精品解析：吉林省四平市实验中学等校2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题

数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. 不存在 D. 2. 已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，，，若，则实数______． 13. 在等比数列中，，且，则______． 14. 设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 16. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 18. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为上的一个动点，求面积的最大值； （3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. 不存在 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接判断直线的倾斜角即可. 【详解】直线即，是一条与轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为． 故选：D． 2. 已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【详解】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 4. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的特征结合空间向量的模长坐标表示计算即可. 【详解】根据题意点在坐标平面内的射影为，所以. 故选：C. 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案． 【详解】双曲线， 由方程，可得双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题． 6. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进而可求出公差. 【详解】因为，解得， 所以公差． 故选：C． 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得圆心与半径，求得面积最大时，，进而计算即可求得的值. 【详解】由，得，可得圆心，半径， 由，当最大时，， 此时点到直线的距离为， 设线段的中点为，则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由递推式及，可得数列是以3为周期的周期数列，据此可判断各选项正误； 【详解】因为 ，，所以 ，，，，依此类推可得数列是以3为周期的周期数列. 对于A，，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，， 又，则，故D错误. 故选：BC 11. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由抛物线定义将转化为点到准线的距离，结合图形可得当点为与抛物线的交点时取得最小值6，由此即可判断选项. 【详解】抛物线的焦点，准线， 如图过点作于，过点作于，连接， 由抛物线的定义知，则，当且仅当点为与抛物线的交点时取等号， 又，所以的最小值为6，由此可得仅C，D符合题意． 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，，，若，则实数______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 在等比数列中，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质求出，再对所求式子求和，利用等比数列的性质求值. 【详解】因为在等比数列中，，所以，解得， 设等比数列的公比为， 则数列是首项为，公比为的等比数列，其前7项和为 . 由等比数列的性质可知，所以. 故答案为：3 14. 设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____. 【答案】15 【解析】 【分析】利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解. 【详解】如图所示： 在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3， 所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0). |PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|). ∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号， ∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5， 此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15. 故答案为：15 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】（1） （2）或，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得首项和公差即可得解. （2）利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 设的公差为，则 解得 所以； 【小问2详解】 ， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 16. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，而， 则，取，得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）;（2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长； （2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 18. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【小问1详解】 将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. 【小问2详解】 ,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为上的一个动点，求面积的最大值； （3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得方程； （2）设，根据点到直线的距离结合三角函数分析可知：取到最大值，即可得面积最大值； （3）设直线：，，，根据向量夹角结合向量运算分析可得，进而可得，即可得定点. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，则直线的斜率为，且， 可知直线：，即， 因为点为椭圆上的一个动点，设， 则点到直线的距离， 其中， 可知当时，取到最大值， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，， 因为，则，即， 又因为点在椭圆上，则，即， 可得， 同理可得：， 且，， 可得，则， 整理可得， 显然，则，即， 可得直线：， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $