专题02 反比例函数的性质及其应用（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题02 反比例函数的性质及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：反比例函数的图象与性质 易｜混｜易｜错 1）对于反比例函数的图象，当k＞0时，双曲线位于第一、三象限；当k＜0时，双曲线位于第二、四象限； 2）在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 1．（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【解答】解：∵y＝k（x﹣1）， ∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0）， 故①④不合题意； 当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y（k≠0）在一、三象限； 当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y（k≠0）在二、四象限； 故②③符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 2．（2024•杭州三模）我们知道，比较两个数的大小有很多方法，其中的图象法也非常巧妙，比如，通过图中的信息，我们可以得出x的解是 　 ． 【分析】求出两函数交点的横坐标，即可求出x的解． 【解答】解：x，在函数图象上则表示为相应的直线部分比双曲线部分高，两个交点的横坐标分别为﹣1，1； 从图象上可看出当x时，应该位于交点的右边． 即x＞1或﹣1＜x＜0． 【点评】从图象比较两个数的大小，简单且不容易出差错，各反比例函数有关的比较需注意反比例函数的x和y都不能为0． 3．（2025•大理市校级四模）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【分析】因为k＝﹣8＜0，所以根据反比例函数的性质直接可以解答． 【解答】解：∵k＝﹣8， ∴图象位于二、四象限． 故选D． 【点评】此题考查了反比例函数的性质，属基础题． 4．（2025•衢州三模）已知反比例函数，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最小值﹣2a B．最大值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值 【分析】根据反比例函数的性质，可知图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，可得k＝2a，进而可判断：当x＝﹣2时，函数有最小值，当x＝﹣1时，函数有最大值． 【解答】解：∵反比例函数y（k＜0）， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当2≤x≤3时，函数y的最小值为a， 则x＝2时，a， ∴k＝2a， ∴y， 当﹣2≤x≤﹣1时， 当x＝﹣2时，函数y的最小值为a， 当x＝﹣1时，函数y的最大值为2a． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 5．（2025•浙江模拟）反比例函数，当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a，则反比例函数的最大值为　　 （用含a的代数式表示）． 【分析】先根据k＜0判断出函数图象所在的象限及其增减性，进而可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数， ∴此函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a， ∴当x＝m时，y最大＝a， ∴a，即k＝am， ∵反比例函数中，﹣k＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵2m≤x≤m（m≠0）， ∴当x＝2m时，y最大． 故答案为：． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 【分析】根据反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；根据题上条件分析解答即可． 【解答】解：∵在反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大； ∴两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，即有a1＞a2，则m＞0， ∴a1＝m，b1，a2m，b22m， ∴m﹣（﹣m）＝4，解得m＝2， ∴b11，b2＝﹣2m＝﹣4， ∴b1﹣b2＝1﹣（﹣4）＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 考点二：反比例函数图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1）谨记一点：点在图象上，点的坐标符合其表达式；故当给出“点A在双曲线y的图象上”时立刻将点A坐标带入解析式，或者利用解析式设出点A坐标； 2）点的坐标特征与函数增减性结合考察时，要注意反比例函数性质的取值范围的应用，不能一概而论； 3）和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的特殊性质； 1．（2025•丽水一模）若点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大，结合1＜m＜5得出x1＜0＜x2＜x3即可得解． 【解答】解：∵点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，k＝﹣5＜0， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随着x的增大而增大， ∵1＜m＜5， ∴m﹣5＜0，m﹣1＞0，m+5＞6， ∴x1＜0＜x2＜x3， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）已知点A（m，y1），B（﹣m﹣1，y2）在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（　　） A．当m＞0时，y2＞y1 B．当时，y1＞y2 C．当时，y1＞y2 D．