精品解析：江西省奉新四中、高安四中联考2025-2026学年九年级上学期12月质量检测数学试题

九年级12月质量检测数学卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 3. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 5. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 一箭双雕 C. 水中捞月 D. 一步登天 6. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　 　） A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是_____． 8. 用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 9. 已知：如图，⊙O是的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，的周长为24cm，BC=10cm，则AE=_____cm． 10. 如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为__cm2． 11. 如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为______． 12. 如图，的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与相切，此时菱形的边长为_____． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 14. 如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 15. 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，作出该圆直径． （2）如图2，是所在圆的直径，弦，作出圆的圆心． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上. (1)画出关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标. (2)求点B旋转到点B′的路径(结果保留π). 17. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）； （2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ （3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 20. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、解答题：本题12分． 23. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月质量检测数学卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：这个多边形的边数为： 故选：C. 2. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意； B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意； C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 5. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 一箭双雕 C. 水中捞月 D. 一步登天 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：A、水涨船高是必然事件，故A错误； B、一箭双雕是随机事件，故B正确； C、水中捞月不可能事件件，故C错误； D、一步登天是不可能事件，故D错误； 故选B． 【点睛】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　 　） A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD， ∴ ， ∵∠BAD是所对的圆周角，∠COB是 所对的圆心角， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟记定理的内容并结合图形进行解题是关键. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠A＝（180°﹣∠A）＝70°. 【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°， 故答案是：70°． 【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 【答案】垂直于同一条直线的两条直线相交 【解析】 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设原命题结论不成立． 【详解】解：原命题结论为“两条直线平行”， 假设其不成立，即“这两条直线不平行”， 由于不平行则相交， 因此首先假设“这两条直线相交”． 故答案为：垂直于同一条直线的两条直线相交． 9. 已知：如图，⊙O是的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，的周长为24cm，BC=10cm，则AE=_____cm． 【答案】2. 【解析】 【详解】试题分析：由切线长定理，可知：AE=AF，CD=CE，BF=BD，设AF=AE=x；BD=BF=y；CE=CD=z，利用已知数据列出方程2x+2y+2z=0，y+z=10，联立方程组，即可求出AE的长为2． 故答案为2. 考点：切线长定理． 10. 如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为__cm2． 【答案】2.8 【解析】 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 【详解】∵正方形二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为4cm2， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%， ∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8， 故答案为：2.8． 【点睛】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可． 11. 如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为______． 【答案】相切 【解析】 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ∴在中，， 又∵为的半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 12. 如图，的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与相切，此时菱形的边长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意分三种情况讨论：当，与相切时，当和的延长线与相切时，当和所在线与相切时，然后分别利用矩形的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】如图所示，当，与相切时，过点O作直线l的垂线，交于E，交于F，作于G， ∵的半径为2，圆心O到直线l的距离为4， ∴，， ∴， ∵与相切， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在中， ； 如图所示，当和的延长线与相切时，与的切点为G，过点O作与点E，过点D作与点F， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当和所在线与相切时，过点O作交于点E，交于点F，过点A作与点G， ∵的半径为2， ∴， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 综上所述，菱形的边长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 14. 如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 15. 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，作出该圆直径． （2）如图2，是所在圆的直径，弦，作出圆的圆心． 【答案】（1） 如图所示，直径即为所求； （2） 如图所示，圆心即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，连接交圆于点即可； （2）连接、交于点，连接、并延长交于点，连接交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及平行线性质、垂径定理等知识，熟练掌握轴对称定义、性质及作图是解决问题的关键． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上. (1)画出关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标. (2)求点B旋转到点B′的路径(结果保留π). 【答案】(1) A′（4，0），B′（3，3），C′（1，3）；(2) . 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用中心对称画出图形并写出坐标即可； (2)利用弧线长计算公式计算点旋转到点的路径． 试题解析：（1）图形如图所示，A′（4，0），B′（3，3），C′（1，3）； （2）由图可知，OB=, ∴=. 17. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 【答案】 证明（1）∵AB=CD， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 【解析】 【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案； （2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）； （2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ （3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 【答案】（1）抽样调查;（2）全校共征集作品180件; （3）恰好抽中一男一女的概率为. 【解析】 【详解】分析：（1）根据调查方式可知为抽样调查 （2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24（件），C班作品的件数为：24-4-6-4=10（件）；继而可补全条形统计图； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 详解： （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，故调查方式为抽样调查； （2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24件， 平均每个班=6件，C班有10件， ∴估计全校共征集作品6×30=180件． 条形图如图所示， （3）画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况， ∴恰好抽中一男一女的概率为：. 点睛：考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或3， ， ． 20. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：是的切线，理由如下： 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又是圆的半径， 是的切线； （2）面积为 【解析】 【分析】（1）连接，证明得到，从而由切线的判定即可得证； （2）数形结合得到图中阴影部分的面积，分别求出和，代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 22. 如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； 【小问3详解】 解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 六、解答题：本题12分． 23. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】（1） ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明为△ACB的中位线得到，然后计算即可； （3）作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作C点关于的对称点，交于P，连接，如图， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵点C和点关于对称， ∴， ∴， 作于H，如图， 则， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $