平方差公式解决 问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) =(22-1)(22+1)(2+1) =(2-1)(24+1) =(28-1). 请你根据小明解决问题的方法，试着解决 以下的问题： (1)计算：2+(3+1)(32+1)(3+1)(3+1： (2)计算：2-(1+号)(1+是)(1+)(1+ .16.解：(1)S坪=[(3a+b)-2(a-b)][(3a-b)-2(a-b)] =(a+3b)(a+b) =(a2+4ab+3b)m2. (2)当a=5,b=2时，S坪=25十4×5×2十3×4=77(m), 所以S小路=(3a十b)(3a-b)-77=9a2-b-77=9X25-4 -77=144(m2). 17.解：因为[p,9,-1]×[,n,-2]=(px2十gx-1)(mx +nx-2)=pmx+(pn+qm)+(-2p+gn-m)x2+ (-n-2g)x十2=2x+x3-10x2-x+2,所以m=2,pn +gm=1,-2p十qn-m=-10,-n-2g=-1,所以(4p- 2g-1)(2-n-1)=8p-4pn-4p-4gm+2qn+2q-2 +n+1=8pm-4(pn+qm)+2(-2p+g-)-(-n 2g)+1=8×2-4×1+2×(-10)-(-1)+1=16-4-20 +1+1=-6. 8.3完全平方公式与平方差公式 第1课时完全平方公式 1.A2.2a+13.(1)164(2)-6 4.解：(1)原式=x2-4xy+4y-x2+4xy=4y. (2)原式=a2+2ab+b2-(a2-2ab+6)=a2+2ab+B-a2 +2ab-b2=4ab. 5.A6.a2-2ab+b=(a-b)27.B 8.解：因为(x十y)2=12,(x-y)2=4, 所以x2+2xy+y2=12,x2-2xy十y2=4, 所以x2十y2=8,xy=2,所以x2+3xy+y2=8+3×2=14. 9.解：(1)因为a十b=2,ab=-1, 所以a2+b=(a+b)2-2ab =2-2×(-1) =4十2 =6. (2)因为a+b=2,ab=-1, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab =22-4×(-1) =4十4 =8. 10.B11.A变式题17 12.(1)2 (2)±/10 13.解：(1)原式=(1000-2)2=10002-2×1000×2+2 =996004. (2)原式=(100+8)2=1002+2×100×8十82=11664. 14.解：1)因为(x+)广=x2+2+是=3， 所以(x-)=-2+=(+）°-4=3-4=6 (2)因为(x-）广=2-2+=5， 所以+=(x-）广+2=5+2=7 3)因为(x+)）=x+2+=7, 所以+是=(x+) 1 -2=7-2=47. 15.解：(1)① 正确过程： (x+2)2+x(1-x)-9 =x2+4x十4十x-x2-9 =5x-5. (2)因为x2-2x十1=4，所以(x-1)2=4, 所以x-1=士2，所以x=3或-1. 当x=3时，A=5x-5=5×3-5=10: 当x=-1时，A=5x-5=5×(-1)-5=-10. 综上所述，此时A的值为10或一10. 168 七年级数学HK版 16.解：(1)①2m②6m2 (2)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=6m2,得a2-2ab+B+ b-2bc+c2+a2-2ac+c2=6n2, 整理，得2(a2+b十c2)-2(ab+bc十ac)=6m, 所以ab+bc十ac=(a2+b+c2)-3m2=2m2-3m2=-m2. (3)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b 十c2+2(ab+bc+ac)=2n2+2·(-m2)=0, 所以a十b十c=0. 第2课时平方差公式 1.B2.b2-a2 3.解：(1)原式=(-6)2-(26)2=36-46. (2)原式=[(x十2)-3y][(x+2)+3y] =(x十2)2-(3y) =x2+4x十4-9y2. (3)原式=x2-4y2-(3y-4y2) =x2-4y2-3y+4y =x2-3y. (4)原式=x2-4x十4-3(1-x2) =x2-4x十4-3十3x =4x2-4x+1. 4.A 5.(1)a2-b (2)a-b a+tb (a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-b)=a2-6 6.A7.C变式题-6 8.解：原式=(2025-1)(2025+1)-20252 =20252-1-2025 =-1. 9.B10.B11.C 12.解：(1)原式=[(2a十1)十(1-2a)][(2a十1)-(1-2a)] =2×4a =8a. (2)原式=[(a+1)(a-1)](a2+1) =(a2-1)2(a2+1)2 =[(a2-1)(a2+1)]月 =(a-1)2 =a8-2a+1 13.解：(1)原式=a2-6+a2+2ab+b-2a2-ab=ab. 当a=号6=时，原式=号×=1 (2)原式=(xr-yr)(x+y）-y=x-6y 品=-(+品）= 因为|x=|y=1,所以x=y=1,所以原式=x-y=0 14.解：1)原式=号+合×[3-1D(3+1(3+1D(3+1)8 +1)] =+号×[g-1D3*+13+1g+1] =+×[g-13+1g+1 =+2×(-D3*+1 =+2×(3-D 3 (2)原式=2-2×(1-2)(1+)(1+)(1+ 分)(1+) =2-2×(1-是)(1+2)(1+)(1+) =2-2×(1-是)(1+2)(1+2)》 =2-2×(1-2)(1+) =2-2×(1-六) =2-2+2×2品 第3课时乘法公式的应用 1.C 2.解：设这个正方形原来的边长为xcm,增加后边长为(x 2)cm. 根据题意，得(x十2)2-x2=24,解得x=5. 故这个正方形原来的边长为5cm. 变式题解：原来的面积为4a·4a=16a(m), 改造后的面积为(4a-2)(4a十2)=(16a-4)m2 因为16a2-(16a2-4)=4(m2), 所以与原来的面积相比减少了，减少了4m. 3.(1)4(2)4 4.解：(1)(a十b)2=(a-b)2+4ab (2)由(1)，得(a十b)2=a2-2ab+b+4ab, 所以ab=a+b,a+b),所以g=p+,p+2 2 2 把D+g=20,p+g=6代入上式，得pg=6,20=8, 2 故题图②中阴影部分的面积为2X号p0=pg=8. 阶段综合训练整式的运算及化简求值 1.D2.D 3.解：(1)原式=6a26十2b-6=6ab2十6， (2)原式=xy·4x2y2-xiy3=4x5y3-xiy2=3x5y3 (3)原式=x2+2xy-(xy十y2-3x2-3xy) =x+2xy+2xy-y2+3x2 =4x2+4xy-y. (4)原式=2a2十a-4a-2-(a2+a-5a-5) =2a2-3a-2-(a2-4a-5) =2a2-3a-2-a2+4a+5 =a十a+3. 4.解：(1)原式=(4m2-4m+1)-(4m2-1) =4m2-4m+1-4m2+1 =-4m十2. (2)原式=4x2+4xy十y+x2-y2-5x2+5xy =9xy. 5.解：(1)原式=(100+3)(100-3)-(100-1)2 =1002-9-1002+200-1 =190. (2)原式= 要×()”×（会）“×(-8) =-25×(停×) =-25X1山 =-25. 3)原式=(1-)(1+2)(1-号)(1+号)…(1 )(1+0)(1-)(1+00) =×号×号×号×…×器××盟×1删 = 6.解：(1)原式=m2+4m十4+2m2-2m-m十1-(m2-1) =m2+4m+4+2m2-2m-m+1-m2+1 =2m2+m+6. 当=-3时，原式=2×9-3十6=21， (2)原式=4x2-12x十9+x2-4-3x2+12x=2x2+5 当x=(-之)1+(x-2024)°=-2+1=-1时，原式=2 ×1+5=7. (3)原式=a2-3ab+2a2-2b2-a2+4ab-4b=2a2+ab 662. 当a=合6=1时，原式=2x -6=-6. (4)原式=(2x+3y)2-(2x-3y)(2x+3y) =4x2+12xy+9y2+9y2-4x2 =18y2+12xy. 当x=-3,y=2时，原式=18×22+12×(-3)×2=0. 7.解：(1)去括号，得9x2-5x-9x2十1=51 移项、合并同类项，得一5x=50, 系数化成1，得x=-10. (2)将原方程化为(x-2)2十(x一4)(x十4)=(2x一3)(x+1), 去括号，得x2-4x十4十x2-16=2x2-x-3, 移项、合并同类项，得一3x=9, 系数化成1，得x=一3. 8.解：(1)(8+3×8+1)289 (2)n(n+1)(n十2)(n+3)+1=(2+3n+1)2.理由如下： 等式左边=[n(n十3)][(n+1)(n十2)]+1=(n2+3n)(n十 3n+2)+1=n+3n3+2n2+3n3+9n2+6n+1=n+6n3+ 11n2+6+1, 等式右边=(n2十3n十1)2=(n2+1)2+2×3n(n2十1)十9n =n+2m2+1+6n3+6n+9n2=n+6n3+11n2+6n+1, 所以等式左边=等式右边 8.4因式分解 8.4.1提公因式法 1.D2.43.A4.C5.C6.B7.B 8.(1)a(a-b)(2)xy(x+2) 9.解：(1)原式=-5ab(ab2-4b+1). (2)原式=(x十y)[x-y-(x+y)] =-2y(x十y). (3)原式=8a(x-y)2+4(x-y) =4(x-y)2(2a十x-y). 10.解：(1)原式=2ab(a十b) 把a十b=2,ab=2代入，得原式=2×2×2=8， 变式题一2 (2)原式=(2x十y)(2x-3y+3x)=(2x十y)(5x-3y). 把2x十y=3,5x-3y=-2代入，得原式=3X(-2)=-6. 11.D12.A13.A 14.解：(1)原式=3.14×(21+62+17) =3.14×100=314. )原式-8器×88-8器 =2024×(20252-1) 2026×(20252-1) 1012 =1013 15.解：能.理由如下： 因为1012-9×1010=101×(102-9)=100×91， 所以102-9×10能被91整除. 16.解：根据题意，得2(a十b)=14,ab=5, 所以a+b=7. 因为3a6+6a3b+3a2b =3a2b2 (a2+2ab+b2) =3(ab)2(a十b)2 将a+b=7,ab=5代入，得原式=3×52×72=3675. 下册参考答案 169