当m＜﹣1时，y1＞y2 【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【解答】解：∵反比例函数y中，k＞0， ∴图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当m＞0时，点A（m，y1）在第一象限、B（﹣m﹣1，y2）在第三象限，y2＜0＜y1，故A选项错误，不符合题意；当m＜0时，则﹣m﹣1＜m＜0，点A（m，y1）、B（﹣m﹣1，y2）均在第三象限，0＞y2＞y1，故B选项错误，不符合题意； 当﹣1＜m时，则﹣1＜m＜﹣m﹣1＜0，点A（m，y1）、B（﹣m﹣1，y2）均在第三象限，0＞y1＞y2，故C选项正确，符合题意； 当m＜﹣1时，则﹣m﹣1＞0，点A（m，y1）在第三象限、B（﹣m﹣1，y2）均在第一象限，y1＜0＜y2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限以及增减性是解题的关键． 3．（2025•丽水一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 【分析】根据反比例函数的性质判断出y1、y2的正负情况，然后比较大小即可． 【解答】解：∵反比例函数y的k＝﹣1＜0， ∴反比例函数图象位于第二四象限， ∵x1＜0＜x2， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y2＜0＜y1． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 4．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 【分析】由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小． 【解答】解：由条件可知：函数位于第一、三象限，y随x的增大而减小， ∴①0＜t＜2﹣t时，y1＞y2， 解得：0＜t＜1， 即当0＜t＜1，y1＞y2； ①0＜2﹣t＜t时，y1＜y2， 解得：1＜t＜2， 即当1＜t＜2，y1＜y2， 所以结合选项可知：B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2025•金华模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数图象上，x1≠x2．若x1•x2＜0，则（x2﹣x1）•（y2﹣y1）的值为（　　） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【分析】根据反比例函数k＞0可知反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【解答】解：由条件可知反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 由条件可知x1＞0，x2＜0或x1＜0，x2＞0， 假设x1＞0，x2＜0，则y1＜y2， ∴x2﹣x1＜0，y2﹣y1＞0， ∴（x2﹣x1）•（y2﹣y1）＜0， 同理：当x1＜0，x2＞0，则y1＞y2，（x2﹣x1）•（y2﹣y1）＜0． 故选：B． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握该知识点是关键． 考点三：反比例函数与一次函数的交点问题 易｜混｜易｜错 1）求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2）不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集题型，解题步骤： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围； （没有其他要求时，解集一般有两部分，即“谁或谁”且其中一部分肯定和0有关） 1．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（m，3n），B（m+2，n），且直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（　　） A．m＝2 B．k＝8 C．2AB＝3BC D．当y1＞y2＞0时，1＜x＜3 【分析】根据题意得，解得，即A（1，6），B（3，2），再求出k＝6，结合直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，得出C（4，0），运用勾股定理算出，，运用数形结合思想进行分析当y1＞y2＞0时，1＜x＜3，即可作答． 【解答】解：由条件可知， 解得， 故A选项不符合题意； 把n＝2，m＝1代入A（m，3n），B（m+2，n），得A（1，6），B（3，2）， 则把A（1，6）代入，得， ∴k＝6， 故B选项不符合题意； ∵直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C， ∴令y1＝0，则0＝﹣2x+8， 解得x＝4， ∴C（4，0）， ∵A（1，6），B（3，2）， 则， ， 则AB＝2BC， ∴2AB＝4BC， 故C选项不符合题意； 依题意，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（1，6），B（3，2）， ∴当y1＞y2＞0时，1＜x＜3， 故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025•临安区一模）已知一次函数y1＝k1（x﹣3）﹣2与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点（0，k2），当x≥1时，总有y1＜y2＜0，则k1的值可以为（　　） A．k1＝1 B． C．k1＝﹣1 D．k1＝﹣2 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【解答】解：∵一次函数与y轴交于点（0，k2）， ∴k2＝﹣3k1﹣2， ∵x≥1时，y20， ∴k2＜0，即﹣3k1﹣2＜0， ∴k1， ∵当x＝1时，y1＜y2， ∴﹣2k1﹣2＜﹣3k1﹣2， ∴k1＜0， ∴k1＜0， 四个选项，只有选项B符合条件． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 3．（2025•丽水一模）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∠AOC＝60°，OA＝2，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则AD的值为　 ． 【分析】作CE⊥x轴交x轴于E，作DF⊥x轴交x轴于F，根据菱形的性质得到OC＝2，OC∥AB，根据三角函数求出OE＝1，，即，代入可求出，设AF＝a，根据三角函数可知，AD＝2a，则，可得，求出，即可求出AD的值． 【解答】解：如图，作CE⊥x轴交x轴于E，作DF⊥x轴交x轴于F， 由条件可知OC＝2，OC∥AB， ∵∠AOC＝60°， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝1，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图象交AB于点D， ∴， 即， 由条件可知∠AOC＝∠FAB＝60°， 设AF＝a，则，AD＝2a， ∴OF＝2+a， 即， ∵过C点的反比例函数部分图象交AB于点D， ∴， 整理得：a2+2a﹣1＝0， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2025•拱墅区校级三模）如图，A（m，6），B（n，2）为反比例函数的图象与一次函数y＝bx+c的图象的交点，且AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝4，则a+b+c的值为 　 ． 【分析】依题意得OD＝m，OC＝n，根据CD＝4得n﹣m＝4①，再根据A（m，6），B（n，2）在反比例函数的图象上得a＝6m＝2n，由此可得m＝2，n＝6，则a＝6m＝12，A（2，6），B（6，2），再将点A（2，6），B（6，2）代入y＝bx+c之中求出b＝﹣1，c＝8，由此可得a+b+c的值． 【解答】解：∵A（m，6），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C， ∴OD＝m，OC＝n， ∵OC﹣OD＝CD＝4， ∴n﹣m＝4①， ∵A（m，6），B（n，2）在反比例函数的图象上， ∴a＝6m＝2n， ∴n＝3m②， 由①②可解得：m＝2，n＝6， ∴a＝6m＝12，A（2，6），B（6，2）， ∵点A（2，6），B（6，2）在一次函数y＝bx+c的图象上， ∴， 解得：， ∴a+b+c＝12+（﹣1）+8＝19． 故答案为：19． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，立即函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键． 考点五：反比例函数k的几何意义 易｜混｜易｜错 1）这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如：； 1．（2025•浙江模拟）如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　） A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE 【分析】连接OB，延长BE交y轴于点F，则四边形OFEC为矩形，有和S△BCE＝S△BOF+S△BCO﹣SOFEC，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【解答】解：连接OB，延长BE交y轴于点F，如图， 由条件可知四边形OFEC为矩形，S△OAEOC•ACOC•CEkOC•CE， ， 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，熟练掌握以上知识点是关键． 2．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝15， ∴S△AOBS△AOC， ∵S四边形AHGB＝S△AOB， ∴（AH+BG）•HG）×（a）， ∴k＝10， 故k的值为10， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2025•杭州一模）如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 【分析】根据题意，先确定各点的坐标，C（b，0），B（b，a），A（0，a），P（c，），F（c，a），利用S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF得到结论即可． 【解答】解：如图， 由条件可知C（b，0），B（b，a），A（0，a）， ∵点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且横坐标为c， ∴P（c，），F（c，a）， ∴S△AEF•AF•（a）（ac﹣k）， S△BCF， S△ABC， ∴S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF， ∴△EFC的面积为S仅与k值有关． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2025•宁波模拟）如图，已知点B在反比例函数的图象上，，△ABC为直角三角形，将△ABC旋转至△EDC，使得点D恰好也在反比例函数的图象上，已知S△ADE＝3，则k的值为　 　 ． 【分析】过点A作AF⊥CD于点F，延长ED交x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，连接EF，根据对称性得出B，D关于y＝x对称，证明△CED≌△CGD（ASA），得出，证明△ABC≌△CFA（ASA）得出CF＝AB，AF＝BC＝CD，设D（m，n），过点B作MN∥y轴，过点A作AM∥x，AM，MN交于点M，MB交x轴于点N，证明△AMB∽△BNC，得出，根据得出①，等面积法求得DG，进而求得DF，根据S△ADE＝3，建立方程并整理得出②，解方程，求得或，代入①进而求得k，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，延长ED交x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，连接EF， ∵将△ABC旋转至△EDC，， ∴，CB＝CD，∠ACB＝∠ECD， 又∵B，D都在反比例函数的图象上， ∴B，D关于y＝x对称， 设T是y＝x上第一象限的点， ∴∠TCA＝∠TCG＝45°，∠TCB＝∠TCD， ∴∠ACB＝∠DCG， 设∠ACB＝α， 又∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠DCG＝∠ECD＝α， ∴∠ACF＝90°﹣α＝∠CAB， 在△CED与△CGD中， ， ∴△CED≌△CGD（ASA） ∴，ED＝DG， 在△ABC与△CFA中， ， ∴△ABC≌△CFA（ASA）， ∴CF＝AB，AF＝BC＝CD， 设D（m，n）， ∴HC＝m，DH＝n， 如图，过点B作MN∥y轴，过点A作AM∥x，AM，MN交于点M，MB交x轴于点N， ∴∠AMB＝∠CNB＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN， ∴△AMB∽△BNC， ∴， 又∵∠BCN＝90°﹣α＝∠CDH，BC＝CD，∠BNC＝∠CHD， ∴△CBN≌△DCH（ASA）， ∴CN＝DH＝n，BN＝CH＝m， ∴， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵HC＝m，DH＝n， ∴， ∵， ∴ 又∵CF＝AB＝ED＝DG， ∴DF＝CD﹣CF＝CD﹣DG ∵， 整理得②， 由①得，把代入②得， 整理得3m2﹣25mn+28n2＝0， 解得或， 把代入得，， 故． 同理：把代入得，， 故． 综上，可知：或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了反比例函数与几何图形综合，相似三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025•义乌市校级模拟）如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右边），OA＝2AB，分别以OA，AB为边作等边三角形OAC，ABD，反比例函数的图象经过AD中点E，与边OC交于点F．作FM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答． 【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥x轴， 设AB＝4a，则OA＝2AB＝8a， 由条件可知，∠EAH＝60°， ∴∠AEH＝30°， ∴， ∴， ∴OH＝OA+AH＝9a， ∴点E的坐标为， ∵阴影部分的面积等于， ∴， 由条件可知四边形HENO为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵以OA为边作等边三角形OAC， ∴∠FOM＝60°， ∵FM⊥x轴， ∴∠OFM＝30°， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定与性质，30°角直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点六：待定系数法求反比例函数的解析式 1．（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A． （1）若△OCE的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当y≤4时，求自变量x的取值范围． （2）已知CE＝4，BD，求AB的长． 【分析】（1）①利用反比例函数系数k的几何意义即可求解； ②求得y＝4时，自变量x的值，然后根据图象即可求解； 【解答】解：（1）①点C在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E， ∴S△OCE|k|， ∵△OCE的面积为6， ∴|k|＝6， ∵k＞0， ∴k＝12， ∴反比例函数的表达式为y； ②当y＝4时，则4，解得x＝3， 由图象可知，当y≤4时，x≥3． （2）∵点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A， ∴CE∥BD，， ∵CE＝4，BD， ∴4OEOB， ∴， ∵CE∥AB， ∴， ∴AB＝3CE＝3×4＝12． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，数形结合是解题的关键． 2．（2025•兰山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为． （1）点C的坐标为 　 　 ；（请直接写出结果） （2）求反比例函数的解析式； （3）求线段CD的长度． 【分析】（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，证明△OBM≌△OAN（AAS），得BM＝AN，OM＝ON，设B（x，y），则A（y，x），然后由中点坐标公式求解； （2）设B点坐标为（x，y），则．再根据，求得xy＝9，即可求得k＝9，从而求解； （3）先由点C坐标求得，再证明OC是第一象限角的平分线，从而可得OC所在直线的解析式为y＝x，再联立，求得D点的坐标为（3，3），从而可求得OD的长，然后由CD＝OC﹣OD求解即可． 【解答】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N， 则∠BMO＝∠ANO＝90°， ∵△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，OA＝OB， ∵∠BOE＝15°， ∴∠AON＝∠BOE＝15°， ∴△OBM≌△OAN（AAS）， ∴BM＝AN，OM＝ON， 设B（x，y），则A（y，x）， ∵点C为AB的中点， ∴点， ∵点B的横纵坐标之和为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵△OAB为等边三角形，AB＝6， ∴OB＝AB＝6， 设B点坐标为（x，y），则． ∵B的横纵坐标之和为， ∴． 解得xy＝9． ∴k＝9． ∴反比例函数的解析式为． （3）∵， ∴， ∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点， ∴， ∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°， ∴OC是第一象限角的平分线， ∴OC所在直线的解析式为y＝x． 联立， 解得， ∴D点的坐标为（3，3）． ∴OD＝3， ∴． ∴CD的长度为． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 考点七：反比例函数的应用 易｜混｜易｜错 1）反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式，画出函数图象，再根据函数图象的性质解决相关问题，同时注意自变量的取值范围； 2）一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 1．（2025•杭州模拟）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【分析】根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 2．（2025•上城区校级三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【分析】（1）根据图3，用待定系数法求出可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的函数解析式，再求出R即可； （2）用待定系数法求出电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式即可； （3）根据一次函数和反比例函数的性质求出当0.15≤I≤0.5时x的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设R1＝mx+b（m≠0）， 把（0，32），（3.2，0）代入解析式得：， 解得， ∴R1＝﹣10x+32， 当x＝1.2时，R1＝﹣10×1.2+32＝20， 此时R＝R1+R2＝20+10＝30（Ω）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I； （3）∵I， ∴R， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当T＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用和一次函数的应用，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． 3．（2025•瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y＝90时代入即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意，结合图象，从30℃加热到60℃是一次函数的图象， ∴可设函数解析式为y＝kx+b． 又图象过（0，30），（10，60）， ∴． ∴． ∴函数的解析式为y＝3x+30． ∴令y＝3x+30＝90，则x＝20． ∴材料加热到90℃的时间为20min． （2）由题意，设所求函数为y， 又∵材料自然降温时图象过（20，90）， ∴m＝20×90＝1800． ∴所求函数为y． （3）由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段8×60﹣10＝470（分钟）， 费用为：10×100+470×60＝29200（元）． 间加热工作：对于， 令y＝60， ∴x＝30． ∴除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10+23×10+10＝250（分钟）． ∴费用为：250×100＝25000（元），25000＜29200． ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 1．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　） A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2 C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0 【分析】根据所给反比例函数的解析式，得出反比例函数的图象位于第一、三象限，再结合反比例函数的性质对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 当x1x2＞0时， 点（x1，y1）和（x2，y2）可能都在第三象限， 则当点（x3，y3）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y3＜y4． 故A选项不符合题意． 当x1x3＞0时， 点（x1，y1）和（x3，y3）可能都在第三象限， 则点（x2，y2）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y4＞y2． 故B选项不符合题意． 当y3＞y4＞0时， 点（x3，y3）和（x4，y4）都在第一象限， 当点（x1，y1）和（x2，y2）也都在第一象限时，x1x2＞0． 故C选项不符合题意． 当y4＜y2＜0时， 点（x2，y2）和（x4，y4）都在第三象限， 则点（x1，y1）和（x3，y3）也必定都在第三象限， 所以x1x3＞0． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2025•宁海县二模）如图，在矩形ABOC中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3CD，以ED为边向下方作▱DEFG，使▱DEFG与矩形ABOC面积相等，连结OF，OG，则 　 　 ，△OFG的面积是 ． 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，由题意易得四边形ABHD，DHOC都是矩形，由AD＝3CD可设CD＝a，则有 AD＝3a，AC＝BO＝4a，则有，，然后问题可求解；连接OD，OE，过点O作OP⊥DE，并延长，交FG于点Q，则有进而问题可求解． 【解答】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图所示： ∵四边形ABOC是矩形， ∴∠A＝∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，AC＝BO，AB＝CO， ∵DH⊥OB， ∴四边形ABHD，DHOC都是矩形， ∴AB＝DH＝OC，由AD＝3CD可设CD＝a， 则有AD＝3a，AC＝BO＝4a， ∴ ， ∴，BE， ∴， ∴， ∴， 连接OD，OE，过点O作OP⊥DE，并延长，交FG于点Q， 如图所示： 由反比例函数k的几何意义可知：，， ∴S△DEO＝S矩形ABCD﹣S△DCO﹣S△BEO﹣S△ADE， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴OQ⊥FG， ∴S△DEO，， ∴， ∴． 故答案为：3，． 【点评】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形ABCD，其中BC的中点在y轴上，且BC∥x轴．取靠近D的四等分点E（即AE：DE＝3：1），连结EB并延长交x轴于点F，连结AF，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（　　） A．BC的长度 B．△AEF的面积 C．△ABE的面积 D．△ABF的面积 【分析】先过点C作CT⊥x轴，连接AC与BE交于一点Q，过点A作AW⊥FE，过点C作CH⊥FE，连接OC，CF，证明△AEQ∽△CBQ，得，再证明△AQW∽△CQH，则，根据，，整理得，因为BC的中点在y轴上，得，因为反比例函数经过点C，，即即可作答． 【解答】解：过点C作CT⊥x轴，连接AC与BE交于一点Q，过点A作AW⊥FE，过点C作CH⊥FE，连接OC，CF，如图所示： ∵AE：DE＝3：1， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEQ∽△CBQ， ∴， ∵， ∴， ∵AW⊥FE，CH⊥FE， ∴∠AWQ＝∠CHD＝90°， ∵∠AQW＝∠CQH， ∴△AQW∽△CQH， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵BC∥x轴，CT⊥x轴， ∴，， ∵BC的中点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴YC×CT＝k， ∴， 即， ∴， ∴要知道k的值，只需知道△ABF的面积， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，求反比例函数解析式，平行线之间距离处处相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025•西湖区校级三模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分． （1）求m的值及曲线CD的函数表达式． （2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【分析】（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，解方程得到m＝10，求得B（10，40），得到C（20，40），设反比例函数的解析式为y，把C（20，40）代入y，解方程即可得到结论； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能． 【解答】解：（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15， 解得m＝10， ∴B（10，40）， ∵线段BC持续的时间恰为10分钟， ∴C（20，40）， 设反比例函数的解析式为y， 把C（20，40）代入y得40得k＝800， ∴曲线CD的函数表达式为y； （2）令y＝32， ∴32x+15， ∴x＝6.8， 令y＝32， ∴32， ∴x25， ∵25﹣6.8＝18.2＞18， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 5．（2024•义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求直线AB的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，即可求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×3＝﹣3， 则反比例函数的表达式为：y， 将点B的坐标代入上式得：b1， 即点B的坐标为：（3，﹣1）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+2； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞3或﹣1＜x＜0； （3）存在，理由： 由直线AB的表达式知点C（0，2）， ∵，则OD＝3， 则点D（0，﹣3）， 作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小， 理由：GD+GB＝GD+GN＝ND为最小， 由点D、N的坐标得，直线DN的表达式为：yx﹣3， 令y＝0，则x， 即点G（，0）． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中． 1．（2025•鄞州区校级模拟）如图所示，已知一次函数y＝x﹣1与反比例函数交于点P，B（1，0），A为一次函数上一点，作等腰直角△MPN与△ACB使得N、C在x轴正半上，延长MP交AC于点D，连结CP，若BC＝6，D为AC中点，NP＝PC，则k＝　 　 ． 【分析】过点P作PG⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GP，交GP延长线于点H，证明△HMP≌△GPN（AAS），则有MH＝PG＝BG，BN＝PH，从而可得点M的横坐标与点B的横坐标相同为1，再根据NP＝PC，PG⊥x轴及等腰三角形的性质可得出A（7，6），点M的纵坐标为6，则点M（1，6），C（7，0），再求出点D（7，3），设MD解析式为y＝kx+b，从而有MD解析式为，联立，求出点P（5，4）即可． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GP，交GP延长线于点H， ∴∠H＝∠BGP＝90°， 由条件可知∠MPN＝∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，MP＝NP，∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BPG＝45°， ∴BG＝PG， 由条件可知∠HMP＝∠GPN， ∴△HMP≌△GPN（AAS）， ∴MH＝PG＝BG，BN＝PH， ∴点M的横坐标与点B的横坐标相同为1， ∵NP＝PC，PG⊥x轴， ∴NG＝CG， ∵GH＝PG+PH，BC＝BG+GC， ∴GH＝BC＝6， ∴点M的纵坐标与点A的纵坐标相同， ∴OC＝7， 当x＝7时，y＝7﹣1＝6， ∴A（7，6），点M的纵坐标为6， ∴点M（1，6），C（7，0）， ∵D为AC中点， ∴点D（7，3）， 设MD解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴MD解析式为， 联立：，解得， ∴点P（5，4）， ∵反比例函数 图象过点 P， ∴k＝5×4＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．已知P（3，4），矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数y（x＞0，k＞0）与矩形的BP，AP分别交于D，C，△COD的面积为4.5． （1）判断并证明直线CD与AB的关系． （2）求k的值． （3）若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值． 【分析】（1）可表示出C（3，），D（，4），从而得出BD，AC，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得△PCD∽△PAB，从而∠PDC＝∠PBA，从而得出CD∥AB； （2）作DG⊥OA于G，可推出S△COD＝S梯形ACDG，从而，进一步得出结果； （3）取点A′（﹣3，0），B′（0，﹣4），则直线A′B′与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交A′B′于H，连接FH，则OE＝OH，可得出当FH最小时，OM最小，作直线QH∥AB，交y轴与Q，且使QR与双曲线y在第一象限的图象相切，切点为F′，作B′R⊥QR于R，作F′T，则FH的最小值是F′T的长，可设直线QR的解析式为：yx+m，由整理得，4x2﹣3mx+18＝0，从而得出Δ＝（（﹣3m）2﹣4×4×18＝0，求得m的值，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1， CD∥AB，理由如下： 由题意得， C（3，），D（，4）， ∴BD，AC， ∴PD＝PB﹣BD＝3，PC＝PA﹣AC＝4， ∴， ∴， ∵∠P＝∠P， ∴△PCD∽△PAB， ∴∠PDC＝∠PBA， ∴CD∥AB； （2）如图2， 作DG⊥OA于G， ∵S△AOC＝S△DOG， ∴S△COD＝S四边形AOCD﹣S△AOC＝（S△DOG+S梯形ACDG）﹣S△AOC＝S梯形ACDG， ∴， ∴（4））＝9， ∴k1＝6，k2＝﹣6（舍去）， ∴k＝6； （3）如图2， 取点A′（﹣3，0），B′（0，﹣4）， 则直线A′B′与直线AB关于O对称， 连接EO，并延长交A′B′于H，连接FH， 则OE＝OH， ∵M是EF的中点， ∴OMFH， ∴当FH最小时，OM最小， 作直线QH∥AB，交y轴与Q，且使QR与双曲线y在第一象限的图象相切，切点为F′，作B′R⊥QR于R，作F′T， 则FH的最小值是F′T的长， ∵直线AB的解析式为：yx+4， ∴设直线QR的解析式为：yx+m， 由整理得，4x2﹣3mx+18＝0， ∴Δ＝（﹣3m）2﹣4×4×18＝0， ∴m1＝4，m2＝﹣4（舍去）， ∴OQ＝4， ∴QB′＝4， ∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5， ∴sin∠RQB′＝sin∠ABO， ∴F′H＝B′R＝B′Q•sin∠RQB′， ∴OM最小． 【点评】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题02 反比例函数的性质及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：反比例函数的图象与性质 易｜混｜易｜错 1）对于反比例函数的图象，当k＞0时，双曲线位于第一、三象限；当k＜0时，双曲线位于第二、四象限； 2）在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 1．（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 2．（2024•杭州三模）我们知道，比较两个数的大小有很多方法，其中的图象法也非常巧妙，比如，通过图中的信息，我们可以得出x的解是 　 ． 3．（2025•大理市校级四模）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4．（2025•衢州三模）已知反比例函数，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最小值﹣2a B．最大值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值 5．（2025•浙江模拟）反比例函数，当2m≤x≤m（m≠0）时，函数的最大值为a，则反比例函数的最大值为　　 （用含a的代数式表示）． 6．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 考点二：反比例函数图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1）谨记一点：点在图象上，点的坐标符合其表达式；故当给出“点A在双曲线y的图象上”时立刻将点A坐标带入解析式，或者利用解析式设出点A坐标； 2）点的坐标特征与函数增减性结合考察时，要注意反比例函数性质的取值范围的应用，不能一概而论； 3）和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的特殊性质； 1．（2025•丽水一模）若点A（m﹣5，y1），B（m﹣1，y2），C（m+5，y3）（其中1＜m＜5）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 2．（2025•浙江模拟）已知点A（m，y1），B（﹣m﹣1，y2）在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（　　） A．当m＞0时，y2＞y1 B．当时，y1＞y2 C．当时，y1＞y2 D．当m＜﹣1时，y1＞y2 3．（2025•丽水一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 4．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 5．（2025•金华模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数图象上，x1≠x2．若x1•x2＜0，则（x2﹣x1）•（y2﹣y1）的值为（　　） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 考点三：反比例函数与一次函数的交点问题 易｜混｜易｜错 1）求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2）不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集题型，解题步骤： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围； （没有其他要求时，解集一般有两部分，即“谁或谁”且其中一部分肯定和0有关） 1．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y1＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点A（m，3n），B（m+2，n），且直线y1＝﹣2x+8与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（　　） A．m＝2 B．k＝8 C．2AB＝3BC D．当y1＞y2＞0时，1＜x＜3 2．（2025•临安区一模）已知一次函数y1＝k1（x﹣3）﹣2与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点（0，k2），当x≥1时，总有y1＜y2＜0，则k1的值可以为（　　） A．k1＝1 B． C．k1＝﹣1 D．k1＝﹣2 3．（2025•丽水一模）如图，以菱形OABC的顶点O为原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∠AOC＝60°，OA＝2，过C点的反比例函数部分图象交AB于点D，则AD的值为　 ． 4．（2025•拱墅区校级三模）如图，A（m，6），B（n，2）为反比例函数的图象与一次函数y＝bx+c的图象的交点，且AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝4，则a+b+c的值为 　 ． 考点五：反比例函数k的几何意义 易｜混｜易｜错 1）这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如：； 1．（2025•浙江模拟）如图，点A，B在反比例函数（常数k＞0）图象上，作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥AC于点E，连接OA，OE，BC．则下列三角形中，与△OAE的面积一定相等的是（　　） A．△OAD B．△OCE C．△ABE D．△BCE 2．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 3．（2025•杭州一模）如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 4．（2025•宁波模拟）如图，已知点B在反比例函数的图象上，，△ABC为直角三角形，将△ABC旋转至△EDC，使得点D恰好也在反比例函数的图象上，已知S△ADE＝3，则k的值为　 　 ． 5．（2025•义乌市校级模拟）如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右边），OA＝2AB，分别以OA，AB为边作等边三角形OAC，ABD，反比例函数的图象经过AD中点E，与边OC交于点F．作FM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为　 ． 考点六：待定系数法求反比例函数的解析式 1．（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A． （1）若△OCE的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当y≤4时，求自变量x的取值范围． （2）已知CE＝4，BD，求AB的长． 2．（2025•兰山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为． （1）点C的坐标为 　 　 ；（请直接写出结果） （2）求反比例函数的解析式； （3）求线段CD的长度． 考点七：反比例函数的应用 易｜混｜易｜错 1）反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式，画出函数图象，再根据函数图象的性质解决相关问题，同时注意自变量的取值范围； 2）一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 1．（2025•杭州模拟）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 2．（2025•上城区校级三模）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 3．（2025•瓯海区二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 1．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（　　） A．若x1x2＞0，则y3＞y4 B．若x1x3＞0，则y4＜y2 C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0 D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0 2．（2025•宁海县二模）如图，在矩形ABOC中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3CD，以ED为边向下方作▱DEFG，使▱DEFG与矩形ABOC面积相等，连结OF，OG，则 　 　 ，△OFG的面积是 ． 3．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形ABCD，其中BC的中点在y轴上，且BC∥x轴．取靠近D的四等分点E（即AE：DE＝3：1），连结EB并延长交x轴于点F，连结AF，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（　　） A．BC的长度 B．△AEF的面积 C．△ABE的面积 D．△ABF的面积 4．（2025•西湖区校级三模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分． （1）求m的值及曲线CD的函数表达式． （2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 5．（2024•义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求直线AB的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 1．（2025•鄞州区校级模拟）如图所示，已知一次函数y＝x﹣1与反比例函数交于点P，B（1，0），A为一次函数上一点，作等腰直角△MPN与△ACB使得N、C在x轴正半上，延长MP交AC于点D，连结CP，若BC＝6，D为AC中点，NP＝PC，则k＝　 　 ． 2．已知P（3，4），矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数y（x＞0，k＞0）与矩形的BP，AP分别交于D，C，△COD的面积为4.5． （1）判断并证明直线CD与AB的关系． （2）求k的值． （3）若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $