（新课衔接）第二单元 长方体（一）（章节复习）新知总结+十三大重点难点题型讲练+难度分层训练 共56题-2026年北师大版数学五年级寒假学习讲义

第二单元 长方体（一）（章节复习） 【原卷版】 知识总结 2 知识点梳理01：长方体的认识及特征 2 知识点梳理02：正方体的认识及特征 3 知识点梳理04：正方体的表面展开图。 4 知识点梳理05：长方体的棱长及棱长总和。 5 知识点梳理06：正方体的棱长及棱长总和。 6 知识点梳理07：长方体的表面积。 6 知识点梳理08：正方体的表面积。 6 知识点梳理09：长方体和正方体的切拼问题。 7 知识点梳理10：立方体表面染色问题。 8 重点难点题型讲练 8 题型一：长方体的认识及特征 8 题型二：长方体有关棱长的应用 8 题型三：正方体的特征 9 题型四：正方体有关棱长的应用 9 题型五：长方体的展开图 10 题型六：正方体的展开图 10 题型七：长方体表面积的计算 11 题型八：长方体表面积的应用 11 题型九：正方体表面积的计算 12 题型十：正方体表面积的应用 12 题型十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13 题型十二：表面涂色的正方体 13 题型十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 14 难度分层训练 14 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 14 能力提升练（共10题 限时15分钟） 17 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 19 【学习目标】 1. 通过整理、复习，进一步掌握长方体和正方体的特征，掌握长方体和正方体的表面积、棱长总和的计算方法，能灵活运用所学知识解决生活中的实际问题。 2.通过学生讨论探索、动手实践、合作交流，使学生在复习过程中提高归纳整理能力，感悟数学思想方法，初步培养学生的想象能力，建立初步的空间观念，发展形象思维。 3.引导学生初步学会根据生活实际提出问题，并运用所学的知识解决问题，发展学生实践能力与创新精神，感受数学与生活的密切联系。 【重点难点】 重点：帮助学生梳理长方体和正方体的知识，使之系统化，并灵活运用所学知识解决实际问题。 难点：灵活运用所学知识解决生活中的实际问题。 知识点梳理01：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点梳理02：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点梳理03：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点梳理04：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点梳理05：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点梳理06：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点梳理07：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点梳理08：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点梳理09：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点梳理10：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 题型一：长方体的认识及特征 【例1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）请你在下面的8个面中找出6个面，使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是( )。 【变式】（21-22五年级下·广东深圳·期末）把一个棱长为3分米的正方体切成3个相同的长方体后，表面积增加了（    ）平方分米。 A．9 B．18 C．27 D．36 题型二：长方体有关棱长的应用 【例2】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）数学课上，元元正在用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架（如图）。 (1)接着拼，元元还需要( )个橡皮泥小球，( )根10cm的小棒，( )根6cm的小棒和( )根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)如果把长方体框架的所有棱都粘上胶带，至少需要( )cm长的胶带。 【变式】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）有一根铁丝，恰好可以围成一个长9厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个最大的正方体，围成的正方体的棱长是多少厘米？ 题型三：正方体的特征 【例3】（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【变式】有一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，有三名同学分别从不同的角度观察，结果如下图，那么A的对面字母是( )，B的对面字母是( )，C的对面字母是( )。 题型四：正方体有关棱长的应用 【例4】（24-25五年级下·广东深圳·期中）李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是（    ）分米。 A．60 B．45 C．40 D．20 【变式】（23-24五年级下·广东惠州·期末）挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 题型五：长方体的展开图 【例5】（22-23五年级下·辽宁·课前预习）把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图，如图。 你也剪一剪，会得到怎样的展开图？与同学交流。再将一个长方体盒子沿棱剪开，试试看。 分析与解答：分别拿一个长方体和一个正方体的纸盒，沿棱剪开，如下图所示： 把长方体或正方体沿不同的棱剪开，得到的展开图的形状也不同。但特点相同：长方体展开图由( )个长方形组成，相对面的面积( )，相邻的两个面的面积一般( )；正方体的展开图由( )个正方形组成，( )个面的面积( )。 【变式】（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）下图是一个长方体的展开图（单位：），则阴影部分的面积是（    ）。 A．15 B．21 C．35 D．50 题型六：正方体的展开图 【例6】（24-25五年级下·山西吕梁·期末）把正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（如下图），根据各面上的图案判断这个正方体是（    ）。 A． B． C． D． 【变式】（23-24五年级下·山西晋城·期末）嫦娥六号上升器6月4日7时38分携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。经历了将近一个月的漫长等待与两天的辛勤工作，嫦娥六号顺利完成“首次月背挖宝”任务。同学们为了庆祝我们探索月球的这一历史性时刻，将横线上的句子写在了正方体上，展开图如图所示。原正方体中“月”对面是“( )”。 题型七：长方体表面积的计算 【例7】（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）在下面的长方体展开图上，先把相对的面涂上相同的颜色，再标出每个面的长和宽。（单位：厘米） 说一说，如何得到这个长方体的表面积？ 【变式】（23-24五年级下·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长36dm的铁丝做成一个宽2dm，高是3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 题型八：长方体表面积的应用 【例8】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）一个长方体形状的游泳池，长为50米，宽为25米，深为2米。如果要给这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，至少需要（    ）平方米的瓷砖。 A．2800 B．2500 C．1550 D．1400 【变式】（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 题型九：正方体表面积的计算 【例9】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）把两个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）cm2。 A．300 B．275 C．250 D．150 【变式】（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 题型十：正方体表面积的应用 【例10】（23-24五年级下·陕西西安·期末）用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【变式】（22-23五年级下·陕西西安·期末）有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 题型十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例11】．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体木块，切成两个相同的小长方体。奇思经过计算发现：两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积比较，不可能增加（    ）平方厘米。 A．40 B．80 C．100 D．160 【变式】（23-24五年级下·四川成都·期末）笑笑有一套图书《揭秘自然》，共有4本，每本书一样大，每本书的大小如下图。她想把这套书包装好寄给山区的小朋友，按照图中的方式包装，最节省包装纸。( )（判断对错） 题型十二：表面涂色的正方体 【例12】（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，4个棱长都是1厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的表面积是( )平方厘米。 【变式】（21-22五年级下·山西吕梁·期中）4个小正方体堆放在墙角处，图①有( )个面露在外面，图②有( )个面露在外面。发现相同个数的小正方体( )不同，( )也不同。 题型十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 【例13】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【变式】（23-24五年级下·广西贺州·期中）某艺术造型展中有一处景观（如图）。 (1)它有( )个面露在外面。 (2)如果每个正方体棱长6厘米，露在外面的面积是( )平方厘米。 (3)工作人员取走( )号小正方体后，露在外面的面积不变。 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 1．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在机场货运处，工作人员要捆扎（zā）一个正方体纸箱（如图，接头处忽略不计）已知纸箱的棱长是50cm，捆这个纸箱至少需要（    ）cm的扎带。 A．50×6 B．50×8 C．50×12 D．50×50 2．（24-25五年级下·吉林长春·期末）下图是一个正方体的展开图。①的对面是（    ）。 A．② B．③ C．④ 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）下图为正方体展开图，折叠正方体后，与“我”字相对的是“（    ）”字。 A．爱 B．家 C．乡 D．远 4．（24-25五年级下·四川成都·期末）王老师要用铁丝做一个棱长为5分米的正方体框架，至少要用( )分米的铁丝，把这个正方体框架放到桌面上，这个框架的占地面积是( )平方分米。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个长方体至少有( )个面是长方形，最多有( )条棱相等。 6．（23-24五年级下·陕西宝鸡·期中）在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。( )（判断对错） 7．（22-23五年级下·甘肃定西·阶段练习）一个长方体，如果它的宽与高相等，那么它一定是正方体。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·吉林长春·期末）计算下面图形的表面积。 9．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）工作人员要给博物馆的一个展台的表面（不含底面）贴上卡纸。如图，它是由两个正方体组成的，至少需要多少平方分米的卡纸才能把这个展台的表面全部贴上？（接头处忽略不计） 10．（21-22五年级下·陕西宝鸡·期末）爸爸想制作一种无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ 能力提升练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期中）下面图（    ）不是长方体的展开图。 A．B． C． 2．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）如图，将下面的纸片折起来可以做成一个正方体。这个正方体2号面的对面是（    ）号。 A．3 B．4 C．5 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）有4个棱长为2厘米的正方体放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 4．（24-25五年级下·福建泉州·期末）按照下图规律，将正方体摆放在地面上。图⑤有( )个面露在外面。图( )露在外面的面是50个。 5．（24-25五年级下·福建泉州·期末）从某个角度观察一个长方体，看到三个面，面积分别为，，则这个长方体的表面积为( )。 6．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）计算下面图形的表面积。 7．（24-25五年级下·广东惠州·期中）一根铁丝可以做成一个棱长为0.8米的正方体框架，如果用这根铁丝改做成一个宽0.9米，高0.7米的长方体框架，长方体框架的长是多少米？ 8．（24-25五年级下·广东深圳·期中）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 9．（24-25五年级下·广东惠州·期中）淘气家卫生间墙面长3米，宽2.5米，高2.8米，门窗总面积是2.4平方米，现需要将卫生间的四壁和地板贴上瓷砖（除门窗外），需要用多少平方米的瓷砖？如果每平方米瓷砖20元，共需要花多少元？ 10．（24-25五年级下·山西吕梁·期末）在人类文明的星河中，字典如一座永恒的灯塔，照亮知识的浩瀚海洋。它是无声的老师，从不言说，却将千万字词的音形义娓娓道来。几何文创组要为一本表皮磨损严重的字典进行修复，他们想在它的外侧封面上（三个面）粘上一层卡通塑料书皮，至少要用多少平方厘米的塑料书皮？ 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．（20-21五年级下·辽宁·期末）把三个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体包装成一个长方体，外面包上包装纸，要使包装纸最省，最少需要包装纸（    ）cm2。 A．808 B．1024 C．1240 2．（20-21五年级下·河南商丘·阶段练习）将由5个棱长的正方体拼成的长方体拆开，5个正方体的表面积之和与长方体表面积相比，增加了（    ）。 A．12 B．32 C．16 D．20 3．（21-22五年级下·广东湛江·期末）把一个长是12厘米、宽是8厘米、高是6厘米的长方体木块表面涂成红色，然后切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成( )块小正方体，只有3面涂色的小正方体有( )块，只有2面涂色的小正方体有( )块，只有1面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 4．（20-21五年级下·四川成都·期末）木工师傅用两个长方体材料拼成了一个置物台（如图），这个置物台的表面积是( )平方分米。 5．（20-21五年级下·河南商丘·阶段练习）计算下面图形的表面积。（单位：） 6．（20-21五年级下·辽宁·单元测试）如图，包装一个长方体礼品盒，选择下面哪种尺寸的包装纸比较合适？（单位：cm） 7．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗和黑板面积共18平方米。如果要粉刷四周墙壁和顶面，平均每平方米用涂料0.25千克，那么需要涂料多少千克？ 8．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 9．（18-19五年级下·辽宁·单元测试）电冰箱用的塑料抽屉的长是56 cm,宽是40 cm,深35 cm．做一个这样的抽屉,至少需要多少平方厘米的塑料板? 10．学校有一栋长方体形状的教学楼（如图），现在准备买彩灯线装饰教学楼的除地面外的8条棱，每捆灯线80m，学校应买几捆灯线？（单位：m） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一）（章节复习） 【解析版】 知识总结 2 知识点梳理01：长方体的认识及特征 2 知识点梳理02：正方体的认识及特征 3 知识点梳理04：正方体的表面展开图。 4 知识点梳理05：长方体的棱长及棱长总和。 5 知识点梳理06：正方体的棱长及棱长总和。 6 知识点梳理07：长方体的表面积。 6 知识点梳理08：正方体的表面积。 6 知识点梳理09：长方体和正方体的切拼问题。 7 知识点梳理10：立方体表面染色问题。 8 重点难点题型讲练 8 题型一：长方体的认识及特征 8 题型二：长方体有关棱长的应用 9 题型三：正方体的特征 10 题型四：正方体有关棱长的应用 11 题型五：长方体的展开图 12 题型六：正方体的展开图 13 题型七：长方体表面积的计算 14 题型八：长方体表面积的应用 15 题型九：正方体表面积的计算 17 题型十：正方体表面积的应用 18 题型十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 19 题型十二：表面涂色的正方体 20 题型十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 21 难度分层训练 22 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 22 能力提升练（共10题 限时15分钟） 26 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 32 【学习目标】 1. 通过整理、复习，进一步掌握长方体和正方体的特征，掌握长方体和正方体的表面积、棱长总和的计算方法，能灵活运用所学知识解决生活中的实际问题。 2.通过学生讨论探索、动手实践、合作交流，使学生在复习过程中提高归纳整理能力，感悟数学思想方法，初步培养学生的想象能力，建立初步的空间观念，发展形象思维。 3.引导学生初步学会根据生活实际提出问题，并运用所学的知识解决问题，发展学生实践能力与创新精神，感受数学与生活的密切联系。 【重点难点】 重点：帮助学生梳理长方体和正方体的知识，使之系统化，并灵活运用所学知识解决实际问题。 难点：灵活运用所学知识解决生活中的实际问题。 知识点梳理01：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点梳理02：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点梳理03：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点梳理04：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点梳理05：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点梳理06：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点梳理07：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点梳理08：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点梳理09：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点梳理10：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 题型一：长方体的认识及特征 【例1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）请你在下面的8个面中找出6个面，使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是( )。 【答案】②③④⑥⑦⑧ 【思路引导】由图可知，长方体的长宽和高分别4厘米，3厘米和2厘米；所以应该是由4厘米和3厘米的面有2个，4厘米和2厘米的面有两个，3厘米和2厘米的面两个，由此选择即可。 【完整解答】由分析可得：使它们围成下边右边的长方体。能围成长方体的面是②③④⑥⑦⑧。 【变式】（21-22五年级下·广东深圳·期末）把一个棱长为3分米的正方体切成3个相同的长方体后，表面积增加了（    ）平方分米。 A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】D 【思路引导】把正方体切成3个相同的长方体后，增加了4个截面，该4个截面都是边长为3分米的正方形，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，将数据代入求解即可。 【完整解答】由分析可得： 3×3×4 ＝9×4 ＝36（平方分米） 综上所述：把一个棱长为3分米的正方体切成3个相同的长方体后，表面积增加了36平方分米。 故答案为：D 【考点再现】本题考查了正方形面积的计算，关键明白切成3个长方体后，增加的表面积是4个正方形的截面。 题型二：长方体有关棱长的应用 【例2】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）数学课上，元元正在用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架（如图）。 (1)接着拼，元元还需要( )个橡皮泥小球，( )根10cm的小棒，( )根6cm的小棒和( )根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)如果把长方体框架的所有棱都粘上胶带，至少需要( )cm长的胶带。 【答案】(1) 5 1 2 3 10 6 3 (2)76 【思路引导】（1）根据长方体的特征可知，长方体有6个面、8个顶点、12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。现图形有3个橡皮泥小球代表有3个顶点，所以还需要（8－3）个橡皮泥小球；现图形有3根10cm、2根6cm、1根3cm的小棒，所以还需要（4－3）根10cm的小棒，（4－2）根6cm的小棒，（4－1）根3cm的小棒，搭成一个长为10cm、宽为6cm、高为3cm的长方体框架。 （2）把长方体框架的所有棱都粘上胶带，即求出长方体的棱长和，根据长方体的棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，代入数据，计算即可。 【完整解答】（1）小球：8－3＝5（个） 10cm：4－3＝1（根） 6cm：4－2＝2（根） 3cm：4－1＝3（根） 所以元元还需要5个橡皮泥小球，1根10cm的小棒，2根6cm的小棒和3根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长10cm、宽6cm、高3cm的长方体框架。 （2）（10＋6＋3）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 所以至少需要76cm长的胶带。 【变式】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）有一根铁丝，恰好可以围成一个长9厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个最大的正方体，围成的正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】7厘米 【思路引导】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4计算出铁丝总长度，也就是正方体棱长总和，再根据正方体棱长总和=棱长×12，将数据代入求出棱长。 【完整解答】（9＋4＋8）×4 ＝21×4 ＝84（厘米） 84÷12＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 题型三：正方体的特征 【例3】（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，则写有数字1的面与写有数字5的面相对；与写有数字6的面相邻的面上数字是4，1，5，3，则写有数字6的面与写有数字2的面相对；与写有数字3的面相邻的面上数字是1，2，5，6，则写有数字3的面与写有数字4的面相对，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，与2相对的面是6。 故答案为：C 【变式】有一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，有三名同学分别从不同的角度观察，结果如下图，那么A的对面字母是( )，B的对面字母是( )，C的对面字母是( )。 【答案】 E D F 【思路引导】由图1和图3可知：D面与A、F、C、E面相邻，则D与B面相对；由图2和图3可知：A面与D、F、C、B面相邻，则A与E面相对；据此解答。 【完整解答】由分析可知：A的对面字母是E，B的对面字母D，剩余的C、F面相对即C的对面字母是F。 【考点再现】本题主要考查学生的观察、想象能力，解题的关键是理解正方体的特征。 题型四：正方体有关棱长的应用 【例4】（24-25五年级下·广东深圳·期中）李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是（    ）分米。 A．60 B．45 C．40 D．20 【答案】C 【思路引导】一个完整的正方体有12条棱边（每条棱长5分米），但鱼缸无盖，因此顶面的4条棱边没有玻璃板拼接，不需要涂玻璃胶。所以，需要涂玻璃胶的棱边数量12－4＝8条，用8×5，即可解答。 【完整解答】（12－4）×5 ＝8×5 ＝40（分米） 李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是40分米。 故答案为：C 【变式】（23-24五年级下·广东惠州·期末）挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【答案】7 【思路引导】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【完整解答】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 题型五：长方体的展开图 【例5】（22-23五年级下·辽宁·课前预习）把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图，如图。 你也剪一剪，会得到怎样的展开图？与同学交流。再将一个长方体盒子沿棱剪开，试试看。 分析与解答：分别拿一个长方体和一个正方体的纸盒，沿棱剪开，如下图所示： 把长方体或正方体沿不同的棱剪开，得到的展开图的形状也不同。但特点相同：长方体展开图由( )个长方形组成，相对面的面积( )，相邻的两个面的面积一般( )；正方体的展开图由( )个正方形组成，( )个面的面积( )。 【答案】 6 相等 不相等 6 6 相等 【思路引导】长方体和正方体都是由6个面组成的，剪开后仍是6个面。长方体相对的面的面积相等，正方体的每个面面积都相等。据此解题。 【完整解答】把长方体或正方体沿不同的棱剪开，得到的展开图的形状也不同。但特点相同：长方体展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，相邻的两个面的面积一般不相等；正方体的展开图由6个正方形组成，6个面的面积相等。 【考点再现】本题考查了长方体和正方体的展开图，掌握长方体和正方体的特征是解题的关键。 【变式】（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）下图是一个长方体的展开图（单位：），则阴影部分的面积是（    ）。 A．15 B．21 C．35 D．50 【答案】B 【思路引导】观察图形可知，长方体的长是7dm，宽是5dcm，高是3dm，阴影部分的长是等于长方体的长，等于7dcm，宽等于长方体的高，等于是3dm，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【完整解答】7×3＝21（dm2） 则阴影部分的面积是21dm2。 故答案为：B 【考点再现】解答本题的关键是根据长方体展开图的特征确定阴影部分的长和宽的长度。 题型六：正方体的展开图 【例6】（24-25五年级下·山西吕梁·期末）把正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（如下图），根据各面上的图案判断这个正方体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】正方体展开图形的“1—4—1”结构，把它折叠成正方体后，实心圆和空心圆的两个面相对，两个三角形面相邻，且有一锐角相邻，成轴对称，两空白面相邻。 【完整解答】A．实心圆和空心圆的两个面相邻，不可能。 B．实心圆和空心圆的两个面相邻，不可能。 C．实心圆和空心圆的两个面相对，两个三角形面相邻，且有一锐角相邻，成轴对称，两空白面相邻。符合。 D．两个三角形不成轴对称，不可能。 故答案为：C 【变式】（23-24五年级下·山西晋城·期末）嫦娥六号上升器6月4日7时38分携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。经历了将近一个月的漫长等待与两天的辛勤工作，嫦娥六号顺利完成“首次月背挖宝”任务。同学们为了庆祝我们探索月球的这一历史性时刻，将横线上的句子写在了正方体上，展开图如图所示。原正方体中“月”对面是“( )”。 【答案】首 【思路引导】分析题目，在正方体的展开图中，相对的面不会相邻，而是隔着一个面，据此结合正方体的特征可知：“首”和“月”相对，“次”和“挖”相对，“宝”和“背”相对，据此解答。 【完整解答】根据分析可知：“月”对面是“首”。 嫦娥六号上升器6月4日7时38分携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。经历了将近一个月的漫长等待与两天的辛勤工作，嫦娥六号顺利完成“首次月背挖宝”任务。同学们为了庆祝我们探索月球的这一历史性时刻，将横线上的句子写在了正方体上，展开图如图所示。原正方体中“月”对面是“首”。 题型七：长方体表面积的计算 【例7】（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）在下面的长方体展开图上，先把相对的面涂上相同的颜色，再标出每个面的长和宽。（单位：厘米） 说一说，如何得到这个长方体的表面积？ 【答案】522平方厘米 【思路引导】根据长方体的特征，相对的面中间隔一个面，据此可以判断出相对的面，再把相对的面上涂上相同的颜色即可。观察可知，长方体相对的面面积相等，计算6个面的面积即可得长方体的表面积，再根据，代入数据计算即可。 【完整解答】三种颜色代表三种相对的面： （平方厘米） 答：计算长方体的6个面的面积可得到长方体的表面积是522平方厘米。 【变式】（23-24五年级下·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长36dm的铁丝做成一个宽2dm，高是3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 【答案】 4 52 【思路引导】长36dm的铁丝就是这个长方体的棱长总和。根据长方体的长＝棱长总和÷4－宽－高，代入数据计算，求出长方体的长。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出所用丝绸的面积。 【完整解答】36÷4－2－3 ＝9－2－3 ＝4（dm） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（dm2） 它的长是4dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是52dm2。 题型八：长方体表面积的应用 【例8】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）一个长方体形状的游泳池，长为50米，宽为25米，深为2米。如果要给这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，至少需要（    ）平方米的瓷砖。 A．2800 B．2500 C．1550 D．