河北省多校联考2025-2026学年高三上学期1月检测数学试题

2025一2026学年第一学期高三年级数学检测题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=zx>1,8={2< 则下列结论正确的是 A.A∩B={xlx<-1} B.A∩B={x|-1<x<1} C.AUB=(xlx<-1) D.AUB=(xlx<1) 2复数：=异的共铜复数记为，则：·- A.-2i B.-2 C.2i D.2 3.已知向量a=(x十1，x),b=（x,2),则下列结论正确的是 A.“a⊥b”的必要条件是“x=一3” B.“a∥b”的必要条件是“x=1一√3” C.“a⊥b”的充分条件是“x=3” D.“a∥b”的充分条件是“x=1十√5” 4.已知函数f(x)=|2lnx一1|，若f(a)=f(b),a≠b,则16a·8的最小值为 A.23 B.163 C.√3e D.4 5.若圆x+()一12=2(，>0)上到直线)y=号x+2的距离为5的点有且仅有2个，则半 径r的取值范围是 35 B c. 3√575 5,5 D.(√5，+∞) 6.在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB=BD,若该直四棱柱 的体积为32√3，则以B为球心，表面积为112π的球面与侧面AA1D1,D的交线长度为 B. π 3 C. 3 盆1而（井1万） 霸®任 7.已知函数f(x)=sinx,将f(x)图象上点的横坐标变为原来的2（纵坐标不变），再将所 得图象向右平移个单位长度，得到函数gx)的图象若V。∈[一设-] 5π 总存在唯 一实数B∈[0，m],使得g(a)+g(β)=0，则实数m的取值范围为 A. [ c[副 [ 8.对于任意的x>0,不等式(e一3x)(lnx一x十a)≤0恒成立，则实数a的值为 A.e B.1 C.In 2 D.In 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A若样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=0,则所有的x,(i=1,2,3,…,n)都相等 B在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄 表示回归效果越好 C.以模型y=cex去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程 为之=0.3x十4，则c,k的值分别是4和0.3 D.样本数据x1,x2,·,xn的平均数x=4,则样本数据2一3x1,2一3x2,…,2一3xn的平 均数为一10 10.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正确的有 A.抛物线的焦点坐标为F(0,一1) B.若|AF|+IBF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为6 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以点A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B,C1D1中，点E在正方形BB,C,C内运动（含 边界)且AE⊥B,C,则下列结论正确的有 D A.点E的轨迹长度大小为√2 B.三棱锥A一CD,E的体积随着E的位置变化而变化 C.当点E位于点B时，异面直线AE与B1D:所成角最小，且最小值为牙 D,F为直线B,D,上一点，则EF的最小值为 3 第2页（共4页） 霸巴思 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若(3x-1)5=a5x5十a4x4+a3x3+a2x2十a1x十a0,则a1十a2十a3十a4十a5= x4 y2 13.已知双曲线C:a-6=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过原点0的直线与双曲线C交 于A,B两点（点A位于第二象限），M为BF的中点，直线OM为双曲线C的一条渐近 线，且|BF|=4|AF|,则双曲线C的离心率为 bn 14数列1a的前n项和为20-2数列6满足b1十3十…十2m-,若c,=产贝 数列{cn)的最小项为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)设函数g(x)=3x3+Qx2的图象在x=1处的切线平行于直线2x一y=0,记 1 g(x)的导函数为f(x),数列(a,}满足：a1=2a+1=f(a,), (1)试判断数列{an}的单调性，并给出证明； (2)当n≥2，n∈N时，求证：1<1+a,+1+a2 1 1一十…十1十am 1 <2 16.(15分)人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算 法创新与工程实践的深度智慧某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A,B,C.每 款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通 过后，才能进人工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能 正式上线发布.已知A,B,C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，号，号，通过工 程箭暑验收的概率依次为号，，》 (1)求A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A,B,C三款模型能成功上线的数 量为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X). 第3页（共4页） 霸回思 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=1, BC=1,AD=2,M是PD的中点. (1)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥AD ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； )在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出C的 值；若不存在，请说明理由 A D 18.(17分)已知椭圆C与双曲线4x2-4) )=1有相同的焦点，椭圆C的离心率为三 (1)求椭圆C的方程； (2)设A为椭圆C的上顶点，F1为左焦点，M,N为椭圆C上的两点，点N关于y轴的 对称点为N',AF,为∠MAN的平分线，求证：直线MN'过定点. 19.(17分)已知函数f(x)=c0sz+ 2 (1)求f(x)的最值； (2)若不等式er≥sinx-cosx十2≥一x2+ax+1对任意的x≥0恒成立，求实数a 的值. 第4页（共4页） 圈用日 2025一2026学年第一学期高三年级数学检测题 参考答案及评分意见 1.A【解桥因为集合A=xx>1=xx<-1或x>1,集合B={女2<}-xx<-1, 所以A∩B={xx<一1}，AUB={xx<一1或x>1}.故选A 22(1-i) 2.D【解析】因为：=1中一1十D-D=1-i,则：=1+i,所以x·=(1-i)1+)=2.故选D, 3.D【解析】a=(x十1，x),b=(x,2),若a⊥b,则x(.x+1)十2.x=0,解得x=0或-3，故A,C错误； 若a∥b,则2(x+1)=x2,解得x=1土√3，故B错误，D正确.故选D. 4.B【解析】由f(x)=|2lnx一1得x>0,作出函数f(x)的大致图象，如图. f(x)=2In x-1l 由f(a)=f(b),得a>0,b>0,2lna-1=-(2lnb-1),即lna+lnb=1,则ab=e 所以160·80=2“·2=2+≥22v6=24v=2vm=16m, 当且仅当加=3动，即a=6-2时等号成立所以16·矿的最小值为16，故选B 2 3 5C【解析)由题意，圆心为0,1，则圆心0，)到直线y=名十2的距离4 10-1+2 25 1 6, √代2 +(-1)月 要使圆x+(y一1)2=r(,>0)上到直线y=2x+2的距离为5的点有且仅有2个， 则1r-d1<5<,十d,则半径r的取值范围是35,75.故选C 5·5 6.D【解析】依题意，∠BAD=受，设AA,=AB=BD=a(a>0 π√3 则Vun-Aico,=a2sin∠BAD·a=a'sin3=2a3=323,解得a=4. 如图，取AD的中点E,连接BE, D 因为△ABD是边长为4的正三角形，所以BE⊥AD,且BE=√AB一AE=√4-2=2√3. 设以B为球心的球的半径为R,则该球的表面积为4πR2=112π，解得R=2√7. 因为AA1⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥AA1. 又因为BE⊥AD,AD∩AA1=A,AD,AA1C平面AA,D1D,所以BE⊥平面AA,D,D. 数学答案第1页（共8页） 霸巴扫格全赶 所以球面被平面AA,D,D截得的圆的半径为√(2√7)一(2√3)2=4. 设在侧面AA,D,D中，以E为圆心，4为半径的圆弧与棱AA1,DD1的交点分别为M,N,MN即为所求的交 线.因为AA,LAD,AE=2=2EM,所以∠AME=石，则∠AEM=号同理得∠DEN=子，所以∠MEN=子 又因为EM=EN=4,所以N不的长度为号×4=誓，故选D 7.B【解析】由题意，先将f(x)图象上点的横坐标变为原来的，（纵坐标不变），得y=sin2.x的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得gx)=sm[2(一】=sm2x一看)的图象 因为a[登-引所以2a[餐引2a-音[，] Ya∈[一受-]总存在唯一实数BE[0m],使得go十g)=0. 即Va∈[受一引，总存在唯一实数E[0m].使得g)=一ga 即Vga)[-小总存在度-实数c0m1.使得g9b 因为B∈[0，m],所以28∈[0,2m],29- 因为总存在唯一实数B,使得g(3)∈ 所以实数m的取值范围 [)故选B 8.D【解析】设f(x)=e-3.x,则f'(.x)=e-3, 当x<ln3时，f'(.x)<0,f(x)单调递减；当x>ln3时，f'(.x)>0,f(.x)单调递增. 所以f(x)在x=ln3处有最小值，f(ln3)=3-3n3<0. 又因为f侣)e->0,f2)=e-6>0,所以fr)有两个零点，设1：红，< 当x<x1x>x2时，f(x)>0,当x1<x<x2时，f(x)<0. 由e=3x,两边取自然对数得x=lnx十ln3,即lnx-x十ln3=0的两根也是x1,xz. g(x)=lnx-x十a,要使得任意的x>0,不等式(e-3.x)(lnx一x十a)≤0恒成立， 必需f(x),g(x)有相同的零点x1,x2,并且在零点分段对应的区间内，函数值异号. 当a=ln3时，g(x)有两个零点x1x2,当x<x1x>xz时，g(x)<0, 当x1<x<x2时，g(x)>0,满足条件，所以满足条件的a=ln3.故选D. 9.ABD【解析】对于A,设样本数据x1,x2,xm的平均数为x, 则=[c-2)+(:一)+叶-)门=0，所以===，=，故A正确： 对于B,在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确； 对于C,由题意得lny=k.x+lnc=0.3x十4，所以k=0.3,lnc=4,c=e,故C错误； 数学答案第2页（共8页） 鬻用用全手 对于D,样本数据x1,x2,…,x的平均数x=4, 则样本数据2-3x1,2-3.x2,·,2一3.x的平均数为2-3x=2-3×4=一10，故D正确.故选ABD. 10.CD【解析】对于A,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,焦点为F(0,1),故A错误. 对于B,设点A(x1y1),B(x2y2),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1十y2十2=8，即y1十y2=6. 所以线段AB的中点到x轴的距离为十y:=3,故B错误. 2 对于C网为AF-十1，设段A的中点为侣，)，该应到：潮的距离为产-A 故以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确. 对于D,因为AF|=y1十1，故以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，故D正确.故选CD, 11.ACD【解析】由正方体的性质可知，B,C⊥平面ABC,D,平面ABC1D,∩平面BB,C,C=BC, 所以点E的轨迹为线段BC,其长度大小为2，故A正确。 由正方体的性质可知，BC1∥平面ACD1,△ACD,的面积不变，所以VA-DE=VE-AcD· 即三棱锥A一CD,E的体积始终不变，故B错误. 设异面直线AE与B1D1所成角为0，则cos0=|cos(AE,B1D)l. 设B正=ABC,则AE=AB+B正=AB+ABC=AB+AAD+AAA 又B,D=BD=AD-AB,则AE.B1D=(AB+AAD+AAA)·(AD-AB). 因为AB,AD,AA1两两垂直，所以AE·BD=入-1，|B1D1=√2，|AE1=√1+2 1-入 因为0≤λ≤1，所以cos0 ,所以当入三0时，c0s0取得最大值号，所以当 √1+2x×√2√2+4λ2 B时异面直线AE与B,D,所成角最小，最小值为于，故C正确， i设EB=x0<1≤2，B,F=y,床=E店+BB+B京，又因为E成，BB)-3,(BB,B-受，（E丽. B,)=2所以E=E市+BB+B+2E成，BB+2E成.BF+2BB·B产 +1+yw-6-+-2+ 11 当且仅当x=22 ，3y见时，取到最小值，即F3,所以EF的最小值为3故D正确，故选ACD 3 12.33【解析】令x=0,则ao=(3×0-1)5=-1,令x=1,则a。十a1十a2十a十a,十a5=(3×1-1)5=2, 所以a1十a2十a3十a,+as=25-(-1)=33. 【解析】设双曲线C的右焦点为F'(c,O),连接AF,BF',如图. 数学答案第3页（共8页） 鬻巴归全王 人在得的相A 因为O,M分别是AB,BF的中点，所以OM∥AF. 又因为直线OM是双曲线C的-一条渐近线，所以tan∠AFO二名，cos∠AFO=9 由双曲线的对称性，得|BF|=|AFL.由BF|=4AF|,得|AF'I=4|AF. 又因为AF'1-|AF=2a,所以AF'1= 3a,AF1=2 a. 在△FAF'中，由余弦定理得6a-音a+4c-2X号X2cX号，化简。=d 所以双曲线C的离心率=二=V 3 8 142 【解析】因为数列{a.}的前n项和为2m+1一2，所以当n=1时，a1=22一2=2； 当n≥2时，am=(2+1-2)一(2"-2)=2"，又因为a1=2满足上式，所以am=2”. b 因为6，++大2，所以当n时，义6，力 当≥2时6+号++0二g=a-1, 两式相减得，b.=(2m一1)[n2-(n-1)2]=(21一1)2，又因为b1=1满足上式，所以b.