1.3 乘法公式（题型专练，6基础&4提升题型+培优）数学新教材北师大版七年级下册

1.3 乘法公式 题型一、利用平方差公式进行计算 1．某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，修改后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少了 C．增加了 D．增加了 2． ． 3．的个位数字为 ． 4．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 5．化简： 题型二、平方差公式与几何图形 6．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 9．如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（    ） A． B． C． D． 10．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 题型三、利用完全平方公式进行计算 11．运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 12．如果，那么的结果是 ． 13．已知是正整数，求证：能被4整除． 14．计算： (1)； (2)． 15．先化简，再求值：，其中，． 16．某科技公司新推出一款电子产品，预计售价元/件，在预售过程中，发现该产品非常受欢迎，供不应求，公司决定提高售价： 甲员工说：可以设计两轮涨价的营销策略，第一次涨价的百分比为，第二次涨价的百分比为，并且； 乙员工说：也分两次涨价，且每次涨价的百分比均为和的平均值； 请通过计算说明，甲、乙两位员工的方案哪个盈利更多． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．先化简，再求值：，其中，． 题型四、完全平方公式中的字母系数 19．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 20．若是完全平方式，则m的值为（ ） A． B．5 C． D．或5 21．若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（     ） A．8 B．8或 C．4 D．4或 22．明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（   ）． A． B． C． D． 23．是一个完全平方式，且，则 ． 题型五、完全平方公式与几何图形 24．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面的两种解法，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值； 【探究拓展】 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形与正方形的面积和为36，设，，则 ， ，图中阴影部分的面积为 ． 25．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 26．将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，求的值． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积 27．【综合与实践】 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 （1）活动资源：提供长度不同的两种木棒各4根（如图①）； （2）活动过程：小组成员运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完； （3）发现问题：选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图②）进行研究； （4）提出并解决问题： ①设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，，请用含a，b的式子直接写出四种图形的面积； ②观察以上结果，在四种摆法中，选择2种或2种以上图形，直接写出它们面积之间的等量关系，例如：，所写的等量关系不能与例子重复，并通过作图验证你的结论（所作图形的线段要标清长度）； ③比较与的大小关系，并证明． （5）拓展创新： 已知：，，，直接写出值． 28．【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容． 观察图，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 用等式表示图中图形的面积的运算为_____． 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，则_____； （2）若满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_____． 题型六、整式的混合运算 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，再求值：，其中， ． 31．先化简，再求值：，其中． 32．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 33．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2026年1月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：__________，__________，不难发现，结果都等于__________． (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 题型一、利用完全平方公式进行简便计算 34．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)． 35．利用乘法公式计算： (1)； (2)． 36．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 37．运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 38．我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，从而更助于我们发现更多有用的结论，下面我们来探索代数式与代数式的关系． (1)当时，分别计算两个代数式的值； (2)当时，分别计算两个代数式的值； (3)你发现了什么关系？ (4)利用你发现的结论，求的值． 题型二、配方法的应用 39．已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 40．【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 41．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 42．数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； 43．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 44．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 题型三、应用平方差公式进行简便计算 45．计算： ． 46．计算： 47．运用乘法公式计算：． 48．简便计算：． 49．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 题型四、利用乘法公式进行知二求二运算 50．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 51．已知 (1)求的值 (2)求的值 52．（1）已知，求，的值； （2）已知，求的值． 53．如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，，ab之间的一个等量关系________； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为136，点E，点F在边AB上，若，求图中阴影部分的面积． 54．已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值． （2）若，，求和的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长． 55．如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．       (1)图①中大长方形的面积为_____； (2)观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； (3)已知，，求的值； (4)两个正方形、如图③摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 56．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 57．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 58．【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 59．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 60．