1400 【答案】C 【思路引导】求需要瓷砖的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为上面不需要贴瓷砖，所以需要减去一个底面积，据此解答。 【完整解答】（50×25＋50×2＋25×2）×2－50×25 ＝（1250＋100＋50）×2－1250 ＝（1350＋50）×2－1250 ＝1400×2－1250 ＝2800－1250 ＝1550（平方米） 所以如果要给这个游泳池的四周和底面贴上瓷砖，至少需要1550平方米的瓷砖。 故答案为：C 【变式】（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 【答案】（1）6； （2）600平方厘米； （3）120厘米 【思路引导】（1）把棱长为6厘米的正方体小零件装入一个大收纳箱中，看大收纳箱的长、宽、高里各有几个正方体的棱长，再相乘，即是大收纳箱最多能放正方体小零件的个数。 （2）要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，求至少需要彩纸的面积，就是求前后面、左右面共4个面的面积之和，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （3）从图中可知，彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结的长度，代入数据计算，求出捆绑这个收纳箱需要彩带的长度。 【完整解答】（1）18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 10÷6＝1（个）……4（厘米） 一共：3×2×1＝6（个） 大收纳箱最多能放6个小零件。 （2）18×10×2＋12×10×2 ＝360＋240 ＝600（平方厘米） 答：至少需要600平方厘米的彩纸。 （3）18×2＋12×2＋10×4＋20 ＝36＋24＋40＋20 ＝120（厘米） 答：需要用120厘米的彩带。 题型九：正方体表面积的计算 【例9】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）把两个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）cm2。 A．300 B．275 C．250 D．150 【答案】C 【思路引导】分析题目，把两个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了2个面，先用棱长×棱长求出正方体一个面的面积，再乘面的个数（2×6－2）即可求出长方体的表面积。 【完整解答】（5×5）×（2×6－2） ＝25×（12－2） ＝25×10 ＝250（cm2） 把两个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是250cm2。 故答案为：C 【变式】（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 【答案】B 【思路引导】根据题意作图如下： 从图中可知：这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；分别代入数据计算即可。 【完整解答】2×2×4＝16（平方厘米） 把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了16平方厘米。 故答案为：B 题型十：正方体表面积的应用 【例10】（23-24五年级下·陕西西安·期末）用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】150平方分米 【思路引导】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【完整解答】60÷12＝5（分米） 5×5×6＝150（平方分米） 答：至少需要150平方分米的铁皮。 【变式】（22-23五年级下·陕西西安·期末）有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）7厘米；（2）294平方厘米 【思路引导】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出一个铁丝的长度，两根铁丝长度相同，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝长度除以12即可求出正方体的棱长。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出彩纸的面积。 【完整解答】（1）（9＋6＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 （2）7×7×6＝294（平方厘米） 答：在这个正方体的表面贴上彩纸，需要294平方厘米的彩纸。 题型十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例11】．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体木块，切成两个相同的小长方体。奇思经过计算发现：两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积比较，不可能增加（    ）平方厘米。 A．40 B．80 C．100 D．160 【答案】A 【思路引导】根据题意，把一个长方体木块切成两个相同的小长方体，表面积会增加两个切面的面积；有三种不同的切割方式，对应不同的切面面积，进而得到不同的表面积增加量。 切法一：平行于上下面切成两个小长方体时，增加2个“10×8”的面； 切法二：平行于前后面切成两个小长方体时，增加2个“10×5”的面； 切法三：平行于左右面切成两个小长方体时，增加2个“8×5”的面； 求出每种切法增加的表面积，再与四个选项中的面积进行对比即可得解。 【完整解答】切法一：平行于上下面切成两个小长方体，增加的表面积是： 10×8×2＝160（平方厘米） 切法二：平行于前后面切成两个小长方体，增加的表面积是： 10×5×2＝100（平方厘米） 切法三：平行于左右面切成两个小长方体时，增加的表面积是： 8×5×2＝80（平方厘米） 综上所述，增加的表面积可能是160平方厘米、100平方厘米、80平方厘米，不可能是40平方厘米。 故答案为：A 【变式】（23-24五年级下·四川成都·期末）笑笑有一套图书《揭秘自然》，共有4本，每本书一样大，每本书的大小如下图。她想把这套书包装好寄给山区的小朋友，按照图中的方式包装，最节省包装纸。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两个立体图形拼起来，因为面数目减少，所以表面积减少，将两个长方体拼起来，表面积减少2个面，尽可能将较大的面拼起来，表面积减少的最多，观察图书的长宽高，上下面最大，且比其余的面大得多，按上下面摞起来，表面积减少的最多，最节省包装纸，据此分析。 【完整解答】根据分析，按照图中的方式包装，最节省包装纸，说法正确。 故答案为：√ 题型十二：表面涂色的正方体 【例12】（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，4个棱长都是1厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的表面积是( )平方厘米。 【答案】9 【思路引导】由图可知，该图形从正面看，有3个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有3个面露在外面。所以露在外面的面一共有3＋3＋3＝9个。正方体的棱长是1厘米，根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），可得一个面的面积是1×1＝1平方厘米。露在外面的面有9个，每个面的面积是1平方厘米，所以露在外面的表面积是9×1＝9平方厘米。 【完整解答】该图形从正面看，有3个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有3个面露在外面。 3＋3＋3＝9（个） 1×1＝1（平方厘米） 1×9＝9（平方厘米） 露在外面的表面积是9平方厘米。 【变式】（21-22五年级下·山西吕梁·期中）4个小正方体堆放在墙角处，图①有( )个面露在外面，图②有( )个面露在外面。发现相同个数的小正方体( )不同，( )也不同。 【答案】 9 8 摆法 露在外面的面的个数 【思路引导】通过数图①露在外面的面，前面、左面、和上面分别有4个面、3个面和2个面露在外面，共有4＋3＋2＝9（个）个面露在外面；通过数图②露在外面的面，前面、左面、和上面分别有2个面、2个面和4个面露在外面，共有2＋2＋4＝8（个）面露在外面。据此得出结论。 【完整解答】根据分析可知：4个小正方体堆放在墙角处，图①有9个面露在外面，图②有8个面露在外面。发现相同个数的小正方体摆法不同，露在外的面的个数也不同。 【考点再现】此题考查了露在外的面的个数，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 题型十三：组合体的表面积（长方体、正方体） 【例13】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【答案】512平方厘米 【思路引导】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【完整解答】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 【变式】（23-24五年级下·广西贺州·期中）某艺术造型展中有一处景观（如图）。 (1)它有( )个面露在外面。 (2)如果每个正方体棱长6厘米，露在外面的面积是( )平方厘米。 (3)工作人员取走( )号小正方体后，露在外面的面积不变。 【答案】(1)18 (2)648 (3)3 【思路引导】（1）从前面看有6个面露在外面；从上面看有6个面露在外面；从右侧看有6个面露在外面，把露在外面的面相加，即可解答。 （2）根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体1个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。 （3）根据露在外面的面积不变，那么取走小正方体后，减少的面的数量和增加的面的数量相同，则取走3号小正方形，相当于减少3个面的面积，又增加了3个面的面积，据此解答。 【完整解答】（1）6＋6＋6 ＝12＋6 ＝18（个） 它有18个面露在外面。 （2）6×6×18 ＝36×18 ＝648（平方厘米） 如果每个正方体棱长6厘米，露在外面的面积是6480平方厘米。 （3）根据分析可知，工作人员取走3号小正方体，露在外面的面的面积不变。 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 1．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在机场货运处，工作人员要捆扎（zā）一个正方体纸箱（如图，接头处忽略不计）已知纸箱的棱长是50cm，捆这个纸箱至少需要（    ）cm的扎带。 A．50×6 B．50×8 C．50×12 D．50×50 【答案】C 【思路引导】正方体十字交叉捆扎每个面需要两条扎带，横一条竖一条，长度均为正方体的棱长；正方体一共6个面，即可求出共需要多少cm的扎带。 【完整解答】 即捆这个纸箱至少需要（50×12）cm的扎带。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·吉林长春·期末）下图是一个正方体的展开图。①的对面是（    ）。 A．② B．③ C．④ 【答案】C 【思路引导】正方体中相对的两个面展开后一定不相邻，该正方体展开图的类型是1－4－1型，所以③和⑥成对面，①和④成对面，②和⑤成对面，由此解答。 【完整解答】根据分析，①的对面是④。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）下图为正方体展开图，折叠正方体后，与“我”字相对的是“（    ）”字。 A．爱 B．家 C．乡 D．远 【答案】D 【思路引导】正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且中间相隔一个面。观察展开图，“爱”字所在的面与“乡”字所在的面相对，“家”字所在的面与“清”字所在的面相对，“我”字所在的面与“远”字所在的面相对。 【完整解答】观察展开图，“我”字所在的面与“远”字所在的面，在折叠成正方体后是相对的面。 所以与“我”字相对的是“远”字。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·四川成都·期末）王老师要用铁丝做一个棱长为5分米的正方体框架，至少要用( )分米的铁丝，把这个正方体框架放到桌面上，这个框架的占地面积是( )平方分米。 【答案】 60 25 【思路引导】正方体有12条棱，且所有棱的长度完全相等。已知正方体棱长为5分米，因此铁丝总长度＝棱长×12，所以所需铁丝长度为：5×12＝60（分米）。“占地面积”指的是正方体框架放在桌面上时，与桌面接触的那个面的面积，正方体的6个面都是完全相同的正方形。根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，这里正方形的边长即正方体的棱长（5分米），然后把数据代入计算即可。 【完整解答】5×12＝60（分米） 5×5＝25（平方分米） 至少要用60分米的铁丝，把这个正方体框架放到桌面上，这个框架的占地面积是25平方分米。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个长方体至少有( )个面是长方形，最多有( )条棱相等。 【答案】 4 8 【思路引导】长方体有6个面，一般情况下都是长方形。当有两个面是正方形时，剩下的四个面是长方形，因此至少有4个面是长方形。 对于棱的数量，长方体最多有8条棱相等，这种情况发生在长和宽相等时，此时与长、宽对应的棱各有4条，共8条。 【完整解答】长方体共有6个面。若有两个面是正方形，则其余四个面均为长方形，因此至少有4个面是长方形。 长方体有12条棱，分为长、宽、高三组，每组4条。当长和宽相等时（此时有两个面是正方形），与长、宽对应的棱各有4条，共8条棱长度相等，而高对应的4条棱长度不同。因此最多有8条棱相等。 因此，一个长方体至少有4个面是长方形，最多有8条棱相等。 6．（23-24五年级下·陕西宝鸡·期中）在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】长方体有6个面，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同。根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面。由此解答。 【完整解答】在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。 故答案为：√ 7．（22-23五年级下·甘肃定西·阶段练习）一个长方体，如果它的宽与高相等，那么它一定是正方体。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据正方体的特征可知，正方体的12条棱长度相等；正方体也是特殊的长方体，即正方体的长、宽、高都相等。 【完整解答】一个长方体，如果它的宽与高相等，那么它不一定是正方体。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·吉林长春·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】94平方厘米 【思路引导】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【完整解答】（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 这个长方体的表面积是94平方厘米。 9．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）工作人员要给博物馆的一个展台的表面（不含底面）贴上卡纸。如图，它是由两个正方体组成的，至少需要多少平方分米的卡纸才能把这个展台的表面全部贴上？（接头处忽略不计） 【答案】216平方分米 【思路引导】将上面小正方体的最上面的一个面平移到下面大正方体被小正方体底面挡住的面，则大正方体的贴卡纸的面积是除了底面以外其他的5个面的面积，上面小正方体的被平移了一个正方形的面，则小正方体的表面积也就是4个面的面积。则这个展台的表面需要卡纸的面积＝下面正方体的棱长×棱长×5＋小正方体的棱长×棱长×4。 【完整解答】6×6×5＋3×3×4 ＝180＋36 ＝216（平方分米） 答：至少需要216平方分米的卡纸才能把这个展台的表面全部贴上。 10．（21-22五年级下·陕西宝鸡·期末）爸爸想制作一种无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ 【答案】196平方分米 【思路引导】根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。 