1.6 线段垂直平分线的性质（课件）-2025--2026学年浙教版八年级数学上册

第1章 三角形的初步认识 1.6 线段垂直平分线的性质 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 情境导入 弩箭发射的过程中，两段弓弦AB,AC有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系 学习目标 1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质. 2.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题;会用尺规作线段的垂直平分线. 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段 AB的垂直平分线 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 获取新知 A B l D P 如图，直线 l ⊥AB于点O，且OA=OB，C是直线 l上任意一点，求证：CA=CB. OA=OB（已知） 因为 ∠COA=∠COB（已证） OC=OC（公共边） 证明 已知OA=OB，当点C与点O为同一点即重合时，显然CA=CB， 当点C与点O不重合时， 因为直线 l ⊥AB（已知） 所以∠COA=∠COB=90°(垂直的定义） 在△CAO与△CBO中 则有△CAO≌△CBO（ SAS） 所以CA=CB（全等三角形对应边相等） 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 例1 已知线段 AB,用直尺和圆规作线段 AB的垂直平分线. 作法 如图 1.分别以点A , B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,两段弧相交于点C , D. 2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. A B C D 分析 要作线段 AB的垂直平分线,只需找出线段 AB 的垂直 平分线上的两个点，这两个点到点A,B的距离分别相等. 基本尺规作图：作线段的垂直平分线 例题讲解 连接AC，BC,AD,BD 由作法 可以得到△ACD≌△BCD 从而可证△ACO≌△BCO 所以∠AOC=∠BOC=90°，AO=BO A B C D 为什么 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 例2 如图，在△ABC中，AB比AC长3cm,BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.已知△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长 分析 ：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得CD=BD，则△ACD的周长可转化为AB+AC，由此可获得AB和AC之间的数量关系 例题讲解 A B C D E 安排本例的目的：一方面展示用AAS判定两个三角形全等，另一面得出一个副产品：角平分线的性质定理.可谓一举两得. 8 解：因为DE是BC的垂直平分线，所以CD=BD， 所以△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB. 由题意，得AB-AC=3，AB+AC=15， 解得AB=9，AC=6. 所以AB的长为9cm，AC的长为6cm. A B C D E 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 知识点1 线段垂直平分线的性质 图1-6-1 1.如图1-6-1是小明绘制的“箭在弦上”的简 笔画，已知箭杆垂直平分 .若 ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 随堂演练 10 图1-6-2 2.如图1-6-2，在中， 的垂直平分 线分别交，于点，，连结 .若 ，，则 的长是( ) B A.8 B.6 C.4 D.2 11 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 图1-6-3 3.（2024杭州拱墅区期末）如图1-6-3， 在中，边的垂直平分线交 于 点，交于点.若， 的 周长为18，则 的长为____. 12 12 图1-6-4 4.如图1-6-4，在中， 的垂直平分 线与的垂直平分线的交点恰好在 上，且，则 的长为______. 13 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 图1-6-5 5.（教材作业题T2变式）如图1-6-5，在 中，边, 的垂直平分线分别交 于点,.若，求 的周长. 14 解： 因为边的垂直平分线交于点 ， 所以 . 因为边的垂直平分线交于点，所以 ，所以 的周长 . 15 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 知识点2 尺规作线段的垂直平分线 图1-6-6 6.如图1-6-6，已知线段，分别以点 ，___ 为圆心，大于线段____长度一半的长为半 径作弧，两段弧相交于点， ，作直线 ，直线就是线段 的__________线. 垂直平分 16 7.（教材课内练习T2变式）如图1-6-7，在 中，用直尺和 圆规作边上的高线，交于点 （保留作图痕迹，不要 求写作法）. 17 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 图1-6-7 解：如图所示， 即为所求. 图1-6-7 18 图1-6-8 8.如图1-6-8，在中，为 边上一 点，，为线段 的垂直平分 线.若，，则 的周长 为( ) D A.22 B.20 C.18 D.16 19 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 图1-6-9 9.（教材例2变式）如图1-6-9， 垂直平分 ，交于点，交于点.若 的 周长为24，与四边形 的周长之 差为12，则线段 的长为( ) B A.4 B.6 C.8 D.12 20 图1-6-10 10.如图1-6-10，已知垂直平分 .有下列 说法： ① ； ② ； ③ ； ④ ； 21 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 . 其中正确的说法是________.（填序号） ①②④ 11.（2024温州期中）用直尺和圆规作图：如图1-6-11，已知 .（不用写作法，保留作图痕迹） 图1-6-11 23 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 （1）作边的垂直平分线，交于点，交于点 ； 解：如图， 即为所求. 图1-6-11 24 （2）在（1）的条件下，连结，若， 的周长为 18，求 的周长. 25 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 图1-6-11 解：如图.因为垂直平分 ， 所以， ， 所以 . 因为 的周长为18， 所以，所以 , 所以 的周长为 . 26 图1-6-12 12.（教材作业题T6变式）如图1-6-12， 与相交于点，且是 的垂直平分 线，于点，于点 . 27 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 （1）求证： ； 解：证明：因为是 的垂直平分线， 所以， . 在和 中， 因为 所以 ， 所以 . 28 （2）若，，求 的长. 解：由（1）得 . 因为 ， 所以 . 由（1）知 ， 所以 . 因为，，所以 . 29 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 在和中，因为 所以，所以 . 13.下面为某班级在完成项目化学习“测量水池的宽度”之后撰写 的项目报告，根据报告内容完成相应任务. 项目主题 测量水池的宽度 驱动问题 能利用哪些数学原理来测量水 池的宽度? 31 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 测量规划 1.现状：水池中间不易到达， 无法直接测量. 2.工具：皮尺、测角仪等. 3.原理：三角形全等. 4.分工：工具准备组、测量 组、记录组、安全保障组. 续表 32 测 量 方 案 测量 示意 图 _____________________________________________________ 续表 33 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 测 量 方 案 测量 方法 测量组在地面上找一点，在连线的中点 处做好 标记，从点出发，沿着与 平行的直线向前走到 点处，使点与点，在一条直线上，测得 的 长度即为水池的宽度. 评价反思 … 任务： 续表 34 （1）请你用直尺和圆规补全测量示意图；（不写作法，保留作 图痕迹，标明字母） 35 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 解：补全测量示意图如图. 图1-6-13 36 （2）请说明他们这样测量合理的理由. 解：由作图知 . 因为为的中点，所以 . 在和 中， 因为 37 圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要转化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆柱表面积与圆柱表面积之间存在密切联系，都需要实践化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解概率计算有助于学生更好地解图。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。 所以 ， 所以 ， 所以测得 的长度即为水池的宽度. $