=(2n一1)2. 所以c.一2n2D由二-20二3 2 9c,-=(2m-)<1,得4n2-20m+17<0, )..,9))>8)<6)<)·用>>6目G十。2>>G—一 所以数列(c.的最小项为c,一25 8 15.(们)解：数列{an}单调递减，………………1分 1 理由如下：由题意gx)=3r+ar,则g'(x)=x2+2ax,所以g'(1)=1+2a 1 因为函数g(.x)= 3x+a.x2的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0,直线2x-y=0的斜率为2， =十2a=2,解得a一号，所以f)=g()=2十花……… 1 则a+1=f(a.)=a:+a…又a1=2,所以a+1>0,所以an>0, 所以am+1一am=a>0, 所以数列(a.}单调递增. …6分 (2)证明：因为a+1=a.(a+1),a.>0,所以1 1十a。amam+1 …8分 a.ai a:a:a. a.dn+1 数学答案第4页（共8页） 鬻巴用全 11 12+4_26 当n≥2时，江a中击Fa1a1Fa,3722分 一十 所似1K中a中a 1一十…十 上2.w13分 1十am 16.解：(1)设A,B,C三款模型通过算法设计评审分别为事件M,N,T, A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件D.… …2分 P(D)=P(MNT)+P(MNT)+P(MNT) =×号×-)+-}××+×-)×-品 4分 所以A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审的概率为30 13 …5分 (2)设A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件E,则P(E)=P(MNT)+P(MNT)+P(MNT)= ×-)×-)+(-)××-)+-)x-)×品 …7分 由条件概率公式得P(ME)= ME)子X-)X-) P(E) …8分 20 (3)设A,B,C三款模型能成功上线分别为事件Q,W,R, 则PQ)-×号Pw)-号×-PR)-号×号- 3、21 …10分 X的可能取值为0,1,2,3， 则Px=0)-(-)×-)×-瑞)-品 Px==2×-)×-+-)××-)+-)×-)×号品 P(X=2)= 2××-)+0-2)×2×号+2×-2)×号品 1 1.123 P(X=3)=2×2×2525 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 13 P ⊙ 37 …14分 100 50 100 所以数学期望E(X)=0× +1+2x品+x器 13 15分 17.(1)证明：如图，取PA的中点N,连接MN,BN. :M为PD的中点∴MN∥AD,且MN=2AD=L. 数学答案第5页（共8页） 鬻巴扫全王 又.BC=1,BC∥AD,∴.BC∥MN,且BC=MN. .四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN.…2分 BNC平面PAB,CM吐平面PAB,CM∥平面PAB.…3分 (2)解：①PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD,∴.AB,AD,AP两两垂直. 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，：轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0).…5分 平面PAB的一个法向量为n1=(0,1,0).…6分 设平面PCD的法向量为n:=(x,y之)， PD·n2=2y-2x=0, 则 令x=1,则n2=(1,1,1). 。。e ...... …7分 CD·n2=-x+y=0. n1·n2 .cos(mn:)1x1 3 3 ∴.平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为1 3 √6 3 3 …………………………9分 ②存在点Q满足题意 BD=(-1,2,0),AD=(0,2,0), 假设存在点Q满足题意，设BQ=入BD=(一入，2λ，0)，0≤入<1， Q(1-X,2以，0)，A0=(1-λ，2入，0).…11分 设平面PAQ的法向量为n3=(a,b,c), 1AP·n3=2c=0, 则 令a=2入，则n8=(2入，入一1,0).……13分 AQ·n3=(1-)a+2ab=0, |AD·na 2(λ-1) ∴.点D到平面PAQ的距离d= (2)+(A-1)2 =1, 得2+6以-3=0，解得X=23一3或入一23一3（含去），即023-3。… 18.1)解：双曲线4x2-=1的标准方程为号-义 13 =1. 44 .3 因为十1所以双曲线的焦点为（士0…2分 因为椭圆C与双线的焦点相同，设椭圆C:无十X1(a>6>0),且a'一行 因为椭圆C的离心率为，即二一√② 即a=2c=1,则a=2. 数学答案第6页（共8页） 田全目