【完整解答】8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋（48＋30）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 【考点再现】本题主要考查无盖长方体的表面积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 能力提升练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期中）下面图（    ）不是长方体的展开图。 A．B． C． 【答案】C 【思路引导】根据长方体展开图的特征：长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的形状和大小完全相同，且在展开图中相对的面不相邻，展开时，呈现的是如果多个长方形在一行或者一列，那么相隔的长方形是完全相同的长方形；长方体展开图有54种特征，分四种类型：第一种“1－4－1”结构；即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种“2－3－1”结构，第一行放2个，第二行放3个，第三行放1个；第三种“2－2－2”结构：即每一行放2个；第四种“3－3”结构，每一行放3个；据此解答。 【完整解答】 A．属于长方体展开图中的“1－4－1”结构；     B．属于长方体展开图中的“1－4－1”结构；         C．不属于长方体展开图中的任何一个结构； 故答案为：C 2．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）如图，将下面的纸片折起来可以做成一个正方体。这个正方体2号面的对面是（    ）号。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【思路引导】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“Z”字两端处的小正方形是正方体的相对面，据此解答。 【完整解答】根据展开图可知：1号面和5号面相对，3号面和2号面相对，4号面和6号面相对。 所以这个正方体2号面的对面是3号。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）有4个棱长为2厘米的正方体放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 9 36 【思路引导】观察图可知，从正面看，有3个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有3个面露在外面。所以露在外面的面一共有3＋3＋3＝9个。已知正方体的棱长是2厘米，根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长，即正方体棱长），可得一个面的面积是2×2＝4平方厘米。露在外面的面有9个，每个面的面积是4平方厘米，所以用4乘9即可得出露在外面的面积。 【完整解答】从正面看，有3个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有3个面露在外面。 3＋3＋3＝9（个） 2×2＝4（平方厘米） 4×9＝36（平方厘米） 有9个面露在外面，露在外面的面积是36平方厘米。 4．（24-25五年级下·福建泉州·期末）按照下图规律，将正方体摆放在地面上。图⑤有( )个面露在外面。图( )露在外面的面是50个。 【答案】 17 ⑯ 【思路引导】观察图形可知： 图①露在外面的面有5个，5＝3×1＋2； 图②露在外面的面有8个，8＝3×2＋2； 图③露在外面的面有11个，11＝3×3＋2； …… 规律：第n个图露在外面的面有（3n＋2）个； 据此规律解答。 【完整解答】规律：第n个图露在外面的面有（3n＋2）个； 当n＝5时 3n＋2 ＝3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 3n＋2＝50 解：3n＋2－2＝50－2 3n＝48 3n÷3＝48÷3 n＝16 图⑤有（17）个面露在外面。图（⑯）露在外面的面是50个。 5．（24-25五年级下·福建泉州·期末）从某个角度观察一个长方体，看到三个面，面积分别为，，则这个长方体的表面积为( )。 【答案】90 【思路引导】从某个角度观察长方体，看到的三个面是相邻的三个面，面积分别为长×宽、宽×高、长×高。这三个面积的和等于长方体表面积的一半，因此用这三个面积之和乘2即可得到表面积。 【完整解答】根据题意，看到的三个面的面积分别为，，这三个面是长方体的相邻面，对应的面积分别为长×宽、宽×高、长×高。 长方体的表面积公式为：表面积＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高） 将已知的三个面积代入公式： 表面积＝2×（10＋15＋20）＝2×45＝90（） 因此，这个长方体的表面积为90。 6．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】2400cm2 【思路引导】观察可知，在长方体的顶点处切去一个正方体，看上去表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形的面，因此这个图形的表面积＝长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【完整解答】（30×20＋30×12＋20×12）×2 ＝（600＋360＋240）×2 ＝1200×2 ＝2400（cm2） 这个图形的表面积是2400cm2。 7．（24-25五年级下·广东惠州·期中）一根铁丝可以做成一个棱长为0.8米的正方体框架，如果用这根铁丝改做成一个宽0.9米，高0.7米的长方体框架，长方体框架的长是多少米？ 【答案】0.8米 【思路引导】先根据正方体的棱长总和＝棱长×12，计算出铁丝的总长度，也是长方体的棱长总和； 再根据公式长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体的棱长总和除以4，得到长、宽、高之和，再减去已知的宽和高，求出长方体框架的长。 【完整解答】0.8×12＝9.6（米） 9.6÷4－0.9－0.7 ＝2.4－0.9－0.7 ＝0.8（米） 答：长方体框架的长是0.8米。 8．（24-25五年级下·广东深圳·期中）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 【答案】2.4米 【思路引导】已知长方体礼品盒长3分米、宽2分米、高1分米，由图可知，丝带的长度包括2条长、2条宽、4条高，再加上接头处的长度10分米，据此计算出丝带的长度；最后将单位分米换算为米（1米＝10分米）即可。 【完整解答】3×2＋2×2＋1×4＋10 ＝6＋4＋4＋10 ＝10＋4＋10 ＝14＋10 ＝24（分米） 24分米＝2.4米 答：需要2.4米的丝带。 9．（24-25五年级下·广东惠州·期中）淘气家卫生间墙面长3米，宽2.5米，高2.8米，门窗总面积是2.4平方米，现需要将卫生间的四壁和地板贴上瓷砖（除门窗外），需要用多少平方米的瓷砖？如果每平方米瓷砖20元，共需要花多少元？ 【答案】35.9平方米；718元 【思路引导】先求出卫生间需要贴瓷砖的面积，即卫生间侧面和底面的面积和减去门窗总面积，将数据代入长方体表面积公式（去掉上面）S＝ab＋（ah＋bh）×2，求出卫生间侧面和底面的面积和，再减去门窗总面积求出需要贴瓷砖的面积；最后用需要贴瓷砖的面积×每平方米瓷砖价格即可求出共需要花多少元；据此解答。 【完整解答】3×2.5＋3×2.8×2＋2.5×2.8×2－2.4 ＝7.5＋16.8＋14－2.4 ＝35.9（平方米） 35.9×20＝718（元） 答：需要用35.9平方米的瓷砖，如果每平方米瓷砖20元，共需要花718元。 10．（24-25五年级下·山西吕梁·期末）在人类文明的星河中，字典如一座永恒的灯塔，照亮知识的浩瀚海洋。它是无声的老师，从不言说，却将千万字词的音形义娓娓道来。几何文创组要为一本表皮磨损严重的字典进行修复，他们想在它的外侧封面上（三个面）粘上一层卡通塑料书皮，至少要用多少平方厘米的塑料书皮？ 【答案】518平方厘米 【思路引导】计算需要塑料书皮的面积就是求长方体的表面积，题中只需在三个面粘上一层卡通塑料书皮，所以求出字典三个面的面积之和就是需要塑料书皮的面积，据此解答。 【完整解答】13×18.5×2＋18.5×2 ＝240.5×2＋37 ＝481＋37 ＝518（平方厘米） 答：至少要用518平方厘米的塑料书皮。 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．（20-21五年级下·辽宁·期末）把三个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体包装成一个长方体，外面包上包装纸，要使包装纸最省，最少需要包装纸（    ）cm2。 A．808 B．1024 C．1240 【答案】A 【思路引导】根据长方体的表面积的意义，长方体的6个面的总面积叫做长方体的表面积；已知将3个长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体盒子包装，求怎样包装最省纸，也就是求怎样包装它的表面积最小，把每个盒子的最大的面重合（长×宽的面重合），即（10×8）的面重合最省纸；由此包装成的长方体的长为：10cm、宽为8cm、高为6×3＝18cm；，求此长方体的表面积即可。 【完整解答】（10×8＋6×3×10＋6×3×8）×2 ＝（80＋180＋144）×2 ＝404×2 ＝808（平方厘米） 故答案为：A。 【考点再现】此题主要根据长方体的特征和长方体的表面积的计算方法解决问题。 2．（20-21五年级下·河南商丘·阶段练习）将由5个棱长的正方体拼成的长方体拆开，5个正方体的表面积之和与长方体表面积相比，增加了（    ）。 A．12 B．32 C．16 D．20 【答案】B 【思路引导】由题意知：将由5个棱长的正方体拼成的长方体拆开，则表面积增加了8个正方形的面，用棱长乘棱长乘8，可求得本题的解。据此解答。 【完整解答】由分析知： 2×2×8 ＝4×8 ＝32（平方厘米） 故答案为：B 【考点再现】本题考查了同学们空间想象能力。理解将由5个正方体拼成的长方体拆开后，增加了8个正方形的面的面积是解答本题的关键。当然也可以实际操作的方法来理解5个正方体拼成的长方体拆开后，增加的面的面积是多少。 3．（21-22五年级下·广东湛江·期末）把一个长是12厘米、宽是8厘米、高是6厘米的长方体木块表面涂成红色，然后切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成( )块小正方体，只有3面涂色的小正方体有( )块，只有2面涂色的小正方体有( )块，只有1面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 【答案】 72 8 28 28 8 【思路引导】根据长方体切割正方体的特点可得：12÷2＝6块，8÷2＝4块，6÷2＝3块，将各条棱上所得的正方体块数相乘可以求得小正方体的总块数；3面涂色的木块在顶点位置，2面涂色的木块在棱上非顶点的位置，1面涂色的木块在每个面上非棱上的位置，没有涂色的木块用所有小木块的数量减去涂色木块的数量求解。 【完整解答】12÷2＝6（块） 8÷2＝4（块） 6÷2＝3（块） 可以切成：6×4×3＝72（块）； 3面涂色的木块在顶点位置，所以只有8块； 2面涂色的木块在棱上非顶点的位置 （6－2）×4＋（4－2）×4＋（3－2）×4 ＝4×4＋2×4＋1×4 ＝16＋8＋4 ＝28（块） 1面涂色的木块在每个面上非棱上的位置 （6－2）×（4－2）×2＋（6－2）×（3－2）×2＋（4－2）×（3－2）×2 ＝4×2×2＋4×1×2＋2×1×2 ＝16＋8＋4 ＝28（块） 没有涂色的数量为： 72－8－28－28＝8（块） 【考点再现】本题主要考查了染色问题，掌握涂色面数不同的小木块所在位置是本题解题的关键。 4．（20-21五年级下·四川成都·期末）木工师傅用两个长方体材料拼成了一个置物台（如图），这个置物台的表面积是( )平方分米。 【答案】226 【思路引导】观察图形可知，这个置物台的表面积分为两部分，一部分是长是5分米，宽是4分米，高是7分米的长方体的表面积，另一边部分是长是5分米，宽是4分米，高是2分米长方体的上下两个面的面积与前后两个面的面积和，即4个面的面积和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】（5×4＋5×7＋4×7）×2＋5×4×2＋5×2×2 ＝（20＋35＋28）×2＋20×2＋10×2 ＝（55＋28）×2＋40＋20 ＝83×2＋40＋20 ＝166＋40＋20 ＝206＋20 ＝226（平方分米） 【考点再现】解答本题的关键是求这个组合图形的表面积时要去掉重合部分的面积。 5．（20-21五年级下·河南商丘·阶段练习）计算下面图形的表面积。（单位：） 【答案】148平方厘米；150平方厘米；440平方厘米 【思路引导】图1和图2利用长方体的表面积公式即可求得解。图3的表面积由长方体的表面积加一周四个正方形的面积组合而成，据此解答。 【完整解答】（6×5＋6×4＋5×4）×2 ＝（30＋24＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） （15×8＋15×4＋8×4）×2＋2×2×4 ＝（120＋60＋32）×2＋16 ＝212×2＋16 ＝424＋16 ＝440（平方厘米） 6．（20-21五年级下·辽宁·单元测试）如图，包装一个长方体礼品盒，选择下面哪种尺寸的包装纸比较合适？（单位：cm） 【答案】选用25×15的包装纸合适 【思路引导】根据长方体的侧面展开图的特征，把这个长方体展开，然后与两种不同尺寸的纸进行比较即可。 【完整解答】根据长方体的展开图可知：包装纸的长至少：4×2＋10＝18（厘米） 包装纸的宽至少：4×2＋6＝14（厘米） 所以选用25×15的包装纸合适； 答：选用25×15的包装纸合适。 【考点再现】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的展开图的特点。 7．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗和黑板面积共18平方米。如果要粉刷四周墙壁和顶面，平均每平方米用涂料0.25千克，那么需要涂料多少千克？ 【答案】需要涂料28.5千克。 【思路引导】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，本题中不粉刷底面，所以只需要计算1个长×宽，即粉刷的面积＝长×宽＋（长×高＋宽 ×高）×2－门窗和黑板的面积，再用粉刷的面积×每平方米用涂料的千克数即可得出总共需要涂料的千克数。 【完整解答】[6×8＋（6×3＋3×8）×2－18]×0.25 ＝[48＋（18＋24）×2－18]×0.25 ＝[48＋42×2－18]×0.25 ＝[48＋84－18]×0.25 ＝114×0.25 ＝28.5（千克） 答：需要涂料28.5千克。 【考点再现】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 8．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。 【答案】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小72平方厘米； ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加72平方厘米 【思路引导】，如图，从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，正方体的棱长是6厘米，①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切，表面积减少了两个正方体的面；②不挨顶点，沿棱切：表面积不变；③从长方体里边切，不挨顶点和棱，表面积增加两个正方体的面，据此分析。 【完整解答】①以长方体的一个顶点为正方体的一个顶点切：表面积减小，6×6×2＝72（平方厘米）。 ②不挨顶点，沿棱切：表面积不变。 ③从长方体里边切，不挨顶点和棱：表面积增加，6×6×2＝72（平方厘米） 【考点再现】本题考查了立体图形的切拼，可以画画示意图，做做辅助线。 9．（18-19五年级下·辽宁·单元测试）电冰箱用的塑料抽屉的长是56 cm,宽是40 cm,深35 cm．做一个这样的抽屉,至少需要多少平方厘米的塑料板? 【答案】8960cm2 【思路引导】本题要求至少需要多少平方厘米的塑料板,抽屉只有5个面．解答时一定要看清楚是求什么图形的表面积,然后选择合适的公式进行计算．本题要求的是至少需要多少平方厘米的塑料板,所以只有一个长×宽,不要再乘2． 【完整解答】56×40+56×35×2+40×35×2 =2240+3920+2800 =8960(cm2) 答:至少需要8960cm2的塑料板． 10．学校有一栋长方体形状的教学楼（如图），现在准备买彩灯线装饰教学楼的除地面外的8条棱，每捆灯线80m，学校应买几捆灯线？（单位：m） 【答案】解：12×2+20×4+15×2 =24+80+30 =134(m) 80×2=160(m) 答：学校应买2捆灯线． 【完整解答】长12米的有2条，长20米的有4条，长15米的有2条，把这些长度相加就是灯线的长度，然后根据每捆灯线的长度判断需要的捆数即可． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $