专题03 垂直平分线与角平分线（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 垂直平分线与角平分线（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、尺规作图作垂直平分线 1 题型二、垂直平分线的性质（重点） 3 题型三、补全垂直平分线的几何模型 3 题型四、尺规作图作角平分线（常考点） 5 题型五、角平分线的性质（重点） 7 题型六、补全角平分线的几何模型（重点） 8 题型七、角平分线的综合探究（难点） 10 题型八、垂直平分线与角平分线的实际应用 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、尺规作图作垂直平分线 1.（2025·河北·模拟预测）如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小明完成的是的垂直平分线， 故选：B． 2.（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， 故①成立；②成立；③不成立；④成立． 故选：C． 3.（24-25八年级上·广东珠海·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 4.（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 【答案】中线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 5.（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）如图所示， （2）由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 题型二、垂直平分线的性质 6.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7.（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 8.（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 9.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 题型三、补全垂直平分线的几何模型 10.（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 11.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，M，B在一条直线上时，有最小值，最小值为的长． 【详解】如图，连接， 因为垂直平分， 所以， 所以， 所以当点，，三点共线时，有最小值，最小值是， 故答案为：8 12.（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角之间的运算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，点为延长线上的一点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13.（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 题型四、尺规作图作角平分线 14.（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本作图，根据角平分线，中线，垂线的作图分别判断即可． 【详解】解：．通过做图可知是的角平分线，故该选项符合题意； ．通过做图可知，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的中线，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的高，故该选项不符合题意； 故选：A． 15.（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 【详解】解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 16.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，利用尺规作图法在线段上求作一点E，使得点E到三条边的距离均相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作图-作角的平分线、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的性质成为解题的关键． 直接作的角平分线与交于点E，点E即为所求． 【详解】解：如图：点E即为所求． 17.（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答． （2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）解：依题意，点E如图所示． 题型五、角平分线的性质 18.（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在 中，，平分，，垂足为 E，，，则 的长是（　　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，由，，求出，由角平分线的性质推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故选：D． 19.（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 20.（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质定理进行求解． 本题可根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，来求解的长度． 【详解】 ∵是的角平分线，， 故答案为：3． 21.（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证，即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，平分，，， ，． 在和中， ，，， （）． ． （2）解：在和中， ，， ． ． 22.（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 题型六、补全角平分线的几何模型 23.（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，   ， ， 又，，，， ， 是的角平分线， 又 ， ， 又， ， 又∵点P是直线上一点， ∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3， ， 的长不可能是， 故选：A． 24.（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 先根据角平分线的性质得到O到边的距离都为4，再利用三角形面积公式得到，然后整理求出的值即可． 【详解】解：∵O是三个内角平分线的交点， ∴点O到的距离相等， ∵O到边的距离为4， ∴O到边的距离都为4， ∴， ∴， 即的周长为18． 故选：C． 25.（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，与的角平分线交于点E，过点E，且与垂直．若点E到的距离为3，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键； 根据题意易得，作于点F，根据角平分线的性质可得，进而求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 作于点F，如图， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∵点E到的距离为3，即， ∴， ∴； 故答案为：6. 26.（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ，的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 27.（11-12八年级上·天津南开·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 28.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． (2)问题解决：如图2，请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）直接根据角平分线的性质，进行判断即可； （2）作交延长线于E，于F，得到，同角的补角相等，得到，证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 又因为平分． 所以（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）如图2，作交延长线于E，于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 29.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． （1）由直角三角形的性质求出，由平角定义即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，于是推出平分； （3）由的面积的面积的面积，得到，即可求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过E作于M，于N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ． 题型七、角平分线的综合探究 30.（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，点是平分线上的一点，点是射线上的一点（异于点，），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点，使． 小明说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，则可证得．” 小红说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，当的大小满足一定条件时也可证得．”你认为小红提出的条件应该是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线性质，全等三角形的判定．根据以为圆心，为半径作弧，分情况当时，当时，当时，结合全等三角形判定定理分析，即可解题． 【详解】解：当时， 由作图方法可知，， 由，可证得． 当时，， 由作图方法可知，， 如图，此时，射线上只有一个点符合，可证得． 当时，， 由作图方法可知，， 如图，此时，射线上不止一个点符合，得不到． 综上所述，小红提出的条件应该是或， 故选：C． 31.（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等判断①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，判断②；根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到 ，判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 即平分，故③结论正确； 如图，过点作于， ∵平分， ， ， ∴点不是的中点，故④结论错误； 则正确结论的序号是①②③， 故选： C． 32.（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴ ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 33.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 34.（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 35.（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证； ②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图，过点作于点， ∵平分，，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分． （2）①∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴． ②如图，在上截取，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型八、垂直平分线与角平分线的实际应用 36.（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 37.（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 38.（24-25八年级上·云南昆明·期中）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 39.（24-25八年级下·全国·假期作业）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交直线l于点M， 故选：C． 40.（21-22八年级下·云南楚雄·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等，   车站在的平分线上， ∵，，， ∴， ∴， 平分， 车站应该建在点， 故选：． 41.（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 42.（24-25八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， 43.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图所示，要在公园（四边形）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求： （1）到公园两个出入口A、C的距离相等； （2）到公园两边围墙、的距离相等； 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查作图与应用设计作图，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，首先作出的垂直平分线，再作出的角平分线，两线的交点P为所求作的点． 【详解】解：如图，点P即为所求． 1.（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴点O到、的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 2.（24-25八年级下·山西运城·期末）在中，，平分交于点．若，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， 平分，， ， 的面积为． 故选：A． 3.（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 4.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 5.（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，连接、，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接、，过点D作于H， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为8． 故选：C． 6.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故答案为：10． 7.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作于点，设为根据角平分线的性质定理得到，根据的面积是40列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 设为 ∵是的平分线， ∴ ， 即， 解得． 故答案为： 8.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 9.（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 10.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 11.（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论． 【详解】（1）解：作于，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角． 12.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】(1)全等，见解析 (2)①见解析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 13.（24-25八年级上·湖北恩施·期末）课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见详解；（3）6；（4）见详解 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质并正确做出辅助线． 解：根据角的平分线的性质即可解答． （2）证明，根据全等三角形的性质即可证明． （3）如图，过点P作交的延长线于点H，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，，，根据四边形的面积即可求解． （4）设 中 边上的高为 ，则 ， ．过点 分别作 于点 于点 ．根据角的平分线的性质得出，结合，求两个三角形面积比即可证明． 【详解】（1）解：角的平分线有以下性质：角平分线上的点到角的两边距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作交的延长线于点H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积 ． （4）解： 设 中 边上的高为 ，则 ， ． 如图，过点 分别作 于点 于点 ． ∵ 是 的平分线， ， 又 ∵， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 垂直平分线与角平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、尺规作图作垂直平分线 1 题型二、垂直平分线的性质（重点） 3 题型三、补全垂直平分线的几何模型 3 题型四、尺规作图作角平分线（常考点） 5 题型五、角平分线的性质（重点） 7 题型六、补全角平分线的几何模型（重点） 8 题型七、角平分线的综合探究（难点） 10 题型八、垂直平分线与角平分线的实际应用 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、尺规作图作垂直平分线 1.（2025·河北·模拟预测）如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 2.（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 3.（24-25八年级上·广东珠海·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 4.（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 5.（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） (2)若，求证： 题型二、垂直平分线的性质 6.（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 7.（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 8.（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 9.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 题型三、补全垂直平分线的几何模型 10.（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 11.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 12.（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 13.（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型四、尺规作图作角平分线 14.（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 15.（24-25八年级下·江西九江·期末）如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 16.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，利用尺规作图法在线段上求作一点E，使得点E到三条边的距离均相等．（不写作法，保留作图痕迹） 17.（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 题型五、角平分线的性质 18.（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在 中，，平分，，垂足为 E，，，则 的长是（　　　） A．8 B．6 C．5 D．4 19.（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 20.（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长 ． 21.（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22.（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 题型六、补全角平分线的几何模型 23.（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（　　） A． B．3 C． D．4 24.（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 25.（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，与的角平分线交于点E，过点E，且与垂直．若点E到的距离为3，则的长为 ．    26.（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 27.（11-12八年级上·天津南开·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 28.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由． (2)问题解决：如图2，请说明． 29.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 题型七、角平分线的综合探究 30.（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，点是平分线上的一点，点是射线上的一点（异于点，），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点，使． 小明说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，则可证得．” 小红说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，当的大小满足一定条件时也可证得．”你认为小红提出的条件应该是（    ） A． B． C．或 D． 31.（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 32.（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 33.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 34.（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 35.（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 题型八、垂直平分线与角平分线的实际应用 36.（24-25八年级上·北京朝阳·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 37.（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 38.（24-25八年级上·云南昆明·期中）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 39.（24-25八年级下·全国·假期作业）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A． B． C． D． 40.（21-22八年级下·云南楚雄·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 41.（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 42.（24-25八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 43.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图所示，要在公园（四边形）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求： （1）到公园两个出入口A、C的距离相等； （2）到公园两边围墙、的距离相等； 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹） 1.（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·山西运城·期末）在中，，平分交于点．若，，则的面积为（    ） A．15 B．30 C．20 D．25 3.（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 4.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 6.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 7.（24-25七年级下·重庆·期末）如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则 ． 8.（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 9.（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 10.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 11.（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 12.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 13.（24-25八年级上·湖北恩施·期末）课本再现 如图1，任意作一个角，作出的平分线，在上任取一点，过点画出，的重线，分别记垂足为，，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 猜想证明 （1）角的平分线有以下性质： _________________． （2）证明你的猜想． 知识应用 （3）如图2，在四边形中，平分，，．求四边形的面积； （4）如图3，在中，是它的角平分线．证明：． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$