（新课衔接）第二单元 第4节 露在外面的面（探索新知+二大重点难点题型讲练+难度分层训练 共30题）-2026年北师大版数学五年级寒假学习讲义

第二单元 长方体（一） 第4节 露在外面的面 【原卷版】 探索新知 1 【新知学习一：探究露在外面的面】 2 【新知学习二：摆一摆】 3 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 3 重点难点题型讲练 4 题型一：表面涂色的正方体 4 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体) 5 难度分层训练 6 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 6 能力提升练（共10题 限时20分钟） 9 【学习目标】 1.会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 2.通过操作、观察、分析等活动，经历求由正方体搭成的组合体的综合运用有关知识，获得求物体露在外面的面积的计算方法，发展学生的空间观念。 3.经历探索规律的过程，激发主动探索的欲望。培养学生与人交流、合作的能力。 【重点难点】 重点:会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积。 难点:培养学生在探索中发现规律，发展空间观念，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 【新旧知识链】 露在外面的面的面积： 将一个棱长为2厘米的小正方体放置在墙角，它露在外面的面积是（ )平方厘米。 表面积： 棱长为2厘米的正方体的表 面积是（ ）平方厘米。 【新知引入】 【新知学习一：探究露在外面的面】 4个棱长为50厘米的正方体纸箱放在墙角处。如右图。有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？每个纸箱有3个面露在外面，一共有3+3+3个面露在外面。 我从正面、上面、侧面看都有三个小正方形，所以一共有9个面露在外面。 怎样数露在外面的面： 逐个数有几个面露在外面。 按不同角度数有几个面露在外面。 做到不重复，不遗漏 先求一个面的面积， 再求9个面的面积。 50×50×9=22500（cm²） 答：露在外面的面积是22500平方厘米。 【新知学习二：摆一摆】 把这4个纸箱换一换方式摆在墙角处，可以怎样摆，各有几个面露在外面？ 要求： 1、用这四个纸箱换一种方式摆在墙角。 2、数一数各有几个面露在外面。 3、和同伴交流。 正方体的个数相同，因摆放的方式不同， 露在外面的面的个数也可能不同。 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 想一想、做一做、填一填说一说：你发现了什么规律？ 正面和背面始终不变，每增加一个正方体就多三个面，所以露在外面的面=正方体个数×3＋2，用字母表示：露在外面的面=3n＋2。 上面始终是一个面，每增加一个正方体，就多了周围的四个面， 所以露在外面的面=正方体个数×4＋1， 用字母表示：露在外面的面=4n＋1。 题型一：表面涂色的正方体 【例1】（24-25五年级下·广东清远·期末）下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式1】（24-25五年级下·广东深圳·期末）在智能模型搭建活动中，淘气用棱长为1dm的正方体搭建了一个模型，并堆放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面的面积为( )dm2。 【变式2】（24-25五年级下·广东茂名·期中）用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，表面涂色后再拆开。三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色的小正方体有( )块，一面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 【变式3】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 【变式4】（23-24五年级下·辽宁大连·期末）将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体) 【例2】（24-25五年级下·安徽阜阳·期中）有5个棱长是8厘米的正方体堆放在墙角处（如图）。露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式1】（24-25五年级下·广东惠州·期中）将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有( )个，第（5）个图形露在外面的面积是( )平方分米。 【变式2】（24-25五年级下·广东惠州·期中）下图是由棱长为2厘米的正方体堆积成的，露在外面的面有( )个，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式3】．（24-25五年级下·四川成都·期中）有4个棱长为5厘米的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面是( )个面，露在外面的面积一共是( )平方厘米。 【变式4】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最小的是第( )种摆法，占地面积是( )平方米。 (2)露在外面的面积最大的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )平方米。 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·吉林长春·期末）下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 2．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．4 B．8 C．24 D．32 3．（2024五年级下·安徽淮南·专题练习）如下图，4个正方体纸箱放在墙角，有（    ）个面露在外面。 A．9 B．8 C．7 D．6 4．（24-25五年级下·陕西榆林·期末）如图，将6个棱长是5cm的正方体纸箱堆放到墙角处，露在外面的面积是( )cm2。 5．（24-25五年级下·广东湛江·期中）4个棱长为2cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 6．（20-21五年级下·陕西榆林·期末）如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有10个。( )（判断对错） 7．（18-19五年级下·辽宁·课后作业）下图的纸板可以折成一个长方体纸盒（单位：厘米）．折成的长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 8．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）下图是用8个小正方体拼成的，如拿走其中的1个，它的表面积会发生变化吗？做一做，并与同伴交流。 9．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 10．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处。 （1）有几个面露在外面？露在外面的面积多少平方厘米？ （2）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？与同伴交流。 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·广东清远·期末）把5个相同的正方体纸箱摆放在墙角，（    ）摆法露在外面的面最多。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）数学课上，淘气和其他三个小朋友在墙角用4个同样大小的正方体摆出如下4种造型，其中图（    ）露在外面的面积最大。 A． B． C． D． 3．（20-21五年级下·四川成都·期末）将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 4．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 5．（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，墙角处摆放着用棱长为1cm的正方体搭的立体图形，它由( )个正方体搭成，露在外面的面积是( )cm2。 6．（23-24五年级下·陕西西安·期末）把4个正方体放在墙角处（如图），有9个面露在外面。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）计算下面图形的表面积。 8．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有几个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少平方厘米？ 9．（23-24六年级下·广东惠州·期末）用5个正方体搭成一个立体图形，如图。 （1）分别画出从正面、右面、上面看到的立体图形的形状。 （2）将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有（    ）个，四个面涂上红色的正方体有（    ）个，五面涂上红色的正方体有（    ）个。 10．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）5个棱长为30cm的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有（    ）个面露在外面。 （2）露在外面的面积是（    ）cm²。 （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 第4节 露在外面的面 【解析版】 探索新知 1 【新知学习一：探究露在外面的面】 2 【新知学习二：摆一摆】 3 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 3 重点难点题型讲练 4 题型一：表面涂色的正方体 4 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体) 7 难度分层训练 10 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 10 能力提升练（共10题 限时20分钟） 15 【学习目标】 1.会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 2.通过操作、观察、分析等活动，经历求由正方体搭成的组合体的综合运用有关知识，获得求物体露在外面的面积的计算方法，发展学生的空间观念。 3.经历探索规律的过程，激发主动探索的欲望。培养学生与人交流、合作的能力。 【重点难点】 重点:会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积。 难点:培养学生在探索中发现规律，发展空间观念，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 【新旧知识链】 露在外面的面的面积： 将一个棱长为2厘米的小正方体放置在墙角，它露在外面的面积是（ )平方厘米。 表面积： 棱长为2厘米的正方体的表 面积是（ ）平方厘米。 【新知引入】 【新知学习一：探究露在外面的面】 4个棱长为50厘米的正方体纸箱放在墙角处。如右图。有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？每个纸箱有3个面露在外面，一共有3+3+3个面露在外面。 我从正面、上面、侧面看都有三个小正方形，所以一共有9个面露在外面。 怎样数露在外面的面： 逐个数有几个面露在外面。 按不同角度数有几个面露在外面。 做到不重复，不遗漏 先求一个面的面积， 再求9个面的面积。 50×50×9=22500（cm²） 答：露在外面的面积是22500平方厘米。 【新知学习二：摆一摆】 把这4个纸箱换一换方式摆在墙角处，可以怎样摆，各有几个面露在外面？ 要求： 1、用这四个纸箱换一种方式摆在墙角。 2、数一数各有几个面露在外面。 3、和同伴交流。 正方体的个数相同，因摆放的方式不同， 露在外面的面的个数也可能不同。 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 想一想、做一做、填一填说一说：你发现了什么规律？ 正面和背面始终不变，每增加一个正方体就多三个面，所以露在外面的面=正方体个数×3＋2，用字母表示：露在外面的面=3n＋2。 上面始终是一个面，每增加一个正方体，就多了周围的四个面， 所以露在外面的面=正方体个数×4＋1， 用字母表示：露在外面的面=4n＋1。 题型一：表面涂色的正方体 【例1】（24-25五年级下·广东清远·期末）下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 44 【思路引导】由图可知，从正面可以看到3个小正方形，从右面可以看到4个小正方形，从上面可以看到4个小正方形，相加求出看到小正方形的总数量就是露在外面面的数量，最后乘一个小正方形的面积，即可求得露在外面的面积，据此解答。 【完整解答】3＋4＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 2×2×11 ＝4×11 ＝44（平方厘米） 所以，有11个面露在外面，露在外面的面积是44平方厘米。 【变式1】（24-25五年级下·广东深圳·期末）在智能模型搭建活动中，淘气用棱长为1dm的正方体搭建了一个模型，并堆放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面的面积为( )dm2。 【答案】 12 12 【思路引导】从正面看，有5个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有4个面露在外面；所以露在外面的面的总个数为5＋3＋4＝12个。 因为正方体的棱长为1dm，所以每个面的面积为1×1＝1dm2；露在外面的面有12个，所以露在外面的面的面积为1×12＝12dm2。 【完整解答】5＋3＋4 ＝8＋4 ＝12（个） 1×1×12 ＝1×12 ＝12（dm2） 因此，一共有12个面露在外面，露在外面的面的面积为12dm2。 【变式2】（24-25五年级下·广东茂名·期中）用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，表面涂色后再拆开。三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色的小正方体有( )块，一面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 【答案】 8 12 6 1 【思路引导】如图： 大正方体顶点位置的小正方体才涂三面；沿大正方体的棱看，中间一块涂两面；大正方体每个面中间的1个小正方体涂一面；用小正方体的总个数减去涂色部分即可求出没有涂色的小正方体的个数。 【完整解答】正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8块； 正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体有12块； 正方体有6个相同的面，所以一面涂色的小正方体有6块。 3×3×3＝27（块） 27－8－6－12＝1（块） 没有涂色的小正方体有1块。 综上可知：用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，表面涂色后再拆开。三面涂色的小正方体有8块，两面涂色的小正方体有12块，一面涂色的小正方体有6块，没有涂色的小正方体有1块。 【变式3】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 【答案】3面涂色的有8个；2面涂色的有60个；1面涂色的有136个。 【思路引导】3面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，共8个；2面涂色的小正方体在每条棱的中间，即在每条棱除顶点处的两个小正方体外的中间位置，共有（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4＝60（个）；1面涂色的小正方体在每个面上除棱上的小正方体外的中间位置，在长10厘米、宽6厘米的面上，一面涂色的小正方形组成一个长10－2＝8（厘米）、宽6－2＝4（厘米）的长方形，这个长方形中共有8×4÷（1×1）＝32（个）小正方形，同理可求出在长10厘米、宽5厘米的面上和长6厘米、宽5厘米的面上涂色的小正方形的个数。小正方形的个数即小正方体的个数，所以1面涂色的小正方体有（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＝136（个）。 【完整解答】（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4 ＝8×4＋4×4＋3×4 ＝32＋16＋12 ＝48＋12 ＝60（个） （10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2 ＝8×4×2＋8×3×2＋4×3×2 ＝32×2＋24×2＋12×2 ＝64＋48＋24 ＝112＋24 ＝136（个） 答：3面涂色的有8个，2面涂色的有60个，1面涂色的有136个。 【变式4】（23-24五年级下·辽宁大连·期末）将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】9000平方厘米 【思路引导】先判断出露在外面一共有多少个面，再根据正方形的面积＝边长×边长，用正方形一个面的面积乘露在外面的面的数量，所得结果即为露在外面的面积。 【完整解答】露在外面一共有10个面。 30×30×10＝9000（平方厘米） 答：露在外面的面积是9000平方厘米。 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体) 【例2】（24-25五年级下·安徽阜阳·期中）有5个棱长是8厘米的正方体堆放在墙角处（如图）。露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】640 【思路引导】通过观察图可得，正面看有3个正方形面露在外面；上面看有3个正方形面露在外面；右面看有4个正方形面露在外面。所以露在外面的正方形面的总个数为3＋3＋4＝10（个），先根据正方形的面积＝边长×边长，算出一个正方形的面积，再乘10，即可求出露在外面的面积。 【完整解答】8×8×10＝640（平方厘米） 即露在外面的面积是640平方厘米。 【变式1】（24-25五年级下·广东惠州·期中）将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有( )个，第（5）个图形露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】 8 48 【思路引导】看图可知，第（1）个图形露在外面的面有4个，4＝1×2＋2；第（2）个图形露在外面的面有6个，6＝2×2＋2；第（3）个图形露在外面的面有8个，8＝3×2＋2…由此可知，露在外面的面的数量＝第几个图形就用几×2＋2，正方形面积＝边长×边长，正方形面积×露在外面的面的数量＝露在外面的面积。 【完整解答】3×2＋2 ＝6＋2 ＝8（个） 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 2×2×12＝48（平方分米） 第（3）个图形露在外面的面有8个，第（5）个图形露在外面的面积是48平方分米。 【变式2】（24-25五年级下·广东惠州·期中）下图是由棱长为2厘米的正方体堆积成的，露在外面的面有( )个，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 15 60 【思路引导】观察几何体，从前面看到6个正方形面，从右面看到5个正方形面，从上面看到4个正方形面，共计6＋4＋5＝15个正方形面；已知小正方体的棱长是2厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”求出1个面的面积，再乘15即可。 【完整解答】6＋5＋4 ＝11＋4 ＝15（个） 2×2＝4（平方厘米） 15×4＝60（平方厘米） 所以，露在外面的面有15个，露在外面的面积是60平方厘米。 【变式3】．（24-25五年级下·四川成都·期中）有4个棱长为5厘米的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面是( )个面，露在外面的面积一共是( )平方厘米。 【答案】 9 225 【思路引导】从正面、上面、右面看，露在外面各有3个小正方形，即露在外面的面一共有3×3＝9（个），根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算出一个正方形的面积，进而求9个正方形的面积即可。 【完整解答】3×3＝9（个） 5×5×9＝225（平方厘米） 露在外面的面是9个面，露在外面的面积一共是225平方厘米。 【变式4】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 (1)占地面积最小的是第( )种摆法，占地面积是( )平方米。 (2)露在外面的面积最大的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )平方米。 【答案】(1) 三 3 (2) 一 17 【思路引导】棱长为1米的正方体每个面的面积为1平方米。 （1）数出每个图形与地面接触的正方体的个数，即可知道它的占地面积； （2）数出每个图形各有多少个面露在外面，露出面的数量×1平方米，即可解答。 【完整解答】（1）第一种与地面接触的正方体是8个，即占地面积是8个正方形的面积，8×1＝8（平方米）； 第二种与地面接触的正方体是4个，即占地面积是4个正方形的面积，4×1＝4（平方米）； 第三种与地面接触的正方体是3个，即占地面积是3个正方形的面积，3×1＝3（平方米）； 第四种与地面接触的正方体是6个，即占地面积是6个正方形的面积，6×1＝6（平方米）； 3＜4＜6＜8 所以，占地面积最小的是第三种摆法，占地面积是3平方米。 （2）第一种面露在外面的小正方形共有：8＋8＋1＝17（个），露在外面的面积：17×1＝17（平方米）； 第二种面露在外面的小正方形共有：4×3＋2×2＝16（个），露在外面的面积：16×1＝16（平方米）； 第三种面露在外面的小正方形共有：2×3＋8＝14（个），露在外面的面积：14×1＝14（平方米）； 第四种面露在外面的小正方形共有：2×5＋6＝16（个），露在外面的面积：16×1＝16（平方米）； 14＜16＝16＜17 所以，露在外面的面积最大的是第一种摆法，这种摆法露在外面的面积是17平方米。 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（24-25五年级下·吉林长春·期末）下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有（    ）个。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【思路引导】数出从前面、上面和右面看到的小正方形的个数即可，从前面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有3个小正方形。 【完整解答】3×3＝9（个） 露在外面的面有9个。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．4 B．8 C．24 D．32 【答案】C 【思路引导】从图中可以看出，大正方体是由棱长为1cm的小正方体拼成的，且大正方体的每条棱上有4个小正方体（因为能看到4层），所以大正方体的棱长为4cm。 一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。对于大正方体的一个面，其边长为4个小正方体的棱长，那么每个面中一面涂色的小正方体组成的是一个边长为（4－2）的正方形（因为要去掉每条边两端的小正方体，这些小正方体是两面或三面涂色的）。所以每个面中一面涂色的小正方体数量为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。因为大正方体有6个面，每个面有4个一面涂色的小正方体，所以用4×6即可得到一面涂色的小正方体总数。 【完整解答】（4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） 4×6＝24（个） 一面涂色的小正方体有24个。 故答案为：C 3．（2024五年级下·安徽淮南·专题练习）如下图，4个正方体纸箱放在墙角，有（    ）个面露在外面。 A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【思路引导】由图可知，4个正方体纸箱组成了一个长方体，长方体的后面、左面、下面被盖住了，前面露出了2个正方形，右面露出了2个正方形，上面露出了4个正方形，把露出小正方形的数量相加求和即可。 【完整解答】2＋2＋4＝8（个） 所以，图中4个正方体纸箱放在墙角，有8个面露在外面。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·陕西榆林·期末）如图，将6个棱长是5cm的正方体纸箱堆放到墙角处，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】300 【思路引导】观察图形可知：正面能看到4个正方形面露在外面；上面能看到4个正方形面露在外面；右面能看到4个正方形面露在外面；总共露在外面的正方形面的个数为4＋4＋4＝12个。 已知正方体的棱长为5cm，根据正方形面积公式S＝a×a（这里a为正方体的棱长），可得单个正方形面的面积为5×5＝25（cm2）。然后用25乘12即可得出露在外面的面积。 【完整解答】正面能看到4个正方形面；上面能看到4个正方形面；右面能看到4个正方形面。 4＋4＋4＝12（个） 25×12＝300（cm2） 露在外面的面积是300cm2。 5．（24-25五年级下·广东湛江·期中）4个棱长为2cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 8 32 【思路引导】放在墙角处的正方体，有三个面靠墙（分别是与墙面、地面接触的面），需要从不同方向（正面、上面、侧面）观察露在外面的面，从上面看有2个面露在外面，从正面看有4个面露在外面，从侧面看有2个面露在外面。然后把这些面相加即可得到露在外面的面的总数。然后根据正方形面积公式S＝a2（a为正方体棱长）算出一个面的面积，再乘面的个数得到总面积。 【完整解答】2＋4＋2＝8（个） 22＝2×2＝4（cm2） 4×8＝32（cm2） 有8个面露在外面，露在外面的面积是32cm2。 6．（20-21五年级下·陕西榆林·期末）如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有10个。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】分别数出从各个方向看到的这些正方形的面数，相加即可。 【完整解答】从正面看，可以看到2个正方形； 从右面看，可以看到3个正方形； 从上面看，可以看到5个正方形。 露在外面的面有： 2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（个） 故答案为：√ 【考点再现】此题考查了数立体图形露在外面的面的个数，按照观察方位顺序逐一数出即可。 7．（18-19五年级下·辽宁·课后作业）下图的纸板可以折成一个长方体纸盒（单位：厘米）．折成的长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 8．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）下图是用8个小正方体拼成的，如拿走其中的1个，它的表面积会发生变化吗？做一做，并与同伴交流。 【答案】不会 【思路引导】用8个小正方体拼成一个大正方体，那么每个小正方体都露出了3个面，当任意拿掉一个小正方体后，此处也会露出3个面，所以表面积不变。 【完整解答】如图： 如拿走其中的1个小正方体，露出来的3个面与原来外露的3个面相同，所以它的表面积不会发生变化。 9．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【答案】512平方厘米 【思路引导】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【完整解答】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 10．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处。 （1）有几个面露在外面？露在外面的面积多少平方厘米？ （2）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？与同伴交流。 【答案】（1）10个；16000平方厘米 （2）会；理由见详解 【思路引导】（1）观察图形可知，从正面看到3个面，从上面看到4个面，从右面看到3个面，则露在外面的面一共有（3＋4＋3）个； 根据正方体的特征可知，每个面是边长为40厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 （2）改变摆法，露在外面的面的个数发生变化，则露在外面的面积也会发生变化。可举例说明。 【完整解答】（1）3＋4＋3＝10（个） 40×40×10＝16000（平方厘米） 答：有10个面露在外面，露在外面的面积16000平方厘米。 （2）如图： （摆法不唯一） 露在外面的面有：4＋4＋3＝11（个） 露在外面的面积：40×40×11＝17600（平方厘米） 答：改变摆法，露在外面的面积会发生变化。因为改变摆法，露在外面的面的个数不同，则露在外面的面积也会发生变化。 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25五年级下·广东清远·期末）把5个相同的正方体纸箱摆放在墙角，（    ）摆法露在外面的面最多。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】通过从上面、前面、右面和左面四个方向数出露在外面的面，然后求和，最后比较哪个选项的总数最多即可。 【完整解答】A．从上面可以看到5个面，从前面可以看到5个面，从右面可以看到1个面，共5＋5＋1＝11（个） B．从上面可以看到3个面，从前面可以看到5个面，从右面可以看到2个面，共3＋5＋2＝10（个）； C．从上面可以看到2个面，从前面可以看到5个面，从右面可以看到3个面，共2＋5＋3＝10（个）； D．从上面可以看到4个面，从前面可以看到5个面，从右面可以看到2个面，从左面可以看到1个面，共4＋5＋2＋1＝12（个）。 12＞11＞10 所以选项中露在外面的面最多的有12面，是D选项。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）数学课上，淘气和其他三个小朋友在墙角用4个同样大小的正方体摆出如下4种造型，其中图（    ）露在外面的面积最大。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意，要判断哪个图露在外面的面积最大，需分别数出每个图露在外面的正方形面的个数。因为正方体同样大小，每个面面积相等，所以露在外面的面的个数越多，露在外面的面积就越大。据此解答。 【完整解答】假设每个小正方体的一个面的面积为1。 A．仔细观察，从正面看有4个面，从上面看有3个面，从侧面看有2个面，总共4＋3＋2＝9个面。 B．从正面看有4个面，从上面看有2个面，从两个侧面看有6个面，总共4＋2＋6＝12个面。 C．从正面看有4个面，从上面看有4个面，从侧面看有1个面，总共4＋4＋1＝9个面。 D．从正面看有4个面，从上面看有2个面，从两个侧面看有4个面，总共4＋2＋4＝10个面。 因为12＞10＞9，所以B图形露在外面的面积最大。 故答案为：B 3．（20-21五年级下·四川成都·期末）将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 【答案】C 【思路引导】1个小正体有5个面露在外面，再增加一个正方体，2个小正方体有8个面露在外面；3个小正方体有11个面露在外面．每增加1个正方体漏在外面的面就增加3个即：n个正方体有5＋（n﹣1）×3；由此求解。 【完整解答】根据题干分析可得，n个正方体有5＋（n﹣1）×3＝3n＋2； 所以8个小正方体时，露在外部的面有： 3n＋2＝3×8＋2＝26（个） 故答案为：C 【考点再现】解答此题应根据题意，进行推导，得出规律：即1个小正方体露出5个面，每增加1个小正方体增加3个面；进行解答即可。 4．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 176 【思路引导】观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到3个面，从右面看到4个面，则露在外面的面一共有（4＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【完整解答】4＋3＋4＝11（个） 4×4×11 ＝16×11 ＝176（平方厘米） 有11个面露在外面，露在外面的面积是176平方厘米。 5．（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，墙角处摆放着用棱长为1cm的正方体搭的立体图形，它由( )个正方体搭成，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 5 13 【思路引导】从图中可知，这个立体图形的底层有4个小正方体，上层有1个小正方体，所以它是由（4＋1）个正方体搭成。 从正面能看到4个面，从上面能看到4个面，从右面能看到3个面，从左面能看到2个面；则露在外面的面一共有（4＋4＋3＋2）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为1cm的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【完整解答】小正方体的个数：4＋1＝5（个） 露在外面的面共有：4＋4＋3＋2＝13（个） 露在外面的面积是：1×1×13＝13（cm2） 因此，这个立体图形是由5个正方体搭成，露在外面的面积是13cm2。 6．（23-24五年级下·陕西西安·期末）把4个正方体放在墙角处（如图），有9个面露在外面。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】从前面、上面和右面看到的面是露在外面的面，从前面看有4个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有2个小正方形，将3个方向看到的小正方形个数相加即可。 【完整解答】4＋3＋2＝9（个） 有9个面露在外面，说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】2400cm2 【思路引导】观察可知，在长方体的顶点处切去一个正方体，看上去表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形的面，因此这个图形的表面积＝长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【完整解答】（30×20＋30×12＋20×12）×2 ＝（600＋360＋240）×2 ＝1200×2 ＝2400（cm2） 这个图形的表面积是2400cm2。 8．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有几个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）7个 （2）70000平方厘米 【思路引导】（1）观察图形可知，从正面看到3个面，从上面看到1个面，从右面看到3个面，则露在外面的面一共有（3＋1＋3）个。 （2）根据正方体的特征可知，每个面是边长为100厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【完整解答】（1）3＋1＋3＝7（个） 答：有7个面露在外面。 （2）100×100×7＝70000（平方厘米） 答：露在外面的面积是70000平方厘米。 9．（23-24六年级下·广东惠州·期末）用5个正方体搭成一个立体图形，如图。 （1）分别画出从正面、右面、上面看到的立体图形的形状。 （2）将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有（    ）个，四个面涂上红色的正方体有（    ）个，五面涂上红色的正方体有（    ）个。 【答案】（1）见详解 （2）1；1；3 【思路引导】（1）从不同的方向观察立体图形，从正面可以看到上下两行，第一行三个小正方体，第二行一个小正方体，左对齐；从右面可以看到上下两行，第一行两个小正方体，第二行一个小正方体，右对齐；从上面可以看到上下两行，第一行一个小正方体，第二行三个小正方体，左对齐；据此作图； （2）把这个立体图形表面涂上红色，就是把上下左右前后的面涂上红色，再观察立体图形中每个小正方体几个面是露在外面的，由此即可解答。 【完整解答】（1）由分析可作图： （2）可以给每个正方体标上序号⑤号是④号下方被挡住的正方体。 只有三个面涂上红色的正方体是⑤，四个面涂上红色的正方体有②，五个面涂上红色的正方体有①、③、④。 所以，将这个立体图形的表面涂上红色，其中只有三个面涂上红色的正方体有1个，四个面涂上红色的正方体有1个，五面涂上红色的正方体有3个。 10．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）5个棱长为30cm的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有（    ）个面露在外面。 （2）露在外面的面积是（    ）cm²。 （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 【答案】（1）10   （2）9000 （3）可能会也可能不会。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 【思路引导】（1）观察图形即可； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘10即可； （3）摆法不同露在外面的面的个数不同；据此解答。 【完整解答】（1）通过观察可知有10个面露在外面。 （2）30×30×10 ＝900×10 ＝9000（cm2） （3）当如下图摆放时： 露在外面的面有11个， 面积为：30×30×11 ＝900×11 ＝9900（cm2） 9900cm2≠9000cm2； 当如下图摆放时： 露在外面的面有10个， 面积为：9000cm2 故露在外面的面可能会也可能不会变化。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 答：（1）有10个面露在外面。 （2）露在外面的面积是9000cm²。 （3）露在外面的面可能会也可能不会变化。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 【考点再现】本题主要考查学生空间想象能力，能够构想出不同摆法是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 第二单元长方体（一） 第4节露在外面的面 【原卷版】 口目录索引 探索新知...... 【新知学习一：探究露在外面的面】…2 【新知学习二：摆一摆】 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 ….3 重点难点题型讲练.… 题型一：表面涂色的正方体. ·。4 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体).......。 难度分层训练.………………· 基础夯实练（共10题限时15分钟） 能力提升练（共10题限时20分钟) ……9 口目标导航 【学习目标】 1.会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 2.通过操作、观察、分析等活动，经历求由正方体搭成的组合体的综合运用有关知识，获得求物体露在外 面的面积的计算方法，发展学生的空间观念。 3.经历探索规律的过程，激发主动探索的欲望。培养学生与人交流、合作的能力。 【重点难点】 重点：会数露在外面的面的数量，会算露在外面的面的面积。 难点：培养学生在探索中发现规律，发展空间观念，会找当正方体的个数增加，露在外面的面数规律。 口探索新知 【新旧知识链】 表面积： 露在外面的面的面积： 棱长为2厘米的正方体的表 将一个棱长为2厘米的小正方体放置在 面积是()平方厘米。 墙角，它露在外面的面积是（)平 方厘米。 第1页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 【新知引入】 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽X高）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 【新知学习一：探究露在外面的面】 4个棱长为50厘米的正方体纸箱放在墙角处。如右图。有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘 米？ 每个纸箱有3个面露在外面，一共有 3+3+3个面露在外面。 从正面看 从上面看 从侧面看 我从正面、上面、侧面看都有三个小正 方形，所以一共有9个面露在外面。 怎样数露在外面的面： 逐个数有几个面露在外面。 按不同角度数有几个面露在外面。 做到不重复，不遗漏 第2页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 先求一个面的面积， 再求9个面的面积。 50X50×9=22500(cm㎡) 答：露在外面的面积是22500平方厘米。 【新知学习二：摆一摆】 把这4个纸箱换一换方式摆在墙角处，可以怎样摆，各有几个面露在外面？ 要求： 1、用这四个纸箱换一种方式摆在墙角。 2、数一数各有几个面露在外面。 3、和同伴交流。 正方体的个数相同，因摆放的方式不同， 露在外面的面的个数也可能不同。 【新知学习三：探究立体图形表面积的变化规律】 想一想、做一做、填一填 说一说：你发现了什么规律？ 正面和背面始终不变，每增加一个正方体就多三个面，所以露在外面的面=正方体个数X3十2，用字母表示： 露在外面的面=3n十2。 第3页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 小正方体 2 3 4 5 6 ●●●●●● n 数 露在外面 5 P 1 14 17 20 3n+2 的面/个 上面始终是一个面，每增加一个正方体， 就多了周围的四个面， 所以露在外面的面=正方体个数×4十1， 用字母表示：露在外面的面=4n十1。 小正方体 个 2 3 4 5 6 n 数 露在外面 5 9 13 17 21 25 4n+1 的面/个 口重点难点题型讲练 题型一：表面涂色的正方体 【例1】(24-25五年级下·广东清远·期末)下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有 )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式1】(24-25五年级下·广东深圳·期末)在智能模型搭建活动中，淘气用棱长为1dm的正方体搭建 了一个模型，并堆放在墙角处（如图）。一共有()个面露在外面，露在外面的面的面积为( )dm2。 【变式2】(24-25五年级下·广东茂名·期中)用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，表 面涂色后再拆开。三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色的小正方体有( )块，一面涂色 的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 第4页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 【变式3】(23-24六年级上·辽宁·课后作业)航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体 的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别 是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 【变式4】（23-24五年级下·辽宁大连·期末)将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图)， 露在外面的面积是多少平方厘米？ 题型二：组合体的表面积（长方体、正方体) 【例2】(24-25五年级下·安徽阜阳·期中)有5个棱长是8厘米的正方体堆放在墙角处（如图)。露在 外面的面积是( )平方厘米。 【变式1】(24-25五年级下·广东惠州·期中)将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第 (3)个图形露在外面的面有( )个，第(5)个图形露在外面的面积是( )平方分米。 (1) (2) (3) 【变式2】(24-25五年级下·广东惠州·期中)下图是由棱长为2厘米的正方体堆积成的，露在外面的面 有( )个，露在外面的面积是( )平方厘米。 第5页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 【变式3】.(24-25五年级下·四川成都·期中)有4个棱长为5厘米的小正方体堆放在墙角处（如图）， 露在外面的面是( )个面，露在外面的面积一共是( )平方厘米。 【变式4】(24-25五年级下·陕西榆林·期中)有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓 库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。 第一种 第二种 第三种 第四种 (1)占地面积最小的是第( )种摆法，占地面积是( )平方米。 (2)露在外面的面积最大的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )平方米。 口难度分层训练 基础夯实练（共10题限时15分钟) 1.(24-25五年级下·吉林长春·期末)下图是放在墙角的4个正方体，露在外面的面有( )个。 A.8 B.9 C.10 2.(24-25五年级下·陕西宝鸡·期末)如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上 颜色。一面涂色的小正方体有( )个。 A.4 B.8 C.24 D.32 第6页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 3.(2024五年级下·安徽淮南·专题练习)如下图，4个正方体纸箱放在墙角，有( )个面露在 外面。 A.9 B.8 C.7 D.6 4.(24-25五年级下·陕西榆林·期末)如图，将6个棱长是5cm的正方体纸箱堆放到墙角处，露在外面 的面积是( )cm。 5.(24-25五年级下·广东湛江·期中)4个棱长为2cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( 个面露在外面，露在外面的面积是( )cm。 6.(20-21五年级下陕西榆林期末)如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有10个。( (判断对错) 7.(18-19五年级下·辽宁·课后作业)下图的纸板可以折成一个长方体纸盒（单位：厘米）.折成的长 方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 9 8.(24-25五年级下·辽宁·随堂练习)下图是用8个小正方体拼成的，如拿走其中的1个，它的表面积 会发生变化吗？做一做，并与同伴交流。 第7页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 9.(24-25五年级下·辽宁大连·期末)下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是 正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这 个立体图形的表面积。 10cm 3cm 8cm 5cm 10.(24-25五年级下·辽宁·随堂练习)有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处。 (1)有几个面露在外面？露在外面的面积多少平方厘米？ (2)改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？与同伴交流。 第8页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 能力提升练（共10题限时20分钟） 1.(24-25五年级下·广东清远·期末)把5个相同的正方体纸箱摆放在墙角，( )摆法露在外 面的面最多。 鱼，品 A. 2. (24-25五年级下·辽宁丹东·期末)数学课上，淘气和其他三个小朋友在墙角用4个同样大小的正方 体摆出如下4种造型，其中图( )露在外面的面积最大。 C. 3.(20-21五年级下·四川成都·期末)将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方 式摆放，有( )个面露在外面。 ® A.40 B.29 C.26 D.24 4.(24-25五年级下·辽宁锦州·期末)如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( 个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 第9页共11页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学五年级 5.(24-25五年级下·四川成都·期末)如图，墙角处摆放着用棱长为1cm的正方体搭的立体图形，它由 ( )个正方体搭成，露在外面的面积是( )cm。 6.(23-24五年级下·陕西西安·期末)把4个正方体放在墙角处（如图），有9个面露在外面。( (判断对错) 7.(24-25五年级下·陕西渭南·期末)计算下面图形的表面积。 6cm 6cm 20cm 30cm 8.（24-25五年级下·辽宁·随堂练习)3个棱长为100厘米的正方体纸箱放在墙角（如图)。 (1)有几个面露在外面？ (2)露在外面的面积是多少平方厘米？ 第10页共11页