【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 试卷第2页，共56页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 乘法公式 题型一、利用平方差公式进行计算 1．某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，修改后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形边长为， ∵原面积， 修改后，一组对边各增加，另一组对边各减少， ∴修改后图形为矩形，长和宽分别为和， 修改后面积， ∴， 故修改后的面积减少了， 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 4．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 5．化简： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式与平方差公式是解题的关键．根据多项式乘多项式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型二、平方差公式与几何图形 6．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别计算出两幅图中的阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边那幅图的阴影部分的面积为， 右边那幅图的阴影部分的面积为， ∵两幅图中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分组成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：A． 8．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 9．如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 图（2）中阴影部分的面积为， 因此有． 故选：C． 10．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 题型三、利用完全平方公式进行计算 11．运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．如果，那么的结果是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而根据，即，代入可得答案． 【详解】解：， ， 由得， ∴原式． 故答案为：6． 13．已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）先进行幂的运算，再进行乘法运算，即可求解； （2）先利用完全平方公式和多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．某科技公司新推出一款电子产品，预计售价元/件，在预售过程中，发现该产品非常受欢迎，供不应求，公司决定提高售价： 甲员工说：可以设计两轮涨价的营销策略，第一次涨价的百分比为，第二次涨价的百分比为，并且； 乙员工说：也分两次涨价，且每次涨价的百分比均为和的平均值； 请通过计算说明，甲、乙两位员工的方案哪个盈利更多． 【答案】按照乙员工的方案盈利更多 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及代数式的大小比较，通过作差法结合完全平方公式分析代数式的大小关系是解题的关键． 先根据甲、乙的涨价方案，写出各自涨价后的售价表达式，用乙方案的售价减去甲方案的售价，通过展开、化简（结合完全平方公式），得到差值的表达式，利用的条件，判断差值为正，从而得出乙方案售价更高、盈利更多． 【详解】解：甲员工方案的最终售价：， 乙员工方案的最终售价：， ∵ ， 又， ∴， ∴，即， ∴按照乙员工的方案盈利更多． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式乘法，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键．先利用完全平方公式，整式的乘法，整式的加减，进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，首先利用完全平方公式和平方差公式把括号中的式子展开，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，再利用多项式除以单项式的法则把多项式化简，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型四、完全平方公式中的字母系数 19．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式应可化为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 可设为， 比较系数得：， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 20．若是完全平方式，则m的值为（ ） A． B．5 C． D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 根据完全平方式的定义，将表达式与展开式比较系数，建立方程求解m即可． 【详解】解：设完全平方式为． ∵ 给定多项式为， ∴． 由， 得； 由， 得． 则． 又∵， ∴或， 解得 或 ． ∴ m的值为或5， 故选：D． 21．若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（     ） A．8 B．8或 C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式．完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的两倍放中央．根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选：D． 22．明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先通过完全平方公式求出和，再得出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 23．是一个完全平方式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征，常数项9是3的平方，因此m的值为，再结合，可得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以它应满足的形式， 因此. 又因为， 所以． 故答案为：． 题型五、完全平方公式与几何图形 24．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面的两种解法，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值； 【探究拓展】 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形与正方形的面积和为36，设，，则 ， ，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 （1）4；（2）17；（3）8，36，14 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）利用完全平方公式展开，把已知条件整体代入计算即可； （3）根据阴影部分面积相等，都为大小两个正方形边长乘积的一半，求出即可． 【详解】（1）解：把的两边平方得：， 化简得：， 将代入得：， 解得：； （2）解：； （3）解：设，，则，， 把两边平方得：， 化简得：， 将代入得：， 解得：， 则． 故答案为：8，36，14 25．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积； （2）由（1）可得，即可得出的值； （3）设，，则，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为； 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为． （2）解：由（1）得， ，， ． （3）解：设，， 则，， 由，得， ， 即的值为28． 26．将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，求的值． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）利用完全平方公式计算即可； （）设，则，，可得，再利用完全平方公式求出的值即可求解； （）设，，则，，可得，，再利用完全平方公式求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得，； 当，时， ∴，即， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积 ． 27．【综合与实践】 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 （1）活动资源：提供长度不同的两种木棒各4根（如图①）； （2）活动过程：小组成员运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完； （3）发现问题：选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图②）进行研究； （4）提出并解决问题： ①设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，，请用含a，b的式子直接写出四种图形的面积； ②观察以上结果，在四种摆法中，选择2种或2种以上图形，直接写出它们面积之间的等量关系，例如：，所写的等量关系不能与例子重复，并通过作图验证你的结论（所作图形的线段要标清长度）； ③比较与的大小关系，并证明． （5）拓展创新： 已知：，，，直接写出值． 【答案】（4）①，，，；②，图见详解；③，证明见详解；（5）1 【分析】本题主要考查完全平方式与几何图形，解题的关键是理解题意； （4）①根据图形及正方形与长方形面积公式可进行求解；②根据①可知，进而画出图形即可；③根据作差法及完全平方公式可进行求解； （5）由题意易得，则有，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】解：（4）①由图可知： ，，，； ②我发现，所作图形如下： ③，证明如下： 由①可知：，，， ∴， ∴； （5）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容． 观察图，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 用等式表示图中图形的面积的运算为_____． 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，则_____； （2）若满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_____． 【答案】【教材呈现】包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形；； 【类比探究】； 【尝试应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解题意，数形结合得到是解决问题的关键． 【教材呈现】由图直接分析它包含哪些长方形和正方形，再由图形的拆解过程可得图中图形的面积运算情况； 【类比探究】由【教材呈现】中得到的，恒等变形即可确定图①中阴影部分图形的面积和； 【尝试应用】（1）由【类比探究】知，两个正方形的面积和为，将题中代入计算即可得到答案； （2）采用换元法，令，，则，再根据代值计算即可得到答案； 【拓展延伸】如图所示，设，，根据题意得到，再将恒等变形得到，将代入计算即可得到答案． 【详解】【教材呈现】解：如图所示： 包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形； 用等式表示图中图形的面积的运算为：； 故答案为：； 【类比探究】解：如图所示： 由【教材呈现】知，， 两个正方形的面积和为：， 故答案为：； 【尝试应用】（1）解：由【类比探究】知，两个正方形的面积和为：， ， ； 故答案为：10； （2）解：令，， ， ， ， 则， ； 【拓展延伸】解：如图所示： 设，， ， ， 种花区域的面积和为， ， 则， 种草区域的面积和为： ， ， ， 则种草区域的面积和为， 故答案为：． 题型六、整式的混合运算 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则展开并合并同类项． 利用单项式乘多项式法则展开各项，去括号后合并同类项化简原式，代入计算最终值． 【详解】解： ； 当时，原式． 30．先化简，再求值：，其中， ． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则和合并同类项法则，进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据平方差公式，多项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 32．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 33．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2026年1月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：__________，__________，不难发现，结果都等于__________． (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】本题考查根据日历规律进行计算，以及整式运算证明规律，解题的关键是对概念的掌握． （1）根据题目所给的运算规则，分别计算出和的值，从而得出结果； （2）先根据日历中数的位置关系，用含的代数式表示出、、、位置上的数，再按照题目中的运算规则列出式子，最后利用平方差公式进行化简证明． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都等于， 故答案为：；；； （2）解：设“”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数分别为， 将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减， 即． 题型一、利用完全平方公式进行简便计算 34．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)255 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为，即可利用完全平方公式进行计算； （2）将原式视为，再将变形为，依次利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 35．利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)998001 【分析】本题考查乘法公式进行简便运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）将改写成，97改写成，再利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （3）将改为，再利用完全平方公式即可计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 37．运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 38．我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，从而更助于我们发现更多有用的结论，下面我们来探索代数式与代数式的关系． (1)当时，分别计算两个代数式的值； (2)当时，分别计算两个代数式的值； (3)你发现了什么关系？ (4)利用你发现的结论，求的值． 【答案】(1)9，9 (2)4，4 (3) (4)1 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题目信息，准确把文字语言转化为数学语言是解题的关键． （1）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解； （2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解； （3）根据计算结果相等写出等式； （4）利用（3）的等式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， ． （2）解：当时，， ． （3）解：根据（1）（2）可得． （4）解：． 题型二、配方法的应用 39．已知分别是的三边长，若，则的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意可得，则根据完全平方公式可推出，据此求出c的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 40．【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 【答案】课内链接：（1）5；（2）36，6；理解新知：，，；拓展应用：P的最小值是2026 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 课内链接：（1）根据完全平方公式，找出对应的项，计算的值； （2）同理，根据完全平方公式，先确定的值，再确定的值； 理解新知：按照配方法步骤，先提取二次项系数，再对括号内式子配方，转化为的形式，确定、、； 拓展应用：用配方法将式子转化为的形式，利用平方的非负性求最小值． 【详解】解：课内链接：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：36，6； 理解新知：， ∴，，， 故答案为：，，； 拓展应用：， ， ， ， 即的最小值是2026 41．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用、代数式求值等知识点，熟练利用完全平方公式进行配方是解题的关键． （1）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负数的性质求得m、n的值，再求即可解答； （2）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负性求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ， ． （2）解： ， ， ∴， ∴多项式的最小值为2，此时， ∴当，时，多项式的最小值为2． 42．数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，正确进行配方是解此题的关键． （1）将配方得，结合即可求解； （2）作差得，再配方得，又，即可判断代数式的大小． 【详解】（1）配方得 ， ， ， 所以A的最小值为； （2）作差得 ， ， 又，所以， 即， ． 43．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 44．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 题型三、应用平方差公式进行简便计算 45．计算： ． 【答案】1000 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．逆用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1000． 46．计算： 【答案】25 【分析】本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，活用平方差公式进行运算是解题的关键．根据题意，将原式转化为，然后利用平方差公式计算出答案即可． 【详解】解： 47．运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． 48．简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，通过观察算式可化为，利用平方差公式进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 49．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 题型四、利用乘法公式进行知二求二运算 50．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值： （1）把原式变形为，再代入计算即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：， 把，代入，得： ， ∵， ∴． 51．已知 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)7 (2)47 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）由（1）知，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：由， 两边平方得， 所以； （2）解：由（1）知， 两边平方得， 所以． 52．（1）已知，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）32；30；（2）13 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用， （1）利用公式和进行变形求值即可； （2）通过变量代换，将问题转化为已知两数和与积求平方和的问题，同样运用完全平方公式求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）设， 则 ， 又∵， ∴． 53．如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． (1)根据图1和图2，写出，，ab之间的一个等量关系________； (2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值； (3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为136，点E，点F在边AB上，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；（2）利用（1）的结论进行解答即可； （3）设，，则，，根据，求出，再根据，求出，然后通过即可求解． 【详解】（1）图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； 故答案是：． （2），， ， ； （3）设，，则，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 54．已知，，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值． （2）若，，求和的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】本题考查完全平方公式的应用． （1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可； （2）利用完全平方公式变形即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； （2）∵， ∴； ； （3）设，，则 由题意可得：，， 即， ∴． ∵， ∴， 即． 55．如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．       (1)图①中大长方形的面积为_____； (2)观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； (3)已知，，求的值； (4)两个正方形、如图③摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，正方形和长方形的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正方形和长方形的性质是解决问题的关键． （1）根据图①中大长方形的长为、宽为，即可得出大长方形的面积； （2）根据图②中“大正方形的面积﹣小正方形的面积4个长方形的面积和”得，由此即可得出答案； （3）由（2）的结论得，进而得，再将，，代入计算即可得出的值； （4）依题意得，，根据得，，由三角形面积公式得，由（2）的结论得，进而得，将，代入计算得，继而得，据此即可得出图中③阴影部分面积和． 【详解】（1）解：∵图①中大长方形的长为、宽为， ∴图①中大长方形的面积为：， 故答案为：； （2）解：∵图②中大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∵图②四个长方形的长均为m，宽均为n， ∴图②四个长方形的面积均为， 又∵图②中“大正方形的面积小正方形的面积4个长方形的面积和”， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； （4）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵正方形的边长为y， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴图中③阴影部分面积和为9． 56．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】(1)② (2)①见解析②见解析 【分析】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【详解】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）解：① ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 57．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2 (2)2 (3)8 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可； （2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案； （3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 58．【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【答案】（），，②；（）；（）平方米 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）利用（）得到的等式计算即可求解； （）由题意得米，米，米，即得，得到，又由图可得正方形和区域的面积和为，设，，则，，利用（）得到的等式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算及其应用，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：； 因此，可以得出等式， 故答案为：，，②； （）∵，，， ∴； （）由题意得，米，米，米， ∵的面积等于平方米， ∴， 即， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ∵， ∴， 即， ∴两个正方形和区域的面积和为平方米． 59．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)；； (2)22 (3)1744 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 60．【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 【答案】【初步思考】14； 【推广运用】（1），；（2）时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够读懂题意熟练运用完全平方公式是解题关键． 【初步思考】仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【推广运用】（1）根据题意列出代数式即可； （2）仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解：【初步思考】， ， ． ． 的最大值是14． 【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元， ∴每件商品的利润为：元， ∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品． ∴涨价后每天的销售量为：件， 故答案为：，； 解：（2）∵， ， ． ． 当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元． 试卷第2页，共56页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 乘法公式（答案版） 题型一、利用平方差公式进行计算 1．B． 2．． 3．9． 4．【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 5．【详解】解： ． 题型二、平方差公式与几何图形 6．D． 7．A． 8．D． 9．C． 10．【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 题型三、利用完全平方公式进行计算 11．【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．【详解】解：， ， 由得， ∴原式． 故答案为：6． 13．【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 14．【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．【详解】解： ， 当，时，原式． 16．【详解】解：甲员工方案的最终售价：， 乙员工方案的最终售价：， ∵ ， 又， ∴， ∴，即， ∴按照乙员工的方案盈利更多． 17．【详解】解： ． 当，时， 原式． 18．【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型四、完全平方公式中的字母系数 19．C． 20．D． 21．D． 22．C． 23．． 题型五、完全平方公式与几何图形 24．【详解】（1）解：把的两边平方得：， 化简得：， 将代入得：， 解得：； （2）解：； （3）解：设，，则，， 把两边平方得：， 化简得：， 将代入得：， 解得：， 则． 故答案为：8，36，14 25．【详解】（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为； 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为． （2）解：由（1）得， ，， ． （3）解：设，， 则，， 由，得， ， 即的值为28． 26．【详解】（1）解：由完全平方公式可得，； 当，时， ∴，即， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积 ． 27．【详解】解：（4）①由图可知： ，，，； ②我发现，所作图形如下： ③，证明如下： 由①可知：，，， ∴， ∴； （5）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．【详解】【教材呈现】解：如图所示： 包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形； 用等式表示图中图形的面积的运算为：； 故答案为：； 【类比探究】解：如图所示： 由【教材呈现】知，， 两个正方形的面积和为：， 故答案为：； 【尝试应用】（1）解：由【类比探究】知，两个正方形的面积和为：， ， ； 故答案为：10； （2）解：令，， ， ， ， 则， ； 【拓展延伸】解：如图所示： 设，， ， ， 种花区域的面积和为， ， 则， 种草区域的面积和为： ， ， ， 则种草区域的面积和为， 故答案为：． 题型六、整式的混合运算 29．【详解】解： ； 当时，原式． 30．【详解】解： ， 当，时，原式． 31．【详解】解： ， 当时，原式． 32．【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 33．【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都等于， 故答案为：；；； （2）解：设“”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数分别为， 将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减， 即． 题型一、利用完全平方公式进行简便计算 34．【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 35．【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 37．【详解】（1） ； （2） ． 38．【详解】（1）解：当时，， ． （2）解：当时，， ． （3）解：根据（1）（2）可得． （4）解：． 题型二、配方法的应用 39．C． 40．【详解】解：课内链接：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：36，6； 理解新知：， ∴，，， 故答案为：，，； 拓展应用：， ， ， ， 即的最小值是2026 41．【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ， ． （2）解： ， ， ∴， ∴多项式的最小值为2，此时， ∴当，时，多项式的最小值为2． 42．【详解】（1）配方得 ， ， ， 所以A的最小值为； （2）作差得 ， ， 又，所以， 即， ． 43．【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 44．【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 题型三、应用平方差公式进行简便计算 45．1000． 46．【详解】解： 47．【详解】解： ． 48．【详解】解：原式 ． 49．【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 题型四、利用乘法公式进行知二求二运算 50．【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：， 把，代入，得： ， ∵， ∴． 51．【详解】（1）解：由， 两边平方得， 所以； （2）解：由（1）知， 两边平方得， 所以． 52．【详解】解：（1）， ， ； （2）设， 则 ， 又∵， ∴． 53．【详解】（1）图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； 故答案是：． （2），， ， ； （3）设，，则，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 54．【详解】解：（1）∵，且， ∴； （2）∵， ∴； ； （3）设，，则 由题意可得：，， 即， ∴． ∵， ∴， 即． 55．【详解】（1）解：∵图①中大长方形的长为、宽为， ∴图①中大长方形的面积为：， 故答案为：； （2）解：∵图②中大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∵图②四个长方形的长均为m，宽均为n， ∴图②四个长方形的面积均为， 又∵图②中“大正方形的面积小正方形的面积4个长方形的面积和”， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； （4）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵正方形的边长为y， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴图中③阴影部分面积和为9． 56．【详解】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）解：① ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 57．【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 58．【详解】解：（）方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：； 因此，可以得出等式， 故答案为：，，②； （）∵，，， ∴； （）由题意得，米，米，米， ∵的面积等于平方米， ∴， 即， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ∵， ∴， 即， ∴两个正方形和区域的面积和为平方米． 59．【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 60．【详解】解：【初步思考】， ， ． ． 的最大值是14． 【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元， ∴每件商品的利润为：元， ∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品． ∴涨价后每天的销售量为：件， 故答案为：，； 解：（2）∵， ， ． ． 当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元． 试卷第2页，共56页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $